向量與坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)精編版

1、解析幾何復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章向量與坐標(biāo)第一節(jié)向量的概念：空間中具有大小和方向的量叫做空間向量。向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模（modulus）。規(guī)定，長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0.模為1的向量稱為單位向量。與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量。記為-a方向相等且模相等的向量稱為相等向量。長(zhǎng)度為一個(gè)單位（即模為1）的向量，叫做單位向量.與向量a同向，且長(zhǎng)度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作a0,a0=a/|a|。1共線向量定理兩個(gè)空間向量a,b向量（b向量不等于0）,a/b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)使a=Xb2共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共

2、面的充要條件是：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使c=ax+by3空間向量分解定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使p=xa+yb+zc。任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，零向量的表示唯一。1.2向量的加法三角形定則解決向量加減的方法：將各個(gè)向量依次首尾順次相接，結(jié)果為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)。平行四邊形定則解決向量加法的方法：將兩個(gè)向量平移至公共起點(diǎn)，以向量的兩條邊作平行四邊形，向量的加法結(jié)果為公共起點(diǎn)的對(duì)角線。平行四邊形定則解決向量減法的方法：將兩個(gè)向量平移至公共起點(diǎn)，以向量的兩條邊作平行四邊形，結(jié)果由減向量的終點(diǎn)指

3、向被減向量的終點(diǎn)。(平行四邊形定則只適用于兩個(gè)非零非共線向量的加減。)坐標(biāo)系解向量加減法：在直角坐標(biāo)系里面，定義原點(diǎn)為向量的起點(diǎn).兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差若向量的表示為(x,y)形式，A(X1,Y1)B(X2,Y2)，貝UA+B=(X1+X2,Y1+Y2),A-B=(X1-X2,Y1-Y2)簡(jiǎn)單地講：向量的加減就是向量對(duì)應(yīng)分量的加減。類似于物理的正交分解。向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。減法如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0OA-OB=BA.即共同起點(diǎn)，指向被向量的減法減

4、”a=(x,y)b=(x',y')貝Ua-b=(x-x',y-y').如圖：c=a-b以b的結(jié)束為起點(diǎn)，a的結(jié)束為終點(diǎn)。交換律：a+(-b)=a-b1.3向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)入和向量a的叉乘乘積是一個(gè)向量，記作Aa,且I?aI=IXI*IaIo當(dāng)入0時(shí)，也的方向與a的方向相同；當(dāng)入0時(shí)，治的方向與a的方向相反；當(dāng)入=0時(shí)，治=0,方向任意。當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)入都有Aa=0o注：按定義知，如果Za=0，那么入=0或a=0。實(shí)數(shù)入叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量Aa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。當(dāng)IXI1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(入0或反方向(入

5、0上伸長(zhǎng)為原來的IXI倍當(dāng)I歸1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(入0或x歡方向(入0上縮短為原來的I歸倍。實(shí)數(shù)p和向量a的點(diǎn)乘乘積是一個(gè)數(shù)。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：(對(duì))b=入ab)=(a-b)o向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(入+園=入a+(ia.數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：入a+b)=洎+入b.數(shù)乘向量的消去律：如果實(shí)數(shù)入乒回Za=冶，那么a=b。如果a0且Za=四，那么/(1。需要注意的是：向量的加減乘除運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)加減乘除運(yùn)算法則。1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解如果V是一個(gè)線性空間，如果存在不全為零的系數(shù)c1,c2,.,cnF,使得clvl+c2v2+.+c

6、nvn=0,那么其中有限多個(gè)向量v1,v2,.,vn稱為線性相關(guān)的.反之，稱這組向量為線性無關(guān)的。更一般的，如果有無窮多個(gè)向量，我們稱這無窮多個(gè)向量是線性無關(guān)的，如果其中任意有限多個(gè)都是線性無關(guān)的。分解定理平面向量分解定理：如果el、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2使a=入fel+入2e2我們把不平行向量el、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一基底。定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式（向量P1P$向量PP2）設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是直線上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)任意實(shí)數(shù)入且入不等于-1,使向量P1P$向量PP2,入叫做點(diǎn)P分有向

7、線段P1P2所成的比。若P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,P（x,y）,則有OP=（OP1+入OP2）/（1+討）（定比分點(diǎn)向量公式）x=（x1+入x2）/（1+入）,y=（y1+入y2）/（1+。入）（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式三向量共面的充要條件是他們線性相關(guān)空間任何四個(gè)向量總是線性相關(guān)空間四個(gè)以上向量總是線性相關(guān)1.5標(biāo)架與坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每個(gè)部分叫做一個(gè)卦限。含有x軸正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時(shí)針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六

8、、七、八卦限?？臻g向量的八個(gè)卦限的符號(hào)InmIVVVIWx+-+-+y+-+-z+-空間的一個(gè)定點(diǎn)O,連同三個(gè)不共面的有序向量el,e2,e3的全體，叫做空間中的一個(gè)標(biāo)架，記做O;el,e2,e3。如果el,e2,e3都是單位向量，那么O;el,e2,e3就叫做笛卡兒標(biāo)架。兩兩互相垂直的標(biāo)架叫做笛卡兒直角標(biāo)架。在一般情況下，O;el,e2,e3叫做仿射標(biāo)架。標(biāo)架一般是完全決定空間坐標(biāo)系來用的，所以空間坐標(biāo)系也可以用標(biāo)架O;el,e2,e3來表示，這時(shí)候點(diǎn)O就可以叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，而向量el,e2,e3都叫做坐標(biāo)向量。當(dāng)空間取定標(biāo)架O;el,e2,e3后，空間全體向量的集合或者全體點(diǎn)的集合與全體有序

