有關(guān)球的高考題

1、1,側(cè)棱長為的正四棱柱的1.（2014 陜西高考理科T5）已知底面邊長為各頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的體積為（）A. B.4 兀 C.2 % D. 33【解題指南】 根據(jù)截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出球的半徑，代入球的體積公式求解.【解析】 選D.由正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，可設(shè)正四棱柱的上底所在截面圓的半徑為R,則R；+R；=1可得咫=二;又側(cè)棱長為、所以球心到截面圓的距離 d=y；由截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理得球半徑 r=/r；+十=口二二1,代入球的體積公式得球的體積為T.2 .（2016全國卷n文科 T4）體積為8的正

2、方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A.12 乳 B. 32 n C.8 n D.4 n 3【解題指南】利用正方體的體對角線就是球的直徑求解【解析】選A.因?yàn)檎襟w的體積為 8,所以正方體的棱長為 2,其體對角線長為 2 ，所以 正3 .（2015 新課標(biāo)全國卷n理科T9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，/AOB=90 ,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為 36,則球O 的表面積為（）A.36 兀 B.64 兀C.144 兀 D.256 冗【解題指南】 當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面 AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐O-ABC的體積 最大，利用Vo-abc=Vc-aob列出關(guān)于半徑 R的方

3、程，求出球的半徑，然后求出球的表 面積.【解析】選C.如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面 AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球。的半徑為R,此時Vo-abc=Vc-aob$X；R2XR=R3=36，故R=6, 則球。的表面積為S=4% R2=144 兀.4 .(2016 全國卷田 文科T11)與(2016 全國卷3理科T10)相同在封閉的直三棱柱 ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為 V的球.若AB，BC,AB=6,BC=8,AA 1=3，則V的最大值是()9兀32兀A.4nB.5 C.6nD.可【解題指南】 注意當(dāng)球和直三棱柱的三個側(cè)面內(nèi)切時，球已不在直三棱柱內(nèi).【解析】選B.當(dāng)球的

4、半徑最大時，球的體積最大.在直三棱柱內(nèi)，當(dāng)球和三個側(cè)面都相切時 ，因?yàn)锳B，BC,AB=6 , BC=8 ,所以AC=10 ,底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時球的半徑尸6 *8 -10 =2 ,直徑為4側(cè)棱.所以球的最大直徑為 3，半徑為-，此時體積V=電.222方體的外接球的半徑為 石，所以球的表面積為 4 Tt ( 73)2=12已5. (2010 遼寧高考文科T 11)已知S, A, B, C是球O表面上的點(diǎn)，SA，平面ABCABL BC, SA=AB=1, BC=72，則球O的表面積等于()(A) 4n(B) 3n(C)2 n(D)二【命題立意】 本題考查了空間兩點(diǎn)間距離公式和球的表面積公式

5、I建立空間坐標(biāo)系f 設(shè)球心坐標(biāo)k球的半徑一球的表面積【規(guī)范解答】 選 A.； SA_L 平面 ABC AB, AU 平面 ABC,二 SA-L AB , SA-L AC , 故可以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為y軸，AS所在的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz ,則 A(0,0,0),0）, c（oJ3,o）, s（o,0,i）,設(shè)球心 o坐標(biāo)為（X0,y0,Z0）,則點(diǎn)。到各頂點(diǎn)S, A, B, C的距離相等，都等于球的半徑R.2 222-2Xo +y0 +Z0 =RJ6 2。3 22 _2(%-/ 十(y0-3) +(z0-0) =R ，-33,(X00)2+(y0>/3)

6、2+(z00)2 = R2JX0 -0)2 +(y0 -0)2 +(Z0-1)2 =R23 1 _2.解得 X0 =0, y0 =-2-,Z0 ="2，R =1, 2二球的表面積為4"R =4n乂1=4幾.故選A.【方法技巧】1.選用球心到各頂點(diǎn)的距離都相等來確定球心，才能求出半徑，2.也可用另外的方法找到球心，因?yàn)?ABC是直角，所以 AC是過A, B, C三點(diǎn)的小圓的直徑，所以球心在過 AC和平面 ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因?yàn)榍蛐牡近c(diǎn)S, A, C的距離都相等，且 SAC是直角三角形，所以球心 就是斜邊SC的中點(diǎn)，球的半徑為 SC的一半，3.另外，

7、可將三棱錐 S-ABC補(bǔ)成一個長方體進(jìn)行求解.6. （2010 海南寧夏高考理科 T10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱 的長為a,頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為（）7 c11cc（A） na2（B） 7na2（C） 'na2（D） 5na233【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問題.【思路點(diǎn)撥】 找出球與棱柱的相應(yīng)關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長之間的 關(guān)系.【規(guī)范解答】 選B .設(shè)球心為O,設(shè)正三棱柱上底面為 AABC ,中心為O、因?yàn)槿庵欣獾拈L為 a,則可知OO' =a, 0A = «3a,又由球的相關(guān)性質(zhì) 23可知，球的半徑 R= JOO?

