三角函數(shù)復(fù)習(xí)說(shuō)課

1、 三角函數(shù)復(fù)習(xí)方案總體設(shè)計(jì) 一、考試說(shuō)明對(duì)本專(zhuān)題的要求 1考試說(shuō)明要求：內(nèi) 容知識(shí)要求了解（A）理解（B）掌握（C）基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、三角恒等變換、解三角形三角函數(shù)任意角的概念、弧度制任意角的正弦、余弦、正切的定義誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式周期函數(shù)的定義三角函數(shù)，的圖象和性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用三角恒等變換兩角和與差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式簡(jiǎn)單的三角恒等變換解三角形正弦定理、余弦定理解三角形及其簡(jiǎn)單應(yīng)用2考試說(shuō)明闡述：從近三年的湖北省考試說(shuō)明來(lái)看，關(guān)于三角函數(shù)這部分內(nèi)容高考的知識(shí)要求，沒(méi)有任何改動(dòng)，這意味著這部分在高考中的考查要求、方

2、式等是成熟的。“三角函數(shù)”的內(nèi)容主要包括三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換和解三角形三部分，這些內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，也是全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題的重要組成部分。進(jìn)入新課程以后，為了突出三角函數(shù)的主干內(nèi)容，特別是突出三角函數(shù)作為描述周期變換的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)，新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這部分內(nèi)容做了一些調(diào)整，如刪除了已知三角函數(shù)值求角、用半角公式等作復(fù)雜的恒等變形等。3課改以來(lái)，湖北省高考對(duì)三角函數(shù)的考查：年份題號(hào)題型所考知識(shí)點(diǎn)難度2012年11填空題余弦定理的應(yīng)用易2012年17解答題三角函數(shù)圖象與性質(zhì)易2013年4選擇題恒等變形及函數(shù)圖象的平移易2013年17解答題正、余弦定理與解三角形易2014年17

3、解答題恒等變形及三角函數(shù)的應(yīng)用易從上表可以看出，湖北省高考理科數(shù)學(xué)對(duì)三角函數(shù)這部分內(nèi)容的考查是嚴(yán)格按照考試說(shuō)明內(nèi)容規(guī)定的范圍來(lái)命題，而且題目難度不大，每年這部分內(nèi)容的分?jǐn)?shù)在12-17分之間，所以，我們2015屆復(fù)習(xí)三角函數(shù)這部分內(nèi)容應(yīng)在扎實(shí)基礎(chǔ)，規(guī)范解題過(guò)程上下功夫。二、專(zhuān)題知識(shí)體系構(gòu)建的方法與總體構(gòu)思1本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系任意角的三角函數(shù)定義（三角函數(shù)線(xiàn)）三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)兩角差的余弦公式銳角三角函數(shù)的定義角的度量角的表示符號(hào)分布特殊角的三角函數(shù)值誘導(dǎo)公式同角關(guān)系式 和角、差角、倍角公式角的擴(kuò)充解三角形正弦定理余弦定理2本章專(zhuān)題知識(shí)總體構(gòu)思通過(guò)考試說(shuō)明和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，引導(dǎo)學(xué)生明白本章在高考中

4、要考什么，怎么考，自己需要掌握哪些有用的東西，我在復(fù)習(xí)這一章的具體做法就是在第一節(jié)課當(dāng)中，先給出一張練習(xí)頁(yè)子，上面的題目都是今年全國(guó)各地的有關(guān)三角函數(shù)的考題，由于有部分學(xué)生知識(shí)上的遺忘，公式不記得，做的并不好，通過(guò)這個(gè)頁(yè)子，學(xué)生知道自己在哪些方面沒(méi)有掌握好，后面的學(xué)習(xí)就會(huì)有針對(duì)性寫(xiě)，其次我通過(guò)整整兩節(jié)課的時(shí)間，利用上面的三角函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，帶領(lǐng)他們一起復(fù)習(xí)回顧本章基本知識(shí)點(diǎn)，背誦理解三角函數(shù)中的公式，初步掌握公式在解題中的運(yùn)用，并開(kāi)展一次背記公式比賽活動(dòng)，讓每個(gè)學(xué)生公式過(guò)關(guān)，為后面的學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)。三、重點(diǎn)知識(shí)強(qiáng)化策略，難點(diǎn)知識(shí)突破策略及常見(jiàn)題型解題方法1三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）由圖象寫(xiě)

