清華大學2017年自主招生暨領軍計劃試題解析版

1、WORD格式.資料專業(yè).整理A. 0B.1C.2D.取決于a的值2016年清華大學自主招生暨領軍計劃試題1 .已知函數(shù)f (x) =(x2+a)ex有最小值，則函數(shù) g(x) = x2 + 2x + a的零點個數(shù)為() 答案：注意f /(x) =exg(x),答案C.2 .已知AABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c.下列條件中，能使得 AABC的形狀唯 一確定的有()A. a =1,b =2,c ZB. A =1500, asin A csin C 2asin C = b sin B，, 一 一，一 一、 一 一 - 一0C.cosAsin BcosC cos(B C)cosBsin

2、C =0,C =60D. a =、,3,b =1, A =60°答案：對于選項A,由于|a-b|<c<a+b,于是c有唯一取值2,符合題意；對于選項B,由正弦定理，有 a2 + c2 + V2ac = b2 ,可得cosB =-上2 ,B = 1350,無解;對于選項 C,條件即 cosAsin(B -C) =0,于是(A,B,C) = (900,300,600),(600,600,600),不符合題意；1000對于選項D,由正弦定理，有sinB=,又A = 600,于是B=300,C= 900,符合題意.答案：AD.23.已知函數(shù)f(x)=x 1,g(x)=lnx,下列

3、說法中正確的有()A. f(x), g(x)在點(1,0)處有公切線B.存在f (x)的某條切線與g(x)的某條切線平行'C. f (x), g( x)有且只有一個交點D. f (x), g( x)有且只有兩個交點答案：注意到y(tǒng) = x-1為函數(shù)g(x)在(1,0)處的切線，如圖，因此答案BD.24.過拋物線y =4x的焦點F作直線交拋物線于 A, B兩點，M為線段AB的中點.下列說法中正確的有()3A,以線段AB為直徑的圓與直線 x = 一定相離2B. | AB |的最小值為4C. | AB |的最小值為2D.以線段BM為直徑的圓與y軸一定相切答案：對于選項A,點M到準線x = -1

4、的距離為1 1 一2(| AF | +1 BF |)=萬| AB| ,于是以線段AB為直徑的圓與直線x = 1 一定相切，進而與3直線x = 一定相離；221121對于選項B,C,設A(4a ,4a),則B(,),于是|AB|=4a +2 + 2,最小值為4.4a a4a也可將| AB |轉(zhuǎn)化為AB中點到準線的距離的 2倍去得到最小值；1對于選項D,顯然BD中點的橫坐標與 一|BM |不一定相等，因此命題錯誤 .2答案：AB.225 .已知F1，F(xiàn)2是橢圓C :與+與= 1(a Ab >0)的左、右焦點， P是橢圓C上一點.下列說 a b法中正確的有()A. a = 42b時，滿足/F,

5、PF2 =900的點P有兩個B. a 2b時，滿足/F1PF2 =90°的點P有四個C. &PF1F2的周長小于4a2 a D. APRF2的面積小于等于 一2答案：對于選項A,B,橢圓中使得 /F1PF2最大的點P位于短軸的兩個端點;對于選項C, AF1PF2的周長為2a+2c c4a；對于選項D, AF1PF2的面積為1|即1.吟"即以2十答案：ABCD .6 .甲、乙、丙、丁四個人參加比賽，有兩花獲獎.比賽結(jié)果揭曉之前，四個人作了如下猜測:甲：兩名獲獎者在乙、丙、丁中；乙：我沒有獲獎，丙獲獎了；丙：甲、丁中有且只有一個獲獎；丁：乙說得對.已知四個人中有且只有兩

6、個人的猜測是正確的，那么兩個獲獎者是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁答案：乙和丁同時正確或者同時錯誤，分類即可，答案：BD .7 .已知AB為圓O的一條弦（非直徑），OC _L AB于C , P為圓O上任意一點，直線 PA 與直線OC相交于點 M ,直線PB與直線OC相交于點 N .以下說法正確的有（）A. O,M , B,P四點共圓B. A, M,B, N四點共圓C. A,O, P, N四點共圓D.以上三個說法均不對答案：7.對于選項A, ZOBM =NOAM =NOPM即得；對于選項B,若命題成立，則 MN為直徑，必然有 /MAN為直角，不符合題意;對于選項C, NMBN =NMOP=NMA

