江蘇省普通高校“專轉本”統(tǒng)一考試數(shù)學模擬試卷與解析(一)

1、江蘇省普通高校“專轉本統(tǒng)一測試模擬試卷(一)解析 高等數(shù)學 考前須知： L考生務必將密封線內的各項填寫清楚. 2 .考生必須要鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上,寫在草稿紙上無效. 3 .本試卷五大題24小題,總分值150分,測試時間120分鐘. 一、 選擇題(本大題共6小題,每題4分,共24分,在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合要求的,請把所選項前的字母填在題后的括號內)o 1、工=0是/(不)=5抽的() X A、可去間斷點B、跳躍間斷點C、第二類間斷點D、連續(xù)點 2、假設x=2是函數(shù)y=xln(g+or)的可導極值點,那么常數(shù)a=() A、-1B、-C、D、1 22 3、假設Jf

2、(x)dx=F(x)+C,那么jsin(cosx)dx=() A、F(sinx)+CB、-F(sinx)+C D、F(cosx)+C 4、設區(qū)域.是xoy平面上以點4(11)、為頂點的三角形區(qū)域,區(qū)域 是.在第一象限的局部,那么：|(xy+cosxsinyylxdy=( D A、2jj(cosxsiny)dxdy C、4JJxy+cosxsiny)dxdy 5、設(x,y)=arctanv(x,y)=hiyjx2+y2,那么以下等式成立的是() Adudvcdudv A、=B、= dxdydxdx C、F(cos)+C B、2,xydxdy A D、0 三、計算題(本大題共8小題,每題8分,共

3、64分). f/(x)+2sinx 13、設函數(shù)/(x)=v八在(TO,一)內連續(xù),并滿足：/(0)=0、 ax=0 f(0)=6,求“. AW,所確定,求4 y=sin/-rcosrdxdx c6Gv、a, C、=D、= dydxdy8x 6、正項級數(shù)(1)Z%、(2),那么以下說法正確的選項是() /r-l;r-l A、假設(1)發(fā)散、那么(2)必發(fā)散B、假設(2)收斂、那么(1)必收斂 C、假設(1)發(fā)散、那么(2)不定D、假設(1).(2)斂散性相同 二、填空題(本大題共6小題,每題6分,共24分,請把正確答案的結果添在劃線上工 7、 ,一一2工 lim J.x-sinx 8、 9、

4、函數(shù)f(x)=Inx在區(qū)間I,上滿足拉格朗日中值定理的J= p有+1 Li+x2- 10、設向量a=3,4,-1、4=21次：且夕、夕互相垂直,那么：= 11、交換二次積分的次序dx：fy)dy= 12、 事級數(shù)f(2-1)/的收斂區(qū)間為W-1 14、設函數(shù)y=y(x)由方程 15i|Jtan3x-secxdx( 16計算卜rctanxdj ao2 17、函數(shù)z=/(sinx,)2),其中有二階連續(xù)偏導數(shù),求三、_L_dxdxoy 18、求過點A(34-2)且通過直線L:=三的平面方程. 521 19、將函數(shù)/(X)=：r展開為X的靠級數(shù),并寫出它的收斂區(qū)間. 2-x-x*20、求微分方程W+

5、y-e=0滿足yk=e的特解. 四、證實題(每題9分,共18分) 21、證實方程：/-3工+1=0在_口上有且僅有一根, 22、設=其中函數(shù)到外在工=0處具有二階連續(xù)導數(shù),且 1,%=0, 奴0)=0,.(0)=1,證實：函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù)且可導.五、綜合題(每題10分,共20分) 23、曲邊三角形由y2=2x、x=0、y=l所圍成,求: (1)、曲邊三角形的面積; (2)、曲邊三角形饒X軸旋轉一周的旋轉體體積c 24、設/(幻為連續(xù)函數(shù),且2)=1,/()=心,/必工,(ii1)(1)、交換一()的積分次序; (2)、求尸(2),江蘇省 2021年普通高校“專轉本統(tǒng)一測試模擬試卷解析

6、一 高等數(shù)學 一、選擇題本大題共6小題,每題4分,共24分,在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合要求的,請把所選項前的字母填在題后的括號內o 1x=0是/x=xsin,的 x A、可去間斷點B、跳躍間斷點C、第二類間斷點D、連續(xù)點 解析：函數(shù)/X在/處連續(xù)的定義為上丫=/.實際上包含三個條件 1函數(shù)fx在小處必須有定義： 2函數(shù)/x在/處的極限存在： 3函數(shù)/外在見處的極限值必須等于函數(shù)值： 當上述三個條件不全滿足時的點即為函數(shù)/ X的間斷點.而初等函數(shù)在定義區(qū)間之內均是連續(xù)的,所以,沒有定義的點一定是間斷點,分段函數(shù)的分段點是可能的間斷點. 根據(jù)點X.處的極限情況來加以分類: 假設有