5、解析式，突破識(shí)圖難點(diǎn)；由性質(zhì)寫(xiě)解析式，達(dá)到對(duì)條件的全面理解。例1：已知函數(shù)(R,且)的部分圖象如圖所示(1) 求的值；(2) 若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】(1) 由圖像可知函數(shù)周期為，得 解得 (2) ，令，則原方程可以變?yōu)樵谏嫌幸粋€(gè)根，即在上有一個(gè)根由二次函數(shù)圖像可知 m的取值范圍是：或【說(shuō)明】1.利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡(jiǎn)，得到的形式，利用公式計(jì)算周期，求三角函數(shù)的最小正周期一般化成，形式，利用周期公式即可.2.掌握一些常規(guī)技巧：“1”的代換，和積互化等，異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊角與特殊角的三角函數(shù)互化；（3）注意

6、利用轉(zhuǎn)化的思想，本題轉(zhuǎn)化為求最值,熟悉公式的整體結(jié)構(gòu)，體會(huì)公式間的聯(lián)系，倍角公式和輔助角公式應(yīng)用是重點(diǎn).（2）通過(guò)結(jié)合圖象解決與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題（如方程，不等式），發(fā)展用圖象思考問(wèn)題的能力。例2：已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)B的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C的最大值為D既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)【解析】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，因?yàn)?，故的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)；對(duì)于選項(xiàng)B， ，故的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；對(duì)于選項(xiàng)C，令，則，。令，解得，在與上單減，在上單增，又，即為函數(shù)的最大值為；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，又，故既是奇函?shù)，又是周期函數(shù)?！菊f(shuō)明】將基本函數(shù)經(jīng)過(guò)“加工”產(chǎn)生一些新的函數(shù)，考查新函數(shù)的圖象或者性質(zhì)

7、是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，要注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)適應(yīng)。（3）通過(guò)解決三角函數(shù)與其它知識(shí)融合的綜合問(wèn)題，感悟知識(shí)之間的聯(lián)系，體驗(yàn)解題過(guò)程的復(fù)雜性，發(fā)展綜合運(yùn)用能力。例3：已知函數(shù)的周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象。（I）求，的解析式；（II）是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由；（III）求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)【解析】（）由函數(shù)的周期為，得又曲線(xiàn)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，故，得，所以將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位

8、長(zhǎng)度后得到函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解設(shè)，則因?yàn)?，所以，在?nèi)單調(diào)遞增又，且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即存在唯一的滿(mǎn)足題意（）依題意，令當(dāng)，即時(shí)，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程，現(xiàn)研究時(shí)方程解的情況令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線(xiàn)與曲線(xiàn)在的交點(diǎn)情況，令，得或當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于故當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)在內(nèi)有無(wú)交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)由函數(shù)的周期性，可知當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在

9、正整數(shù)，使得直線(xiàn)與曲線(xiàn)在內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，由周期性，所以綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)。【說(shuō)明】數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系千絲萬(wàn)縷，函數(shù)、方程、不等式本來(lái)就是一個(gè)整體，體會(huì)這樣的聯(lián)系非常有必要，更要注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。2三角恒等變換與解三角形（1）通過(guò)常規(guī)題目，再次熟悉并掌握“通性、通法”，進(jìn)一步強(qiáng)化三角恒等變換能力。例4：若，則A B C D【解析】，又，.【說(shuō)明】1.“變角”是三角恒等變換的核心，在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明確：角的變換應(yīng)首先考慮“已知角”和“所求角”之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用“已知角”表示“所求角”，要注意，和角、差角、倍角、半角的相對(duì)性，積累常見(jiàn)角的變換形