7、N即得.答案：AC.8.sin A+sin B+sin C >cosA+cosB+cosC 是 AABC 為銳角三角形的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案：必要性：由于 sin B+sinC >sin B 十sin(1 - B) = sin B + cosB >1,類似地，有 sin C + sin A >1, sin B +sin A >1 ,于是 sin A sinB sin C cosA cosB cosC.不充分性：當 A=E,B=C=三時，不等式成立，但 MBC不是銳角三角形. 24答案：B.1111,9

8、.已知x, y,z為正整數(shù)，且 xyEz,那么萬程 一十一十一=一的斛的組數(shù)為（）x y z 2A. 8B.10C.11D.1211113答案：由于-=+< 一 ,故 3MxM6.2 x y z x若 x=3,貝 U(y 6)(z6) =36,可得(y,z) =(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；若 x =4,則(y -4)(z -4)=16,可得(y,z) = (5,20), (6,12),(8,8)；. 一 311220_，一- 一若 x=5,則=1+2 <-,y M20,y =5,6,進而解得(x,y, z) = (5,5,10)；10y

9、zy3若 x=6,則（y 3）（z3）=9,可得（y,z） = （6,6）.答案：B.10 .集合 A =a1,a2，an,任取 1 M i < j <k W n,ai +aj w A,aj +ak w A, ak + ai w A 這三個式子中至少有一個成立，則n的最大值為（）A. 6B.7C.8D.9答案：不妨假設a1 >a2 A>an ,若集合A中的正數(shù)的個數(shù)大于等于4,由于a2 + a3和 a2 +a4均大于a2,于是有a2 + a3 = a2 + a4 = a1，從而a3 =a4,矛盾！所以集合 A中至多有3個正數(shù).同理可知集合 A中最多有3個負數(shù).取A =_

10、3,2,1,0,1,2,3,滿足題意，所以 n的最大值為7答案B.11 .已知a =1°邛=61°,尸=121° ,則下列各式中成立的有()A. tan 工 tan : tan ： tantan tan ： = 3B. tan 工 tan :tan ： tantan tan : = -3tan -3 ； tan : tanC. 3tan : tan - tanD tan 工" tan， tan _ 3 tan 二 tan : tan答案： 令 x = tan 口，y = tan P, z = tan ?,則= = z = V 3 , 1 xy 1 yz

11、1 zx所以 y -z = 43(1 + xy), z - y = 73(1 + yz), x - z = v'3(1 + zx),以上三式相加，即有 xy yz zx - -3.類似地，有 1 - =<r3(+1),- =V3( +1),1 -1 =<3( +1), x y xy y z yz z x zx以上三式相加，即有 =x y z = -3. xy yz zx xyz答案BD.12 .已知實數(shù)a, b, c滿足a + b + c = 1,則J4a +1 +）4b + 1 +，4c +1的最大值也最小值乘積屬于區(qū)間（）A. (11,12)B. (12,13)C.(1

12、3,14)D. (14,15)答案：設函數(shù)f (x) =V4x+1,則其導函數(shù)f/(x)=2,作出f(x)的圖象，函數(shù)f (x) 4x 1的圖象在x=1處的切線y -221(x -1) 373,3 :-41,(3，a/7)的割線 y = -yy x +,如圖,，一，1,以及函數(shù)f(x)的圖象過點(，0)和4工曰 412.21于TE可得x4x 1 -.7.77(x*33131左側(cè)等號當x =-或乂 =時取得； 右側(cè)等號當x =一時取得423.因此原式的最大值為揚,1 .13.當a =b =c=時取得；最小值為 J7 ,當a = b= ,c=一時取得，從而原式的最大值 342與最小值的乘積為 7,

13、3 ( ,144, ,169) .案B.13.已知x, y, zw R, x + y + z = 1, x2 + y2 + z2 = 1 ,則下列結(jié)論正確的有()A. xyz的最大值為0C. z的最大值為一3B.xyz的最大值為-427，口1D. z的取小值為一一3222 , _一_ _答案:由 x+y+z=1,x +y +z =1 可得 xy + yz + zx = 0 .設 xyz= c，則 x, y,z是關(guān)于 t的方程t3 t2 c = 0的三個根.令f(t)=t3t2 c ,則利用導數(shù)可得f (0)=c 02 24 ，所以"Wc= xyzW0,等號顯然可以取到.故選項A,B者