7、一個為 8：無窮間斷點 均不為無窮,函數(shù)不停振蕩：振蕩間斷點 ifijlimfx=limx-sin-=0,即函數(shù)在x=0處沒有定義,但左右極限均存在且相等,故XTOx-MJ% 此題答案選A 2、假設x=2是函數(shù)y=xln+ai的可導極值點,那么常數(shù)“= 2 A、-1B、-C、-1D、1 22 解析：該題考察函數(shù)/X極值點的必要條件,假設x=%處可導且為極值點,那么/=, 故此題/2=0即1下上一12=0,于是.=,故此題答案選C ,-+ax2 2 左右極限均存在：第一類 相等：可去間斷點 不相等：跳躍間斷點 左右極限至少有一個不存在: 第二類 3假設J/(x)c/x=+C,貝iJsinV(co

8、sx)dx=() B、-F(sinx)+C D、-F(cosx)+C 解析：該題考察不定積分的根本概念以及湊微分法. 求/(X)的不定積分就是找那些導數(shù)為一(X)的所有函數(shù)全體,不定積分求解正確與否,只要反過來求導是否為被積函數(shù)即可. JsinA/*(cosx)dx=-j/(cosxdcosx=-F(cosx)+C故此題答案選D 4、設區(qū)域.是xoy平面上以點A.)、.(一1,一1)為頂點的三角形區(qū)域,區(qū)域R 是.在第一象限的局部,那么：|(xy+cosxsinylxdy=(D 設積分區(qū)域.關于x軸對稱, (1)假設/(x,y)關于y是奇函數(shù),那么有 fjf(x,y)dc-f(x9y)d( (

9、r, i)i) )i 其中是.的上半?yún)^(qū)域. 類似的,假設積分區(qū)域.關于y釉對稱, (1)假設/(x,y)關于天是奇函數(shù),那么有 JJ7(x,J)drJJ7(x,J)dr- -2jj7(x,y)db,2jj7(x,y)db, I) )i) )i 其中A是.的右半?yún)^(qū)域. A、F(sinx)+C C、F(cos)+C A、2.(cosxsinydxdy C、4JJ(xy+cosxsiny)dxdy D 解析：該題考察函數(shù)奇偶性(對稱性) B、2,xydxdy A D、0 的二重枳分在對稱區(qū)域上的積分性質. (2)假設/(x,y)關于),是偶函數(shù),那么有 (2)假設/(x,y)關于天是偶函數(shù),那么有

10、5、 x 設y)=arctan ,v(x,y)=hiylx2+y2,那么以下等式成立的是() A、 du_dv dxdy B、 du_dv dxdx C、 dudf dydx D、 dud 解析：該題考察二元顯函數(shù)偏導數(shù)的求法,偏導數(shù)的本質就是將其中一個變量當作常量對另一個變量的導數(shù). du1 -=T-7,V(x,y)=Indx2+y2=-ln(x2+), y尸+廠2 aa. 內24尸.2戶春7即黃=康故此題答案選A dv11 dx jj(xy+cosxsiny)dxdyi) =jjxydxdy+JJcosxsinjclxdj+JJxydrdj+|cosxsinjcLrdj DIJD2 =1J

11、Jcosxsinjdrdj, 故此題答案選A 如圖將D分為4局部Q,2,.3,.4,那么: X 6、正項級數(shù)1Z*、2,那么以下說法正確的選項是 /r-l/r-1 A、假設1發(fā)散、那么2必發(fā)散B、假設2收斂、那么1必收斂 C、假設1發(fā)散、那么2不定D、假設1、2斂散性相同 解析：該題考察正項級數(shù)的收斂性質,比擬審斂法. 假設正頂級數(shù)“收斂,那么攵1一定收斂,由于當足夠大時,n-1n-1 .Xx00 由比擬審斂法知：收斂假設正項級數(shù)發(fā)散,那么攵1的斂散n-1n-1n-l 性不能確定.如%=3與=二.請讀者自行驗證 3773 故此題答案選C其它選項可以舉反例 二、填空題本大題共6小題,每題6分,共

12、24分,請把正確答案的結果添在劃線上, 7、HnjUx 1.x-sinx 08 解析：求極限時,先判斷極限類型,假設是丫或一型可以直接使用羅比達法那么,其余類型可 0O0 以轉化為9或二型.羅比達法那么求極限的好處主要有兩方而,一是通過求導降階,二是通0s 過求導將難求極限的極限形式轉變?yōu)槿菀浊髽O限的形式.不過,在求極限時應靈活使用多種方法,特別是無窮小量或是無窮大量階的比擬,使用等價無窮小或是等價無窮大的目的是將函數(shù)轉換為基的形式,方便判別階數(shù). =lim=lim+屋)=2 .DX.1)8、函數(shù)/x=Inx在區(qū)間I上滿足拉格郎日中值定理的J=： 解析：在江蘇省“專轉本測試中,微分中值定理考察

