平面向量典型例題

1、平面向量經(jīng)典例題：1. 已知向量a(1,2)，b(2,0)，若向量ab與向量c(1，2)共線，則實(shí)數(shù)等于()A2BC1 D答案C解析ab(，2)(2,0)(2，2)，ab與c共線，2(2)20，1.2. (文)已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)，若a2b與c垂直，則k()A1 BC3 D1答案C解析a2b(，1)(0,2)(，3)，a2b與c垂直，(a2b)·ck30，k3.(理)已知a(1,2)，b(3，1)，且ab與ab互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為()A BC. D.答案C解析ab(4,1)，ab(13，2)，ab與ab垂直，(ab)·(ab)4(13)1×

2、;(2)6110，.3. 設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|b|c|，abc，則向量a、b間的夾角為()A150° B120°C60° D30°答案B解析如圖，在ABCD中，|a|b|c|，cab，ABD為正三角形，BAD60°，a，b120°，故選B.(理)向量a，b滿足|a|1，|ab|，a與b的夾角為60°，則|b|()A. B.C. D.答案A解析|ab|，|a|2|b|22a·b，|a|1，a，b60°，設(shè)|b|x，則1x2x，x>0，x.4. 若·20，則ABC必定是()A銳角三角

3、形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形答案B解析·2·()·0，ABAC，ABC為直角三角形5. 若向量a(1,1)，b(1，1)，c(2,4)，則用a，b表示c為()Aa3b Ba3bC3ab D3ab答案B解析設(shè)cab，則(2,4)(，)，ca3b，故選B.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若a，b，則等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案B解析E為OD的中點(diǎn)，3，DFAB，|DF|AB|，|CF|AB|CD|，a()a(ba)ab.6. 若ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB7，BC5，CA6，則

4、·的值為()A19 B14C18 D19答案D解析據(jù)已知得cosB，故·|×|×(cosB)7×5×19.7. 若向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，則9x3y的最小值為()A12 B2C3 D6答案D解析a·b4(x1)2y0，2xy2，9x3y32x3y26，等號(hào)在x，y1時(shí)成立8. 若A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，若O不在l上，存在實(shí)數(shù)x使得x2x0，實(shí)數(shù)x為()A1 B0C. D.答案A解析x2x0，x2(x1)0，由向量共線的充要條件及A、B、C共線知，1xx21，x0或1，當(dāng)x0時(shí)，0，與條件矛盾，x1

5、.9. (文)已知P是邊長(zhǎng)為2的正ABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則·()()A最大值為8 B最小值為2C是定值6 D與P的位置有關(guān)答案C解析以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立如圖坐標(biāo)系，則B(1,0)，C(1,0)，A(0，)，(1，)(1，)(0，2)，設(shè)P(x,0)，1x1，則(x，)，·()(x，)·(0，2)6，故選C.(理)在ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，若A120°，·1，則|的最小值是()A. B.C. D.答案D解析A120°，·1，|·|·cos120°1，|·|2，|2|

6、22|·|4，D為BC邊的中點(diǎn)，()，|2(|2|22·)(|2|22)(42)，|.10. 如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線于K，其中，則的值為()A. B.C. D.答案A解析如圖，取CD的三等分點(diǎn)M、N，BC的中點(diǎn)Q，則EFDGBMNQ，易知，.11. 已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b與a2b共線，則m的值為()A.B2C2 D答案C解析ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由條件知(2m4)·(1)(3m8)×40，m2，故選C.12. 在ABC中，C90°，且C

7、ACB3，點(diǎn)M滿足2，則·等于()A2B3C4D6答案B解析·()·()···|·|·cos45°×3×3×3.13. 在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB3，BD1，則·_.答案解析由條件知，|3，60°，60°，··()··3×3×cos60°×3×3×cos60°.14. 已知向量a(3,4)，b(2,1)，則a在b方向上的投影

8、等于_答案。解析a在b方向上的投影為.15. 已知向量a與b的夾角為，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，則實(shí)數(shù)_.答案1解析a，b，|a|1，|b|4，a·b|a|·|b|·cosa，b1×4×cos2，(2ab)a，a·(2ab)2|a|2a·b220，1.16. 已知：|1，|，·0，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且AOC30°，設(shè)mn(m，nR)，則_.答案3解析設(shè)m，n，則，AOC30°，|·cos30°|m|m，|·sin30°|n|n，兩式相除得：，3.

9、17. (文)設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且2ij，4i3j，則OAB的面積等于_答案5解析由條件知，i21，j21，i·j0，·(2ij)·(4i3j)835，又·|·|·cos，5cos，cos，sin，SOAB|·|·sin，××5×5.(理)三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，能得出三角形ABC一定是銳角三角形的條件是_(只寫序號(hào))sinAcosA·<0b3，c3，B30°tan

10、AtanBtanC>0.答案解析若A為銳角，則sinAcosA>1，sinAcosA，A為鈍角，·<0，·>0，B為銳角，由B為銳角得不出ABC為銳角三角形；由正弦定理得，sinC，C60°或120°，c·sinB，3<<3，ABC有兩解，故都不能得出ABC為銳角三角形由tanAtanBtanCtan(AB)(1tanAtanB)tanCtanC(1tanAtanB)tanCtanAtanBtanC>0，及A、B、C(0，)，ABC知A、B、C均為銳角，ABC為銳角三角形18. 已知平面向量a(1，x)