14、B對.f(2) = -c<0277.3271因為(x +y)2 =(1 z)2 <2(x2 + y2) =2(1 z2),所以Wz W1 ,等號顯然可以取到，3故選項C錯誤.答案ABD .14.數(shù)列 an滿足a1 =1, a2 =2,an42 =6an由一an (n = N )，對任息正整數(shù) n ,以下說法中正確的有()2A. an+ -an-2an 為te值B. an = 1(mod 9)或 an = 2(mod 9)C.4an與an -7為完全平方數(shù)D.8an+an -7為完全平方數(shù)答案:因為 an2 an3an1 an 2 (6an2 an 1 )an1 an2 6an2an

15、1an1WORD格式.資料=an 2( an 2 - 6an 1) an 1 = an 1 - an 2an .所以A選項正確;專業(yè),整理由于a3 =11 ,故a2平- an -2an = a2 1 - (6an -1 - an )an = a2 1 - 6an 1anan又對任意正整數(shù)恒成立，所以4an41an - 7 = （an4一 an）2,8an書an -7 = （an書+ an）2 ,故選項C,D正確.計算前幾個數(shù)可判斷選項 B錯誤.答案：ACD.說明：若數(shù)列%滿足前收=Pan+ -an，則a2書一 an書an為定值.4 4,115.若復數(shù)Z滿足z+ 一Z=1 ，則Z可以取到的值有（

16、1 A.一21B.2.5 -1C.25 1D.答案：因為1"|Z+1Z=1 ，.5-1.5 1故-| z |<22,等號分別當51 .工z =i 和25-1.時取得.答案CD.z 二i216 .從正2016邊形的頂點中任取若干個，順次相連構(gòu)成多邊形，若正多邊形的個數(shù)為（）A. 6552 B. 4536 C. 3528D. 2016答案：從2016的約數(shù)中去掉1 , 2,其余的約數(shù)均可作為正多邊形的邊數(shù).設從2016個頂點2016中選出k個構(gòu)成正多邊形，這樣的正多邊形有上016個，因此所求的正多邊形的個數(shù)就是k2016的所有約數(shù)之和減去 2016和1008.52考慮到2016=2

17、父3父7,因此所求正多邊形的個數(shù)為(1 +2 +4 +8 +16 +32)(1 +3+9)(1 + 7) -2016 1008 =3528.答案 C.一 x2y21.1. .一17 .已知橢圓)+ 22=1(aAbA0)與直線l1 ： y = x,l2: y = x ,過橢圓上一點 P作 a2b222l12的平行線，分別交l1/2于M , N兩點.若|MN |為定值，則A. 2B. 3C.2D. 5111 111答案:僅點 P(x0,y0),可得 M (-Xo +y0,4x +3 丫。), x 一y。,一7% 十馬丫。)，故意|MN |=J1x： +4y2為定值，所以 當=? =16, Ja

18、=2 ,答案:C. .4b2 1 b說明：(1)若將兩條直線的方程改為(2)兩條相交直線上各取一點M , N ,使得| MN |為定值，則線段 MN中點Q的軌跡為圓或橢圓.18.關(guān)于x,y的不定方程x2+165= 2y的正整數(shù)解的組數(shù)為()A. 0B.1C.2D.3答案：方程兩邊同時模3,可彳# x2三2y (mod 3),因2y不能被3整除，故x2不能被3整除,所以x2三1(mod3),故2y三1(mod3),所以y為偶數(shù)，可設y =2m(mw N*),則有(2m x)(2m +x) =615 =3父5M41 ,解得2m -x = 5,2m + x =123,x = 59,即 答案：B.y

19、= 12.19.因為實數(shù)的乘法滿足交換律與結(jié)合律，所以若干個實數(shù)相乘的時候，可以有不同的次序例如，三個實數(shù) a,b,c相乘的時候，可以有(ab)c, (ba)c,c(ab),b(ca), 等等不同的次序記n個實數(shù)相乘時不同的次序有1n種，則()A. I2 - 2B.I3 =12C. I4 =96D. I5 =120 一1 .答案：根據(jù)卡特蘭數(shù)的定乂，可得In =Cn/An =1C；，n!=(n1)!C2n：.答案：AB. n關(guān)于卡特蘭數(shù)的相關(guān)知識見卡特蘭數(shù)一一計數(shù)映射方法的偉大勝利20 .甲乙丙丁 4個人進行網(wǎng)球淘汰賽，規(guī)定首先甲乙一組、丙丁一組進行比賽，兩組的勝者爭奪冠軍.4個人相互比賽的勝