13、的層次為識記與理解.主要考察羅爾定理與拉格朗日定理的條件與結論,定理的條件是充分的,但不必要.假設遇到證實至少存在 一點g的表達式,特別是帶有導數(shù)的,一般都是利用羅爾定理構造輔助函數(shù)證實. 1 呼 FTlFWErT 即 1, 一尸 2 /.-川=八處1,即:=工e-i 又ra1,所以:V 11, 于是=二1,得4=6-1. 解析：該題考察奇偶函數(shù)的定積分在對稱區(qū)間上的積分性質. o,/X為奇函數(shù) L仆仆=|2心J為偶函數(shù) -1/Tc、7C =2arctanx；=2(-0)= 10、設向量2=3,4,1、4=2,1/：a、/互相垂直,那么&=: 解析：該題考察向量的根本運算一一數(shù)量積運算

14、.兩向量數(shù)量積為對應分量乘積之和,結果是一個數(shù)量.兩向量垂直的充要條件是數(shù)量積為0.平行的充要條件是向量積為0向量或分量對應成比例 由條件aP=3,4,1,2,1,&=6+4女=0,得女=10. rT 11、交換二次積分的次序=: 解析：二重積分問題是很多“專轉本同學的難點.首先要理解二重積分的幾何意義,特別是對稱型簡化積分計算. 在直角坐標系下,首先要畫出積分區(qū)域,然后根據(jù)被積函數(shù)的特點與區(qū)域的形狀選擇適當?shù)姆e分順序. 一IWO i_轉化為.：x+/必. 9、 有+1 l-U+x2 fl7TX+1_plnx L1+x2-J-l1+x2 1八1 7=0+27 -1l+x2Jol+x2

15、積分區(qū)域 D: 7t11c =-In2 42 17、函數(shù)z=/sinx,y2,其中/有二階連續(xù)偏導數(shù),求三、二dxdxdy 解析：該題型是幾乎每年必考,需要認真掌握.第一步：變量的關系網(wǎng)絡圖 H 小.一力一公一力 cost-cost+tsint =T T 弋 其中1,2分別表示sinx,y2 第二步：尋找與x對應的路徑(v),計算的過程可以總結為“路中用乘,路間用加 18、求過點A(3,l-2)且通過直線L:=-的平面方程.521 解析：求平面方程,根本方法是使用點法式,求出平而上的一個定點和法向量 平而上的定點A(3,l,2),又直線 ：=1=過點8=4,3,0,其方向向 量法向量1=5,2

16、,1,瓶=1,T.2；故 一ijk n=sxAB=521=8,-9,-22) 1-42 平面點法式方程為：8(x-3)-9(y-l)-22(z+2)=0,即8x-9y-22z=59. 19、把函數(shù)/(X)=：r展開為X的靠級數(shù),并寫出它的收斂區(qū)間.2-x-x* 解析：函數(shù)展開成事級數(shù)是很多同學在解題時遇到的一個很棘手的問題,大家普遍反映這個很難.此處給予較詳細的講解： 00 函數(shù)/(X)展開成卷級數(shù),一種是在x=o展開,展開成形如Z/的事級數(shù). /r-0 還有一種是在X=N)展開,展開成形如Z/(x-Xo)的事級數(shù)/|-0 X 其中展開成形如的事級數(shù)是最根本的,解題之前,需熟記以下常用展開式

17、/r-0dx d2z dxdy =COSA/；2-2y=2ycosV12 廠XX (1)CX=1+X+H+ 2!3!n OXoO 12)=1+x+x+x+x+一1x1 1-x 將上式中X換成-X,那么上式變?yōu)?1 1-(一) =1一X+(-X)2+(r)3+(_幻1+X + dx=ln(l+x)+c,+x 匕I 4個a=ln(l+x)對上式兩邊積分可得 ln(l+x)的基級數(shù)展開式 r2v3r4丫川 (3)ln(l+x)=x+(-)+一vx4 234+1 (4) sinx=x-+(-1)- 3!5!(2/1+1)! 由于(sinx)=cosX,對上式兩邊關于x求導可到下式 XXY- (5)CO

18、SX=1一一+一一+(-1)-+一 2!4!(2)！ 綜上,對于需要熟記的幾個常用的初等函數(shù)的事級數(shù)展開式,如果學得靈活,只需熟記(1)、(2)、(4)即可.其他的可通過積分或是求導的方法得到. 如果以上五個函數(shù)需要展開成形如工45-%)的呆級數(shù),只需將式子中的x換成工-%/F-0 例如：=1+(XX.)+(X%0),+(XX.)+(X尤0)+ l-(x-x0) 將函數(shù)展開成事級數(shù),首先是將需要展開的函數(shù)分解為以上五個函數(shù)的形式,然后使用已有的函數(shù)展開式. X211X21r21 解法：/(%)=(+)=+ 32+x1-x6tx31-x 1+ 2 V28 =yS D=0 (一1) 2+i +1收斂域為1VXV1.這里用到 =1+X+X-+X,+x+1Xc11-x l-M) =l+(ax)+(o ) +(ax)3+-+( %)+1ax1 關于函數(shù)展開成幕級數(shù)的幾點說明： 1、 函數(shù)展開成基級數(shù),首先需要將函數(shù)通過分解,拼湊,求導或是積分等手