復合泊松分布

1、復合泊松分布及其性質稱隨機變量s=EN任Xi服從參數(shù)為舄的復合泊松分布，如果滿足1.隨機變量N,X1,X2|,Xn是相互獨立2. 若Xi，X2，l1l,Xnlll具有相同的分布，且分布與X相同N服從泊松分布，參數(shù)為人0E(S)=E(X)E(N)='E(X)Var(S)=Var(X)E(N)E(X)2Var(N)=Var(X)E(X)22='E(X)二:,nn_enFS(x)='P(N=n)Fn(x)='Fn(x)n=6n=0n!:-'.nfs(x)=Sf*n(x)定理3.1設Si，&,|,Sn為相互獨立的隨機變量，且Si為參數(shù)為&,個體索

2、賠分布為fx«x)的復合泊松分布，i=1,21m,則mm,S=5+S2+lll+Sn服從參數(shù)為兀=Z約，且fX(xfXi(x)的復合i1i=1'分布。背景：m可看成m個保險保單組合,S則是這m個保單組合的總索賠額。S也可以看作同一個保單組合在m個不同年度內的總索賠額證明：設Si為參數(shù)為的復合泊松分布，S的矩母函數(shù)為Msi(texpph(MXi(t)-1)。由丁S&JHSn為相互獨立的隨機變量,因此S的矩母函數(shù)為：mts半Ms(t)=E(ets)=E(e±)mmts=HE(etSi)=nMs(t)ididmm=exp"MB-、')i注i4m，

3、=exp(i(M，i(t1)i彳m設MX(t)=£MXi(t),由矩母函數(shù)的定義知，MX(t)為im'xm"fx(t)='-i1'fXi(t)的矩母函數(shù)，因此Ms(t)=exp(Mx(t)1)所以S為參數(shù)為赤，個體索賠分布為fX(x)的復合泊松分布。例：設S服從復合泊松分布，*=10,fX1(1)=0.7,fX1(2)=0.3,&也服從復合泊松分布，=15,fX2(1)=0.5,fX2(2)=0.2,fX2(3)=0.2，若S,和S2相互獨立，求S=S+S2的分布。解：S服從復合泊松分布,舄=10十15=25,X的分布為fx(x)=25fxi

4、(k)25fx2(k)1015fx(1)=一0.70.5=0.5825251015fx(2)=0.30.3=0.302525fx(3)=性.2坦0.2=0.122525定理：設總索賠額S是一個復合泊松分布，其中個體保單的索賠額X的分布fx(x)。假設X的取值可以分為m種類型：G,C2,IH,Cm,其中氣=P(XG)。設N表示索賠發(fā)生總次數(shù)，N,lll,Nm分別表示G,C2,IH,Cm類型索賠發(fā)生的次數(shù)，N=N+N2+Il|+Nm。下面結論成(1) 隨機變量Ni,N2,lll,Nm相互獨立，Ni服從參數(shù)為*=阿的泊松分布。設X表示當?shù)趇類索賠事件發(fā)生時的索賠額，即X(D=X|XCi,令S=Xi+

5、|十乂""=1,|血，則S,lll,Sm都是相互獨立且Si服從參數(shù)為&=赫i的復合泊松分布，個體索賠額為X(i)。例3.13:設S服從復合泊松分布，兀=10,fx(1)=0.5,fx(2)=0.3,fx(3)=0.2。令C1=(X|X壬2),C2=(X|X2),求X(1),X(2)的分布，5,&的分布。解：令p1=P(X壬2)=0.5+0.3=0.8,p2=P(X>2)=0.2則X,X(2)的分布為XfX(x)fX(x)fx(2)(x)X10.50.5/Z0.8020.30.3/0.8030.200.2/0.2設N表示第i類索賠事件發(fā)生的次數(shù)，則N是泊

6、松分布，我=7F(xG)=10p。于是計算得至U7*=10乂0.8=8,=100.2=2,因此，s是復合泊松分布，九=8,個體索賠分布為53fx(i)(1)=,fX(2)(2)=。&是復合泊松分布，丸=2，個體索賂分布為88fx(2)(3)=1例3.14設索賠次數(shù)N服從=2的泊松分布，個體索賠額的分布fx(x)=0.1x,x=1,2,3,4,計算總索賠額S等丁1,2,3,4時的概率。解：設Ni表示個體索賠額為i的索賠事件次數(shù)，則Ni服從參數(shù)為叫的泊松分布，總索賠額S=1N+2N+3N+4N其中，1=0.1兀,2=0%&,兀0干3利用獨0K4L變量和的卷積公式得到卜表。x1Ni2

