行列式典型例題

1、第二講行列式綜合訓(xùn)練第一部分例2.1計(jì)算行列式，其中對(duì)角線(xiàn)上元素都是a,未寫(xiě)出的元素都是零.Dn解這道題可以用多種方法進(jìn)行求解，充分應(yīng)用了行列式的各種性質(zhì).方法1利用性質(zhì)，將行列式化為上三角行列式.nn_2-a1n1-(a-)a=aa方法2仍然是利用性質(zhì)，將行列式化為上三角行列式.rn1Dn-c1cnn-a-an_2a-1c1展開(kāi)Dn-a方法4(-1)Dn-aa利用公式將最后一行逐行換到第n-2最后列展開(kāi)-(-1)nn-2-a-an2n2-a2行，共換了n-2次；將最后一列逐列換到第a-1方法3利用展開(kāi)定理，將行列式化成對(duì)角行列式.n1+(-1)n2次.Dn=(-1)2(n-2)n_2anN方

2、法5利用公式例2.2計(jì)算n階行列式:Dnabia1a?a2b2ananbb2bl=0)a1a2anbn解采用升階（或加邊）法.該行列式的各行含有共同的元素a1,a2；|,an,可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列,適當(dāng)選擇所增行（或列）的元素，使得下一步化簡(jiǎn)后出現(xiàn)大量的零元素.1a1a2升階0a1Hbia2Dn=0a1a2rb20a1a2an1anr2T-1r31an-1Tn|BI:a0bn-1aa2anb1000b2000bn,1q±cj1十曳十厘biBa!b1a1a2anbjj_0bi010j=2；J；n書(shū)00b2t0=b1b2bn(1'亙)bibn0這個(gè)題的特殊

3、情形是00bnaMx二a1a2a2xa1a2ananan|Xn=xn4(x二a)i1可作為公式記下來(lái).例2.3計(jì)算n階行列式:,a1Dna21an其中aia2"ian上0.解這道題有多種解法.方法1化為上三角行列式DnAa1-a11.腎a2T1q鼻qajj=2滑,nb01a2-a1an0i川i=2;,nDn=2日Z(yǔ)Eann其中b=1pa1Ha1E-=a11，E-i=2ai法anai方法2升階（或加邊）升階a1Dn1a21an111-1a10-10a2rrr-100ri-r：1i=2,3；-,n1anj±2：*n1方法3遞推法.Dna?anDn改寫(xiě)為1a1按與拆開(kāi)1a21an

4、a11a21人i1a11a2ai由于1a111a11a?a?iJ;,n1a2按Cn展開(kāi)anDn日Z(yǔ)E因此Dn=anDn+4221'Hn為遞推公式，而D1=1+a1,Dn=anDn1aa2an=a1a2an二a1a2aDn/1an1+an=a1a2a1D1an1+a2an二a1a2an&a2anaa21.an2x-1例2.4設(shè)f(x)=x-23x-2證明存在陷w(0,1)，使f'($)=0.x-34x-3證因?yàn)閒(x)是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式多項(xiàng)式,在b,1】上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且-1-1f(0)=-2-3-2=0,f(1)=-3-1-2由羅爾定理知，存在Bp(0,1)

5、，使f雷)=0.一、一一a例2.5計(jì)算D=2a4abb2b4c2C4Cdd2d4解這不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式進(jìn)行求解.方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧進(jìn)行求解：從下向上，逐行操作.r4刀2r3r3_air2劃D=b-ac-ab(b-a)222、b(b-a)c(c-a)d(d-a)2/2c(c-a12)d2(d2-a2)5展開(kāi)=(b-a)(c-a)(d-a)2,、c(ca)b2b(ba)d2d(dma)其中13拆開(kāi)=(b-a)(c-a)(d-a)1r3_b2122期d二d3bb3dd3bb2dd2c-(c-dd(-db2b)=(c-b)(d-b)c(cb)d(db)=(c-b