10、式；2.角的取值范圍會(huì)影響三角函數(shù)的符號(hào)，要注意符號(hào)的重要性。（2）靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)（如正、余弦定理等）解三角形，通過(guò)多種思路的探尋引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問(wèn)題的切入點(diǎn)；通過(guò)解法多樣化，拓展學(xué)生解三角形問(wèn)題的思路，串聯(lián)方法，體會(huì)解法的優(yōu)劣與繁簡(jiǎn)。例5：如圖，在三角形中，已知，且是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)?！窘馕觥浚ǚ?）在三角形中，由余弦定理可得，所以。在三角形中，再由余弦定理，在三角形中，由余弦定理可得 所以。（法2）如右圖，將三角形補(bǔ)成平行四邊形，則，由余弦定理得 所以，?！菊f(shuō)明】本題是一道余弦定理運(yùn)用的基本題型，解法豐富，通過(guò)不同解題思路的探尋，不同層次的學(xué)生都有收獲，從而積累數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高解題

11、能力。3三角函數(shù)與平面向量的綜合（1）運(yùn)用向量數(shù)量積和向量共線(xiàn)等知識(shí)，經(jīng)歷三角恒等變形的過(guò)程，進(jìn)行三角函數(shù)圖象的研究和三角求值；強(qiáng)化解題規(guī)范要求，培養(yǎng)解題方向的選擇、調(diào)整。例6：已知向量，。（I）若，試研究函數(shù)的單調(diào)性；（II）若，且，試求的值?！窘馕觥浚↖）當(dāng)時(shí)， ，由，得。當(dāng)，即時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減。（II）由 可得由，可得，（若則，此時(shí)，與條件矛盾）。從而有，即，兩邊同時(shí)除以，可得，所以，?！菊f(shuō)明】像本題以向量為載體，注重三角恒等變形，三角求值，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究，是向量與三角綜合問(wèn)題中的基本模型之一，也是高考中常見(jiàn)的基本問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生解決這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注重向量

12、運(yùn)算轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性，三角變形的合理性，書(shū)寫(xiě)表達(dá)的規(guī)范性。同時(shí)注重把握解題節(jié)奏，注意思路的方向性，提高解題效能。（2）熟悉三角形中邊角互化的處理策略，培養(yǎng)平面向量問(wèn)題化歸為基向量的基本意識(shí)，強(qiáng)化自覺(jué)運(yùn)用坐標(biāo)法將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想。例7：在三角形中，分別是角的對(duì)邊，若。（I）試判斷三角形的形狀；（II）設(shè)，點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍?！窘馕觥浚↖）由正弦定理，條件可以化為，又 ，故，由此可得，因此，所以，三角形為直角三角形。（II）結(jié)合（1）知，可得 ，則可設(shè)，內(nèi)切圓半徑，故圓心坐標(biāo)為，內(nèi)切圓方程為。設(shè)的坐標(biāo)為，則，又點(diǎn)在圓上，有，代入上式并化簡(jiǎn)得，由 可得，所以?！菊f(shuō)明】

13、本題著重轉(zhuǎn)化意識(shí)和坐標(biāo)意識(shí)的培養(yǎng)，正、余弦定理是邊角互化的主要依據(jù)，應(yīng)有自覺(jué)使用的意識(shí)。4有關(guān)概述三角函數(shù)這部分內(nèi)容重點(diǎn)、難點(diǎn)及典型題型上面有所介紹，高考中的三角函數(shù)題目盡管不是怎么難，但是對(duì)一般的學(xué)生來(lái)說(shuō)，得到滿(mǎn)分也不是特別容易的事情，我們?cè)诮o學(xué)生復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)該做到：“熟記公式，夯實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)會(huì)變通，規(guī)范格式”。以此為指導(dǎo)思想，要求學(xué)生不折不扣的完成訓(xùn)練任務(wù)，并見(jiàn)識(shí)歷年各地高考題的考法，打有準(zhǔn)備之仗，才能在考試中這部分內(nèi)容完美過(guò)關(guān)。五、訓(xùn)練題的選擇及其意圖本章訓(xùn)練題的選取不宜偏難怪，以基礎(chǔ)，貼近高考為基準(zhǔn)，選題要做到既要全面細(xì)致，又要有側(cè)重點(diǎn)，重點(diǎn)照顧到高考熱點(diǎn)考點(diǎn)，達(dá)到訓(xùn)練目的，下面