7、N23N34N4fs(x)00.81870.67030.5488'0.44930.135310.163750000.0270520.0163750.2681000.0568330.0010900.329300.092240.0000550.053600.35950.1364例3.15:設某保險公司承保醫(yī)療保險，X表示一次醫(yī)療費用，N表示看病的次數(shù)，N服從泊松分布，S=X+X2+IH+Xn表示該醫(yī)療保險的總費用，設X的分布密度為fX(x)=2250("京0<x<250試分析加入免賠額d=50后，保險公司的總索賠額的變化解：首先考慮無免賠額情形，此時d=0。總索賠額等

8、丁總醫(yī)療費用S。由X的分布密度計算得到250E(X)=x2(1-M)dx=2502503=83.32502var(xr總索賠額的期望和方差為E(S)=，E(X)=8333.32Var(S)=E(X2)=100(E(X)2Var(X)22 ，250、2250、=100(;)18=1041666.6下面考慮d=50的情形。這時將醫(yī)療費用分為兩類：G=(X|X50)C2=(X|X50)。設M表示醫(yī)療費用小丁等丁免賠50c額的次數(shù)，服從參數(shù)為"=P(X50)=100(1-(1-)2)=36的泊松分250布。N2表示醫(yī)療費用大丁免賠額，服從參數(shù)2=7尸(X>50)=100(1-竺)2=6

9、4的泊松分布。設乂=X|x<50,250X2=X|x*0，則總損失額S=S+S2,其中§=X1川XnS2*川Xn2S1表示醫(yī)療費小丁等丁免賠額的總費用，這部分費用完全由投保人承擔。S2表示醫(yī)療費大丁免賠額的總費用。由丁X2=X|x*o=50+(X-50)|x*o,因此S=Xi+|+Xn2=50N2十(丫十III+Yn2)其中Y=Xj-50|x.地表示第i次看病的索賠額。從上式可以看出，總費i用S2分為兩部分，一部分由投保人承擔，另一部分是總索賠額部分，由保險人來承擔。我們記總索賠額為S3,則S3=丫+川十丫卬。Yi的分布密度為2(1一50")f(y)_fY(50y)_

10、250*250YP(X50)50)22502(20y)250*250(200)2250()200200因此,差為2002(200)2E(Y)=羹°,Var(Y)=2(200)?？梢缘玫娇偫碣r額的期望和萬39.4-200E(S3)=E(N2)E(Y)=64()=4266.63八220022002-Var(S3)=E(N2)E(Y2)=64(；)2=)=426.6318加入免賠額后，總理賠額比沒有免賠額時減少了8333.3-4266.6_rtn/=48.8%。8333.3事實上，總損失S可以分解為：S=&力卜乂卬lXi(2)T"Xn(2),Si=s+50N2+YHIJ+

11、YnS4S3其中S4為投保人承擔的醫(yī)療費用，S3是由保險人來承擔索賠額。S的近似分布1、正態(tài)近似定理設個別理賠額分布函數(shù)為f(x),u1=E(X),u2=E(X2)。如果S是復合泊松分布，參數(shù)為島，則當%*時z=*i叢,U2的分布趨丁標準正態(tài)分布。如果S是復合負二項式分布，參數(shù)為r,P,k=0,1,2l|個別理賠額分布函數(shù)為f(x),則-S-ru1Z=七2r32(2)。對丁泊松分的分布在r*時趨丁標準正態(tài)分布。證明：我們將利用limMZ(t)=e2來證明(1)布情形，由z=SLes)=輜當?shù)玫?Var(S)u2S-，Uit.'Uit、Mz(t)=E(exp(t)=Ms()exp)一&#

12、39;u2'u2'u2由公式(5)知Ms(t)=expMMx(t)-1),因此由矩母函數(shù)的級數(shù)展開式nMx(t)=£甘)=1+E(X)t+12十川+1-+川，2n!我們可以得到,Mz(t)=exp(1t2+1二%t3+HI)26"(u2)2eT，即lim.MZ(t)當舄t",MZ(t)-*t2=e。從而，Z分布在rT"時趨丁標準正態(tài)分布。S-E(N)E(X)對丁負二項分布，令z=S二E(S)_,Var(S)E(N)Var(X)Var(N)E(X)2=Su,r-u2r-2u12再用類似的方法證明Z分布在rT*時趨丁標準正態(tài)分布。此處不再敘述