6、)(d-b)d(db)-c(cb)由于bb2dd2是范德蒙行列式，故bb2dd2=(c-b)(d-b)(d-c)D=(abcd)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)方法2c2-Ac3-c1D=c4-c11a2a4a000b-ac-ad-a.2222.22b-ac-ad-a.4444.44b-ac-ad-ar1展開(kāi)=(b-a)(c-a)(d-a)1ca(cbaa2)(ca)1dma(d2fa2)(dDa)c2T=(b-a)(c-a)(d-a)c3王1ba22(ba)(ba)00c-bd-bxyc,展開(kāi)=(b-a)(c-a)(d-a)d-by其中x=(c-b)(a2|-b2

7、Ec2nac|bcflab),y=(d-b)(a2Hb2|-c2KadKbd|ab)D=(abcd)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)=(abcd)(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)方法3用升階法.由于行列式中各列元素缺乏3次哥的元素，在D中添加3次哥的一行元素，再添加一列構(gòu)成5階范得蒙行列式：11111abcdxC22222D5=abcdx3.33.33abcdx4.44.44abcdxD5按第5列展開(kāi)得到的是x的4次多項(xiàng)式，且x3的系數(shù)為A45=(-1)45D=-D又利用計(jì)算范得蒙行列式的公式得D5=(b-a)(c-a)(d-a)(x-a

8、)(c-b)(d-b)(x-b)(d-c)(x-c)(x-d)=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)_43.=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)x-(abcd)x其中x3的系數(shù)為(ba)(ca)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(aflbOc|d),3由x的系數(shù)相等得：D=(abcd)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)例2.6設(shè)|A|=1112-5112132334,計(jì)算A41+A42+A43+A44=?其中A4j(j=1,2,3,4)34A|中元素a4j的代數(shù)余子式.的和

9、工作量大.可將A4型A4#A4hA改寫(xiě)解直接求代數(shù)余子式1A411A421A431A,故A41+A42+A43+A44例2.7求解方程解方法1f(x)-x-5=(-1)41-6-6(n-1)-6-xf(x)i2=,n=(-1)nJx(x-1)(x-n2)由題設(shè)知(n2)xf(x)=(-1)n,x(x-1)(x-n2)=0所以K=0,x2=1,1,xn_L=n-2是原方程的解.，行列式方法2由題設(shè)知，當(dāng)x=0,1,2，n-2時(shí)，由于行列式中有兩列對(duì)應(yīng)元素相同值為零，因此f(x)可寫(xiě)成f(x)=Ax(x-1)(x-n2)于是原方程f(x)=Ax(x1)(x-n|2)=0的解為：x=0,x2=1,=

10、n-2例2.8計(jì)算兀素為aij=|ij|的n階行列式.解方法1由題設(shè)知，41=0,a12=1,a1n=n-1；,故0-sn-1010-fln-2ri工1二Ti當(dāng)n,晶2n-1n-2-fl0111-1n-1nnDnn-1-1j4,nJ-2-2其中第一步用的是從最后一行起,方法2Dnn-2-2j=2,，nn-1例2.9計(jì)算行列式D=(_1)n,2T(n-1)逐行減前一行.第二步用的每列加第2n-3a20a1d2d10解方法1按第一列展開(kāi):a1D=a2d1C1bib2二(a2b2-d2c2)n列.n-1n-2ri-ri1i±2,一,nJn-1-d2a1d1C2b2a1d1-1n-2nJon

11、_2=(-1)2(n-1)C1b1C2=a2b2二(azbz-dzCz)方法2本題也可利用拉普拉斯展開(kāi)定理進(jìn)行計(jì)算，選定第D=(-1)2H3電電a1C1a2C2db1d2b2a1C1d1b1-d2c2a1C1d1b1(a1b1-d1G)2、3行，有:=(aad£)(a2b2d2c2)anbn例2.i0計(jì)算D2nbidi,其中未寫(xiě)出的元素都是0.dn2行（作2n-2次相鄰解方法1利用公式采用逐行操作，將最后一行逐行和上行進(jìn)行對(duì)換，直到換到第對(duì)換）；最后一列逐列和上列換，換到第2列（作2n-2次相鄰對(duì)換），得到D2n=Qi嚴(yán)Nanbn00cndn0000andbn.bididn=D2D2