11、，b(2x3，x)(1)若ab，求x的值(2)若ab，求|ab|.解析(1)若ab，則a·b(1，x)·(2x3，x)1×(2x3)x(x)0，整理得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，則有1×(x)x(2x3)0，則x(2x4)0，解得x0或x2，當(dāng)x0時(shí)，a(1,0)，b(3,0)，|ab|(1,0)(3,0)|(2,0)|2，當(dāng)x2時(shí)，a(1，2)，b(1,2)，|ab|(1，2)(1,2)|(2，4)|2.19. 已知向量a(sinx，1)，b(cosx，)，函數(shù)f(x)(ab)·a2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T；(2)

12、將函數(shù)f(x)的圖象向左平移上個(gè)單位后，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的解析式及其對(duì)稱中心坐標(biāo)解析(1)f(x)(ab)·a2a2a·b2sin2x1sinxcosx2sin2xsin2xcos2xsin(2x)，周期T.(2)向左平移個(gè)單位得，ysin2(x)sin(2x)，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍得，g(x)sin(x)，令xk得對(duì)稱中心為(，0)，kZ.20. (文)三角形的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量m(ca，ba)，n(ab，c)，若mn.(1)求角B的大?。?2)若sinAsinC的取值

13、范圍解析(1)由mn知，即得b2a2c2ac，據(jù)余弦定理知cosB，得B.(2)sinAsinCsinAsin(AB)sinAsin(A)sinAsinAcosAsinAcosAsin(A)，B，AC，A(0，)，A(，)，sin(A)(，1，sinAsinC的取值范圍為(，(理)在鈍角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，m(2bc，cosC)，n(a，cosA)，且mn.(1)求角A的大小；(2)求函數(shù)y2sin2Bcos(2B)的值域解析(1)由mn得(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0，sin(AC)sinB，2

14、sinBcosAsinB0，B、A(0，)，sinB0，A.(2)y1cos2Bcos2Bsin2B1cos2Bsin2Bsin(2B)1，當(dāng)角B為鈍角時(shí)，角C為銳角，則<B<，<2B<，sin(2B)(，)，y(，)當(dāng)角B為銳角時(shí)，角C為鈍角，則0<B<，<2B<，sin(2B)(，)，y(，)，綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?，)21. 設(shè)函數(shù)f(x)a·b，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，sin2x)，xR.(1)若f(x)1且x，求x；(2)若函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c(m，n)(|m|<)平移后得到函數(shù)yf(x

15、)的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值解析(1)依題設(shè)，f(x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)1，得sin(2x)，x，2x，2x，即x.(2)函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c(m，n)平移后得到函數(shù)y2sin2(xm)n的圖象，即函數(shù)yf(x)的圖象由(1)得f(x)2sin2(x)1.|m|<，m，n1.22. 已知向量(2cosx1，cos2xsinx1)，(cosx，1)，f(x)·.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)x0，時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)的x值解析(1)(2cosx1，cos2xsinx1)，(cosx，1)，f(x)

16、·(2cosx1)cosx(cos2xsinx1)2cos2xcosxcos2xsinx1cosxsinxsin(x)，函數(shù)f(x)最小正周期T2.(2)x0，x，當(dāng)x，即x時(shí)，f(x)sin(x)取到最大值.23. ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，向量m(1,1)，n(cosBcosC，sinBsinC)，且mn.(1)求A的大??；(2)現(xiàn)在給出下列三個(gè)條件：a1；2c(1)b0；B45°，試從中選擇兩個(gè)條件以確定ABC，求出所確定的ABC的面積(注：只需要選擇一種方案答題，如果用多種方案答題，則按第一方案給分)解析(1)因?yàn)閙n，所以cosBcosC

17、sinBsinC0，即cosBcosCsinBsinC，所以cos(BC)，因?yàn)锳BC，所以cos(BC)cosA，所以cosA，A30°.(2)方案一：選擇，可確定ABC，因?yàn)锳30°，a1,2c(1)b0，由余弦定理得，12b2(b)22b·b·解得b，所以c，所以SABCbcsinA···，方案二：選擇，可確定ABC，因?yàn)锳30°，a1，B45°，C105°，又sin105°sin(45°60°)sin45°cos60°cos45°

18、;sin60°，由正弦定理c，所以SABCacsinB·1··.(注意：選擇不能確定三角形)(理)如圖，O方程為x2y24，點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)M在DP延長(zhǎng)線上，O交y軸于點(diǎn)N，且.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)設(shè)F1(0，)、F2(0，)，若過F1的直線交(1)中曲線C于A、B兩點(diǎn)，求·的取值范圍解析(1)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，代入xy4得，1.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，顯然·4，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)AB的方程為：ykx，由得，(94k2)x28kx160，不妨設(shè)A1(x1，y1)，B(x2，y2)，則，·(x1，y1)·(x2，y2)(x1，kx12)·(x2，kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)2020204，k20，94k29，0<，4&l