14、以一單元檢測(cè)題為例說(shuō)明訓(xùn)練意圖。單元訓(xùn)練卷（一）1已知點(diǎn)（）在第三象限，則角在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B考點(diǎn)：三角函數(shù)的符號(hào).2已知，則( )A. B C D【答案】B考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.3已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.函數(shù)的最小正周期為2B.函數(shù)在區(qū)間0，上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)0對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).4函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是 （ ）A.B. C. D.【答案】D考點(diǎn)：三角恒等變換.5已知，則（ ）A、2 B、-2 C、0 D、【答案】B考點(diǎn)：

15、誘導(dǎo)公式6 A B C D 【答案】D考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.7已知函數(shù)，若，則的取值范圍為（ ） A B C D【答案】B考點(diǎn)：三角函數(shù)的取值8已知，則（ ）A B C D【答案】C考點(diǎn)：三角函數(shù)公式9的值為 ( )A B C D【答案】A考點(diǎn)：三角恒等變換10在A(yíng)BC中，已知向量，則ABC為（ ）A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角 D等邊三角形【答案】D考點(diǎn)：三角函數(shù)與向量綜合11函數(shù)具備的性質(zhì)有 （將所有符合題意的序號(hào)都填上）（1）是偶函數(shù)；（2）是周期函數(shù)，且最小正周期為；（3）在上是增加的；（4）的最大值為2【答案】（1）考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性及最值；

16、2.數(shù)形結(jié)合思想.12在，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，若，則=.【答案】.考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用.13如圖，在矩形ABCD中，在上取一點(diǎn)P，使,求【答案】18考點(diǎn)：兩角和的正切公式14已知，且，則= .【答案】考點(diǎn)：1向量的數(shù)量積；2兩角和差公式。15中，角所對(duì)的邊分別為，下列命題正確的是_（寫(xiě)出正確命題的編號(hào)）.若最小內(nèi)角為，則；若，則；存在某鈍角，有；若，則的最小角小于；若，則.【答案】考點(diǎn)：本題考查三角函數(shù)與解三角形、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式的應(yīng)用等知識(shí) ，意在考查學(xué)生綜合解題能力.16已知函數(shù).（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.試題解析：（1）解：， 4分， 所以的

17、最小正周期為，最小值為. 8分（2）解：，所以， 11分因?yàn)?，所以，因此的值? 考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)；2.三角函數(shù)的求值.17已知函數(shù)的最大值為（）求常數(shù)的值；（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值試題解析：解：（1），由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，取最大值當(dāng)時(shí)，取最小值-3.考點(diǎn)：（1）求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.18.設(shè)函數(shù) （1）求的單調(diào)遞增區(qū)間. （2）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)A()處，切線(xiàn)斜率為，求： 試題解析：（1） 在每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（2） 又考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)，求三角函數(shù)值19已知函數(shù)為奇函數(shù)，且相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間； （2）將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域試題解析：（1）由題知, 相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸的距離為,又為奇函數(shù), , 即,要使單調(diào)遞減, 需, ,的單調(diào)減區(qū)間為(2) 由題知, , , ，, 函數(shù)的值域?yàn)榭键c(diǎn)：1三角函數(shù)的周期性奇偶性；2三角函數(shù)的單調(diào)性；3三角函數(shù)伸縮平移變換。20如圖,在平面四邊形中,.(1)求的值;(2)若,求的長(zhǎng).試題解析：(1)由關(guān)于的余弦定理可得,所以.(2)因?yàn)闉樗倪呅蝺?nèi)角,所以且