8、 +OA2 =叵2 ,所以球的表面積為 4nR2=7na2,故63選B .7. ( 2011 遼寧高考文科 T 10)已知球的直徑 SC=4, A, B是該球球面上）5<33的兩點(diǎn)，AB=2, /ASC=Z BSC=45° ,則棱錐 S-ABC的體積為(A) ,J (B)”(C)4-1(D)333【思路點(diǎn)撥】找到直徑SC的垂截面是解決本題的關(guān)鍵.【精講精析】 選C,設(shè)球心為O,則AO,BO是兩個全等的等腰直角三角形斜1 一 ，一 一一、 1=S aob（SO oc） =33邊上的高，斜邊 SC=4,> AO = BO =2,且有 AO_LSC, BO _L SC .VS

9、BBC =VSUOB . VC /OB8. (2011 遼寧高考理科 T 12)已知球的直徑 SC=4, A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=J3, /ASC =/BSC=30工 則棱錐 S-ABC的體積為()(A) 3M(B) 2M(C) j3(D) 1【思路點(diǎn)撥】找到直徑SC的垂截面是解決本題的關(guān)鍵.【精講精析】 選C.由題意可知&SAC和ASBC是兩個全等的直角三角形，過直 角頂點(diǎn)A,B分別作斜邊上的高線 AH,BH ,由于ASC=/BSC = 30求得AH =BH =建所以等邊MBH的面積為S乎訴2=學(xué)所求棱錐S-ABC的體積等于以AABH為底的兩個小三棱錐的體積的和，其高的和即為

10、球的直徑SC的長，故VSCS -ABC.39. (2011 新課標(biāo)全國高考理科 T15)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為 4的球O的球面上，且 AB = 6,BC = 2出，則棱錐O - ABCD的體積為【思路點(diǎn)撥】 畫出圖形，找出球心位置，然后數(shù)形結(jié)合求出棱錐O-ABCD的體積.【精講精析】如圖所示，00,垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足為0、連接O'B, 0B,則在 RtAOOB中，由。氏4, 08 = 2/，可11得 00，= 2, ,VOuBCD =-S 00，= &m6M2 遍 m2=8T3.【答案】8310. （2011 新課標(biāo)全國高考文科 T16）已知兩個圓錐有

11、公共底面，且兩個圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面 面積的A ,則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 16【思路點(diǎn)撥】 畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合，然后利用球及圓的性質(zhì)求解【精講精析】如圖設(shè)球的半徑為 R,圓錐的底面圓半徑為r,則依題意得1的正三角形,232 r.3叮 =一M4nR ,即一=cos/O CO =,16R2.111，/OCO=301.OO =R, .AO =RR,BO =R + R, 22211. （2012 新課標(biāo)全國高考理科T11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上， ABC是邊長為SC為球O的直徑，且SC=2,則此棱

12、錐的體積為（(C)a.反6(B)【解題指南】 思路一：取AB的中點(diǎn)為D,將棱錐分割為兩部分，利用V =Vb_cds+勿_求體積；思路二：設(shè)點(diǎn) O到面ABC的距離為d,利用、，1 一 V - 3 S ABC 2d求體積;思路三：利用排除法求解【解析】 選A.方法一：；SC是球O的直徑，CAS = /CBS = 901 '：BA=BC=AC=1 , SC=2 ,，AS=BS=V3 ,取 AB 的中點(diǎn)為 D ,顯然AB LCD, AB 1 SS),二 AB，平面 CDS.在 ACDS 中，CD"SC = 2 ,利用余弦定理可得1 cos - CDS = -,334 2 sin. C