9、三數(shù)組x,y,z的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系就叫做空間向量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系。此時(shí)，向量或點(diǎn)關(guān)于標(biāo)架O;el,e2,e3的坐標(biāo)，也稱為該向量或點(diǎn)關(guān)于由這標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系的坐標(biāo)。標(biāo)架是空間坐標(biāo)系的向量化。笛卡爾坐標(biāo)系(Cartesian)-系統(tǒng)用X、丫和Z表示坐標(biāo)值。柱坐標(biāo)系(Cylindrical)-系統(tǒng)用半徑、theta(q)和Z表示坐標(biāo)值。球坐標(biāo)系(Spherical)-系統(tǒng)用半徑、theta(q)和phi(f)表示坐標(biāo)值。1.6向量在軸上的射影設(shè)向量AB的始點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸l上的射影分別為A和B',那么向量A'B'叫做向量AB在軸l上的射影向量，記

10、做射影向量lAB射影l(fā)AB=|AB|COS0,0=Z(l,AB)1.7兩向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b，貝U角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b并規(guī)定0va,b>v兀定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量（沒有方向），記作ab。若a、b不共線，貝Uab=|a|b|cosa,b（依定義有：cosa,b>=ab/|a|b|）;若a、b共線，貝Uab=±IaIIbIo向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx'+yy'。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律ab=ba（交換律）（入a）-b=入（a（關(guān)下散乘法的結(jié)合律）（a+b）c=ac+b

11、c（分配律）向量的數(shù)量積的性質(zhì)aa=|a|的平方。a±b=>ab=0。|ab|y|b|。（該公式證明如下：|ab|=|a|b|-|cos因內(nèi)0v|cosa|湖以|ab|b|）向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：（ab）c布（bc）;例如：（ab）2a2b2。2. 向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由ab=ac（aP）,推不出b=c。|ab|與|a|b|不等價(jià)4.由不能推出a=b，也不能推出a=-b,但反過來則成立。1.8兩向量的向量積定義：兩個(gè)向量a和b的向量積困I冏童的幾何表承向量的幾何表示(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a沖(這里“X并不是乘號(hào)，只

12、是一種表示方法，與“不同，也可記做)。若a、b不共線，貝Ua>b的模是：IaxbI=|a|b|sina,b；axb的方向是：垂直于a和b,且a、b和a>b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b垂直，則IaxbI=|a|*|b|(此處與數(shù)量積不同，請(qǐng)注意)，若axb=0，則a、b平行。向量積即兩個(gè)不共線非零向量所在平面的一組法向量。運(yùn)算法則：運(yùn)用三階行列式設(shè)a,b,c分別為沿x,y,z軸的單位向量A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)則A*B=abcx1y1z1x2y2z2向量的向量積性質(zhì)：Ia沖I是以a和b為邊的平行四邊形面積。aa0oa平行b=>axb=0向量的向量積運(yùn)算

13、律axb=bxa(洎)xb=入(axb)=ax(Ab)ax(b+c)=a>b+axc.(a+b)xc=axc+bxc.上兩個(gè)分配律分別稱為左分配律和右分配律。在演算中應(yīng)注意不能交換“x號(hào)兩側(cè)向量的次序。如：ax(2b)=bx(2a)和cx(a+b)=axc+bxc都是錯(cuò)誤的!注：向量沒有除法，向量AB/向量CD是沒有意義的。1.9三向量的混合積定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a>b，再和向量c作數(shù)量積(axb)c,向量的混合積所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(axb)c混合積具有下列性質(zhì)：1.三個(gè)

14、不共面向量a、b、c的混合積的絕對(duì)值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V,并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是負(fù)數(shù)，即(abc)=&V(當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)e=1當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)&=1)2.上性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=03.(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)例題正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相連，L是EH中點(diǎn)，求證LB±GK?設(shè)AE=a(向量)，AG=a',AD=c,AB=c',CH=b,CK=b'有aa

15、9;=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b'c'.b'c=-bc'(*)EH=-a+c+c'+bLB=EH/2-b-c=(-a-c+c'-b)/2,GK=-a'+c'+c+b'從(*):(-a-c+c'-b)(-a'+c'+c+b')=0.LB±GK1.10二向量的雙重向量積由于二重向量叉乘的計(jì)算較為復(fù)雜，于是直

16、接給出了下列化簡(jiǎn)公式以及證明過程:福，)LtFU-皿-M妙圮5)加5局1-叫與X*«叫<|>!,|-WirEL*虧>IF/.Lrf時(shí)*AMiI-<1-(*i!*>?!中j-jEir.ti；krgi毛仕h-IiLld*-rLii,|lJ-c；jFFTrJJj二重向量叉乘化簡(jiǎn)公式及證明M_WK._"幟亍"I-56葉向量積和數(shù)量積的關(guān)系式給定空間內(nèi)四個(gè)向量a、b、c、d,則這四個(gè)向量之間滿足如下關(guān)系：(axb)»(cxd)=(a.C(b.d)-S50c證明：由混合積的性質(zhì)可知(ax&)«(cxd)=a(bx(cxd)(即把cxd看成一個(gè)新的向量e,利用性質(zhì)(a>b)e=a(bxe)再根據(jù)二重向量積的性