12、（n/）=（andn一0）Dq=（Hndn一Hg）（2口dn一0）D如pn；二（andn-0a）（anKn-bn_lCn）（a1d1-2），】（-3）ii方法2利用行列式展開(kāi)定理進(jìn)行求解.bn0q展開(kāi)D2n=anbidicn10dn4dn上面第1個(gè)行列式是0anabn(-1)12n的形式，而第C1d1dnj2個(gè)行列式按第1列展開(kāi),所以D2n=andnD2n/-bnCn(-1)2n'1=(andn-bnCn)口行)D2n_2(aidi-biCi)1-aa000-11-aa000-11-aa000-11-aa000-11-a二ii42.11計(jì)算D5方法1采用遞推的方法進(jìn)行求解.D51-a-

13、1c展開(kāi)-a-a-1-a-a+(-a)(-1)511-a-1-1D5=D45(-a)(-1)51D4=D3M(-a)(-1)473,D3=D2F(-a)(-1)372,D2=1-aa223-a4D5=1-aa-aa-a方法2采用降階的方法進(jìn)行求解.rl(1-a)r2-1D5n1_aa2)r3r1<1.aa2%4)5(1-a-a2.12證明Dn方法1-a3)r-4an-a-21-aa-1-aa41-a-11-a-1-1-1an4遞推法Dn+D2a22a-a1-aa2-1-101-a-fl-1-155142-a),(-1)(-1)=1-a'an=xa1xn1anxana。.xa1按第

14、1列展開(kāi)，有n1anxa1Dn=xDn/+an=x日Z(yǔ)E(xDni-1x-1-1n-4=xDn4+an+anl)+an=x2、一.一Dni+anTx+annJaix-一anx-ann1n2n=xDi+a2x+anlx+an=x，第n列的xn,倍分別加到第1列上0-10C1-xc22xx-1Dn=00xan+xanan1anN方法2第2列的x倍，第3列的x2倍,-ai0-100-00x-10-03x0x-1-u02anxanjxanNanan_2anJ3-xa1Cix2C3-1按除展開(kāi)x-1=(-1)nH1f-1xx-1=f其中f=an,anx-a1xn1-xn按Ci展開(kāi)=(-1)n1fx=(-

15、1)n1f(-1)nJ=f0-10.-000x-11.J400C1版C2Hx%3+Hxn七Dn二000.x-1fan1anw-a2xDa1或其中f=an-an4x-a1xn4-xn方法3利用性質(zhì)，將行列式化為上三角行列式.X00B-00X0H-000xB-0-aan,anan十a(chǎn)nanan/十n,十nE-knXXXc2clx1rDn二1cn-cn1X一kn=Xn(an_1n_2+匹+a1+X)X,n1,n=ananX一一a1Xx按小展開(kāi)方法4(-1)n1an0-10000-+x-1n2(-1)anJ+(-1)2n1a2X-100000-1+(-1)2ngX)n1n1n-2n.2=(1)(1)a

16、n+(1)(1)anjX+(-1)(1)a2Xn'+(1)2n(a1+x)xn1n=an-an4xa1xx例2.13計(jì)算n階“三對(duì)角”行列式0000001Gt+PCjfi1Dn=01解方法1遞推法.ItP00H-00按C1展開(kāi)1b+q00Dn=R+P)Dn:000H-1H+p(n)按1展開(kāi)DnNffl+P)DnJ-M即有遞推關(guān)系式Dn=期7)Dn曜Dn_2(n_3)Dn®n,=P(Dn岳n/)遞推得到Dn0n尸P(Dnl0/)-：Dn)”(D2-iD1)而D二目十*)D2=H2+Hp曜2,代入上式得由遞推公式得Dn-：Dn=Dn=：Dn。(2.1)方法2ctDn=：Dn-n=

17、：(：Dn.1.n.n4n4-n=曜P+BJ-+Bpg+P把Dn按第1列拆成階行列式Gt+10ItPgtPl+!B(n1)ot=四寸叫ItP上式右端第一個(gè)行列式等于aDn4,而第二個(gè)行列式g0B-00100000B-01P0H-001都十口H-00ci01PH-0-aiz2r»n一a0001-000B-1000B-11已與式相同.2.1）Dn=PnjL+Pn,0=3n于是得遞推公式方法3在方法中得遞推公式又因?yàn)楫?dāng)周十圜時(shí)81+PD2=1=（、/'I-）2-:-=：-2二：-20=（H+p）3-2H+p）Gt+P414=（：）1"）=一-Ct-P于是猜想Dn,下面用數(shù)