13、DS 故病,2 2273321ds AD =二 S cds BA =3 1一1 一V 二 VB-CDS ' VA -CDS 二一 S. CDSBD + S c33. 3.r :方法:MBC的外接圓的半徑 3 ,點(diǎn)。到平面ABC的距離d = . R2 - r2 = 63 ,2d二巡SC為球O的直徑二點(diǎn)S到平面ABC的距離為3 ,、，1c13 2 ')v v v V . V 二一S abc* 2d =二此棱錐的體積為3 -ABC 3436、，1 、3V ：一 S2R 二-方法三： 3加 6 ,排除B,C,D.12. (2013 新課標(biāo)I高考理科 T 6)如圖，有一個水平放置的透明無

14、蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器口 ，再向容器內(nèi)注水當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. 500- cm3B.3866 二3cm3C.1372二 3cm3D.2048二3cm3【解題指南】 結(jié)合截面圖形，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于球 半徑的方程，求出球半徑，再利用V =4識3求出球的體積.3【解析】選A.設(shè)球的半徑為R,由勾股定理可知，R2 =(R-2)2+42，解得R=5 ,所以球的體積VMAnRgn/lLcm2) 33313. (2012 新課標(biāo)全國高考文科 T8)平面0c截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面口的距離為

15、亞，則此球的體積為()(A) 46 兀(B) 473%(C) 46 兀(D) 673%【解題指南】 利用球心到截面的距離、截面圓的半徑、球的半徑之間滿足勾股定理求得球的半徑，然后利用公式求得球的體積【解析】選B.設(shè)球O的半徑為R,則R=FQ2 =而，故V球二4 二R3 =4、3二314. （2012 遼寧高考文科T 16）已知點(diǎn) 巳A, B, C, D是球。表面上的點(diǎn)，PL平面ABCD四邊形ABC京邊長為273的正方形.若PA=2的，則4 OAB的面積為.【解題指南】 注意到已知條件中的垂直關(guān)系，將點(diǎn) P,A,B,C,D 看作長 方體的頂點(diǎn)來考慮.【解析】由題意，PA1平面ABCD則點(diǎn)P,A,

16、B,C,D,可以視為球。的內(nèi) 接長方體的頂點(diǎn)，球 O位于該長方體的對角線的交點(diǎn)處，那么 OAB的面積為長方體對角面的四分之一版=233呼二吻后,PM6,. OAtoH>=1- 22 33 6=33 33 .44【答案】3315. （2013 遼寧高考文科 T 10）與（2013 遼寧高考理科 T 10）相同已知三棱柱ABC - A BG的6個頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB =3, AC =4, AB_L AC, AA =12,則球。的半徑為（）【解題指南】 對于某些簡單組合體的相接問題，通過作出截面，使得有關(guān)的元素間的數(shù)量關(guān)系相對集中在某個平面圖形中?！窘馕觥窟xC.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過球

17、心。和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的大圓，與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形 ABC直角三角形, 其外接圓的圓心。'為其斜邊BC的中點(diǎn)，連接OA,OO：OA,由勾股定理， OA2 =O O2 O A2其中0A=R，oo=2 A=6，OA= t B#,所以球O的半徑為16. （2013 新課標(biāo)I高考文科 T 15）已知H是球0的直徑AB±一點(diǎn)，AH:HB=1:2,AB，平面a , H垂足，口截球0所得截面的面積為 兀，則 球0的表面積為.【解析】因?yàn)閍截球0所得截面的面積為 兀，所以截面a的半徑為1.設(shè) 球的半徑為R,則AH =2R, BH=4R,由勾股定理得12+（B）2=r2,解得

18、333R2 =9 .所以球0的表面積為4求2 =%.82217. （2013 大綱版全國卷高考文科 T 16）與（2013 大綱版全國卷高考理科 T 16）相同已知圓0和圓K是球0的大圓和小圓，其公共弦長等于球 0的半徑，0K =3,且圓0與圓K所在的平面所成角為60,則球0的表面積等于.2【解題指南】 解決本題要明確球大圓是指球的切面過圓心的圓.根據(jù)題意畫出圖形，確定圓0與圓K所在平面的二面角，構(gòu)造直角三角形求出半徑長.【解析】如圖，KE - MN設(shè)公共弦MN =R, E為MN的中點(diǎn)，貝U 0E-LMN , /0EK為圓0與圓K所在平面的二面角所以NOEK =60,，又AOMN為等邊三角形,所以 oe =苴R.又因?yàn)?OK =3, OK _L EK ,22所以O(shè)E sin600 =。，即叵也=3. 2222解得 R=2 ,所以 S=4tiR2 =16n