20、率如表所示:甲乙丙T甲00.30 30.8乙0.70.60.4再0,7一0.5T0.20.6口擊一表中的每個數(shù)字表示其所在的選手擊敗其所在列的選手的概率，例如甲擊敗乙的概率是0.3,乙擊敗丁的概率是0.4.那么甲刻冠軍的概率是 .答案：根據(jù)概率的乘法公式，所示概率為0.3(0.5X0.3 + 0,5X0.8) = 0.165.21 .在正三棱錐P-ABC中，AABC的邊長為1.設點P到平面ABC的距離為x,異面直線AB,CP的距離為y .則limy. 3答案：當xt吧時，CP趨于與平面 ABC垂直，所求極限為&ABC中AB邊上的局，為己3 .22 .如圖，正方體 ABCD ABiCQi

21、的棱長為1,中心為O,BF =11 2BC,ae=；AA,則答案：如圖,1VOEBF -VO _EBF =二VG -EBF2= -Ve1 1qBF七行Ve,BCCiBi96四面體OEBF的體積為?兀2n 12n23 . o (x 一寰)(1 sin x)dx =2 一答案：根據(jù)題意，有 f (xn)2n(1+sin2nx)dx =x2n(1+sin2nx)dx = 0. 024.實數(shù)x,y滿足(x2 + y2)3 =4x2y2,則x2 + y2的最大值為 .答案：根據(jù)題意，有(x2 十 y2)3 =4x2y2 <(x2 +y2)2,于是 x2 + y2 <1 ,等號當 x2 = y

22、2 =1時取得，因此所求最大值為1.一，1 223 227 25.x,y,z均為非負頭數(shù)，滿足 (x + 萬)+(t+1) +(z+) = z，則x + y + z的取大值 與最小值分別為.13答案：由柯西不等式可知，當且僅當(x, y, z) = (1,0)時，x+y + z取到最大值-.13根據(jù)題忌，有x y - z x 2y 3z =,一 1322 -3于 M(x + y+z) +3(x + y + z)y,解得 x + y + z豈.42于是x + y+z的最小值當(x,yz) =(0,0,"22 3)時取得，為“22 3 2226.若 O 為 &ABC 內(nèi)一點，滿足

23、 S&ob ;Saoc ：S&oa =4:3:2 ,設 AO = '-AB+NAC,則WORD格式.資料2答案：根據(jù)奔馳定理，有 九+ N = £927.已知復數(shù)Z=COSis) 3-z2z 22答案：根據(jù)題意，有z3十 z2 z 2=1 z2-z = cos 3；. 5二 1. 3 .i sin = i .322專業(yè).整理z 40 ,28.已知z為非零復數(shù)， 一 ,一0的實部與虛部均為不小于 1的正數(shù)，則在復平面中，z所對10 z應的向量OP的端點P運動所形成的圖形的面積為-4,40答案：設2=* + 丫院*0WR),由于40 z40z2 1|z|1x0-1

24、,40x/，40y 2 -1,x y 1 n - 一如圖，弓形面積為 202 ( - sin)二266四邊形ABCD的面積為2 1(10.3 -10) 10 = 100.3 -100.100 二 -100,2010A 、3于是所示求面積為2(100 二-100) (100 3 -100)=200二 100.3 -300.3,x , 、一3 sin 4xsin 2x29.右 tan 4x =,貝U+3 cos8xcos4x cos4xcos2xsin x sin x十十=cos2 x cos x cosx答案：根據(jù)題意，有 一叫竺一+四&一 +sinx sinxcos8xcos4x cos4xcos2x cos2xcosx cosx二(tan 8x - tan4x) (tan4x - tan 2x) (tan2x - tanx) tanx = tan8x = . 3.30.將16個數(shù)：4個1, 4個2, 4個3, 4個4填入一個4父4的數(shù)表中，要求每行、每列都恰好有兩個偶數(shù)，共有種填法.a, b.答案：首先確定偶數(shù)的位置有多少種選擇 .第一行兩個偶數(shù)有 C：種選擇.卜面考慮這兩