13、。例：(SOA2001-1130)TheclaimsdepartmentofaninsurancecompanyreceivesenvelopeswithclaimsforinsurancecoverageataPoissonrateofl=50envelopesperweek.Foranyperiodoftime,thenumberofenvelopesandthenumbersofclaimsintheenvelopesareindependent.Thenumbersofclaimsintheenvelopeshavethefollowingdistribution:NumberofCl

14、aimsPiotabiIity1 (1202 0.253 CUU4 (hi5Usingthenormalapproximation,calculatethe90thpercentileof24/39thenumberofclaimsreceivedin13weeks.解：設Y表示第I個信封中的索賠數(shù)。設X(13)表示13周內收到的總索賠數(shù)。E(Y)=1X0.2+2X0.25+3X0.4+4X0.15=2.52E(Y2)=10.240.2590.4160.15=7.2E(X(13)=50132.5=1625Var(X(13)=50137.2=4680由P(X(13)£Z)=0.9=：&

15、quot;1.282)>P(X(13U25”282)'、4680因此，X(13)”712.72、平移gamma近似-x設G(x*,E)=白-產(chǎn)七出為gamma分布，對任意一點X0,0一(：)定義一個新的分布函數(shù)H(x,。，&,Xo)=G(x-冷;口，)。若設h(x)和g(x)分布為H(x,%E,xo)和G(x,xo，口，臼)的分布函數(shù)密度，則從圖形上H和G只差了一個平移變換0.7圖5.1H和G的分布密度圖下面我們用h(x)來描述總索賠S的分布密度。因為h(x)有三個參數(shù)，所以只需根據(jù)S的均值、方差和三階中心矩定出h(x)的形狀和位置。乂因.aaoa為H的均值，萬差和三階中

16、心矩分別為X。+§,p2,3，所以用h(x)來描述S的分布時，下面三個等式近似成立。otE(S)=x°+g(7)Var(S)=$2二E(S-E(S)3下J這是一方程組，解出x°,%E有X。=E(S)2Var(S)2E(S-E(S)3-4Var(S)3E(SE(S)3)2p_2Var(S)E(S-E(S)3這樣就可以得到一個平移gamma分布。當S為復合泊松分布時，（7）可簡化為2x。=U|2蟲:其中=E(X3)。若Xo+東=u金=。2,當XT-oo,aT",0T"時，可以證明H(x,0t,E，x趨丁正態(tài)分布N(u,o2)。因此，正態(tài)分布可以看作

17、是這種三參數(shù)分布的一種極限情況。從這個意義上來說，平移gamma分布近似是正態(tài)近似的推廣。例3.17:設S為復合泊松分布，舄=12，當個體索賠分布為【0,1】上的均勻分布時，試分別用(1)正態(tài)近似(2)平'移gamma近似計算P(S<10)。c1解：1由條件易知Ui=E(X)=,U2=E(X2)=,丁是得到3E(S)=赤鳥=6,var(S)=兀=4S-6所以，P(S<10)=P(<2)=中(2)=0.9772211(2)令U3=E(X3)=gx3dx=,則E(S-Eg)3=汐33,解方程04組6=況+/P=二/-23=2口/臼3得xo=Y.67,。=28.44,P=2

18、.67。因此S的分布函數(shù)為G(x4.67;28.44,2.67)P(S10)=G(14.67,28.44,2.67)=0.96833、對數(shù)正態(tài)近似此外，實際中還使用對數(shù)正態(tài)分布ln(u,。2)來近似S的分布，即考慮方程組(3.41)E(S)=exp(/2)E(S2)=exp(2u2。2)解出u*2,然后用ln(u,。2)來描述S的分布。當E(N)的值較大時，正態(tài)分布近似的效果不錯，特別是當N為泊松分布，二項式分布和負二項式分布時，由中心極限定理知，當,m,r趨丁無窮時，S的分布將趨丁正態(tài)分布。而當E(N)的值較小時，S的分布是有偏斜的，這時使用平移gamma和對數(shù)正態(tài)近似可能更為恰當。例3.16:在過去的10個月里每月某險種的索賠次數(shù)和個體損失額的樣本均值(和標準差)分別為6.7(2.3),179747(52,141)。計算每個月總損失額的樣本均值和方差。(2)分別用正態(tài)近似和對數(shù)正態(tài)近似計算損失額超過期望的140%的概率P(S>140E(S)。解：(1)由公式(1)和(2)得到S的樣本均值和樣本方差為E(S)=E(X)E(N)=6.7179747=1200955Var(S)=E(Var(S|N)Var(E(S|N)=6.7(52,141了2.321797472=1881801011若使用正態(tài)