18、學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí)，等式成立，假設(shè)當(dāng)督時(shí)成立.當(dāng)n=k+1是，由遞推公式得Dy=（：）Jk-1Gt所以對(duì)于nWN+,等式都成立.感覺(jué)困難的同學(xué)可以放到,往往與后續(xù)內(nèi)容聯(lián)系較多.第二部分這一部分的題是與矩陣、向量、特征值等后續(xù)內(nèi)容有關(guān)的題,相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后再看.但應(yīng)注意考研題中關(guān)于行列式內(nèi)容的出題例2.14設(shè)A為3X3矩陣,|A|=-2,把A按行分塊為A=A2,其中A(i=123)是A3-2AA的第i行，則行列式2A2=A1A3-*2A2A2AA3-2A1=2A2AiA3=2A2AiA=2與=2|A|=4A3例2.15判斷題(1)若A,B是可乘矩陣,則|AB|=|A|B(2)若A,B均為n階

19、方陣，則AB=AB.(1)錯(cuò)誤，因?yàn)锳,B不一定是方陣，即不一定有對(duì)應(yīng)的行列式.(2)錯(cuò)誤,例如取A=,B=3020A-B=1翳AB=5.例2.16證明：奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)矩陣的行列式為零證At=-A,|A|=|At|=|-A|=(-1)n例2.1701,3分)設(shè)矩陣解由于|a|=(k3)r,r2-r4=(k3)k1A=1k3111111k-1k-1R(A)=1,故必有2Ca(AtBA)2C=23CAtB=2cAtB=23A2=2例2.19設(shè)3階方陣A,B滿(mǎn)足方程A2BAB=E，試求矩陣B以及行列式B,1解由其中A=-2A2BAB=E,得(A2E)B=A0E,即(AE)(A-E)B,2由于0s-2A

20、-E=-20010A-E=2E0例2.20設(shè)A為3階方陣,一1.|A=2,求(1A)-3A的值.解方法1化為關(guān)于A的形式進(jìn)行計(jì)算.利用公式*(A)，=%,A，一,A(1勺口-3A=2A3A2-3A=A-3A_一二一一一B=(A-E)(AE)(AE)=(A-E)|00所以lBl=1/2方法2化為關(guān)于A，的形式計(jì)算.利用公式(A)=1aA.,A*=邛,A-=,有l(wèi)A2.21(數(shù)四，98,12AB=2nA=2A-3AA=-4AJ=(")=32()IA3分)設(shè)A,B均為n階方陣,A=2,B=-3,求2AB1的值.B=2nA=2n2n122nJ-32.22若國(guó)(踮廄,陷息都是4維列向量，且4階

21、行列式廊匹留-1,-2,-3,=m,計(jì)算4階行列式做3國(guó),覷邛1十口2的值.解如果行列式的列向量組為怛犀劇，則此行列式可表示為時(shí)解,跖用行列式的性質(zhì)，有=-=1,=-2,=-3,-1=4國(guó)國(guó)虺3邛1+3,02,2,03例2.23計(jì)算行列式|A|,|B|,n-1(n-1)x-1-1BhBlxn-1(n-1)x解|A|n-1n-1-,n（n刪）12!n-1n+x12qn-1+x2001!x-xcn-cj00Ix0二：二：rrrri衛(wèi)中;nj二：督n-0x0-xOx!oox00-xx0100這是逆對(duì)角的上三角行列式，所以n(n1)囿二(一1尸(中即攜2又|B|=n!,故°A=(_i)F"(她R|x)n!xn.BO2注這里用了公式：若A為m階方陣，B為n階方陣，則°A=(-l)mnAB.B°|Jr例2.24若A為n階方陣，E為單位矩陣，滿(mǎn)足AAT=E,IA|o,求aE|.解方法1由AAt=E有A|E|=|A|AAT=|A(EnAT)|=|A(EfflA)T=IA|(e!a)t|=|A|