線段和差最值問題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔專題一.線段和(差)的最值問題【知識(shí)依據(jù)】1線段公理一一兩點(diǎn)之間，線段最短；2對(duì)稱的性質(zhì)一一關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；對(duì)稱軸是兩個(gè)對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線;3.三角形兩邊之和大于第三邊；4.三角形兩邊之差小于第三邊； 5、垂直線段最短。一、已知兩個(gè)定點(diǎn)： 1、在一條直線 m上，求一點(diǎn) P,(1)點(diǎn)A B在直線m兩側(cè)：A 0 mB (2)點(diǎn)A B在直線同側(cè)： AB * mA A 是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。 2、在直線m n上分別找兩點(diǎn)P (1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：A ea. B使PA+PB最?。籄 .%A mP *BA： M /；m m:/ P /|辛1*Z A、Q

2、使 PA+PQ+Q鼠小。A m- mn nQ、g7、B實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(2) 一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):精彩文檔(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):(4)、臺(tái)球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線nABm變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線mr n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+Q楠長(zhǎng)最短.nAmA實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動(dòng)，在直線 m上找一點(diǎn)P,使PA+PBiyJ、（在圖中畫出點(diǎn) P和點(diǎn)B）1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè):2、兩點(diǎn)在直線同側(cè):A（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B在O。上運(yùn)動(dòng)，在直線 m上找一點(diǎn)P,使PA+PBM?。ㄔ趫D中畫出點(diǎn) P

3、和點(diǎn)B）1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè):2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè):A實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案三、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn), 使彳導(dǎo)PA+PQ+Q的值最小。(原理用平移知識(shí)解)(1)點(diǎn)A B在直線m兩側(cè):A. m精彩文檔過A點(diǎn)作AC/ m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左移動(dòng)PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。(2)點(diǎn)A B在直線m同側(cè)：AE四、求兩線段差的最大值問題 (運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊 )1、在一條直線 m上，求一點(diǎn) P,使PA與PB的差最大;(1)點(diǎn)A B在直線m同側(cè):(2)點(diǎn)A B在直線m異側(cè)：AD

4、*m B過B作關(guān)于直線 m的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB交點(diǎn)直線 m P,此時(shí)PB=PB , PA-PB最大值為AP最值問題是一類綜合性較強(qiáng)的問題，而線段和(差)問題，要?dú)w歸于幾何模型：(1)歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型.(2)歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型.n.典型例題剖析一歸入“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”I .“飲馬”幾何模型：條件：如下左圖， A B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使P知PB的值最小.模型應(yīng)用：1 .如圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為2, E為A

5、B的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).則 P/PE的最小值是 .2 .如圖，。的半徑為2,點(diǎn)A、R C在O O上，OALOB / AOC60 , P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是 ,/ BA3J平分線交BC于點(diǎn)D, M N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則3 .如圖，在銳角 ABC, AB= 42, Z BAC= 45BMMN勺最小值是第3題第4題4 .如圖，在直角梯形ABCW,/ABO 90 ,AD/BC,AD= 4,AB= 5,BC= 6,點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PO PD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為.5 .如圖，等腰梯形 ABC珅，AB= AD= CD= 1, Z ABC= 60 , P是上底，下底中

6、點(diǎn) EF直線上的一點(diǎn)，則 PA+PB的最小 值為.6.如圖，MN半彳全為1的。O的直徑，點(diǎn) A在OO, Z AMN= 30 , B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MNh一動(dòng)點(diǎn)，則 PA第5題第6題第7題7 .已知A(-2, 3), B(3 , 1), P點(diǎn)在x軸上，若 PA+ PB長(zhǎng)度最小，則最小值為 .若PAPB長(zhǎng)度最大，貝U最大值為 .28.已知：如圖所不，拋物線 y= x+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A(1 , 0), B(3 , 0).實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)，且滿足條件Sapab= 1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線

7、交y軸于點(diǎn)C,問該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使彳MA MAC勺周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn) M的坐標(biāo);精彩文檔n .臺(tái)球兩次碰壁模型已知點(diǎn)A位于直線mi n的內(nèi)側(cè)，在直線 mi n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)，使PA+PQQ頌長(zhǎng)最短.變式：已知點(diǎn)A B位于直線 m n的內(nèi)側(cè)，在直線 m n分別上求點(diǎn) D E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADE明長(zhǎng)最短.模型應(yīng)用：1.如圖，/ AOB45 , P是/ AO的一點(diǎn),PG10, Q R分別是 OA 0時(shí)的動(dòng)點(diǎn)，求PQ函長(zhǎng)的最小值.2.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2, 3) , B(4, 1)設(shè)M N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問：是否存在這樣的點(diǎn)

8、Mm 0) , M。，n),使四邊形ABMN1周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m=, n = (不必寫解答過程)；若不存在，請(qǐng)說明理由.IIIIIII-2-10D 12345X-1r*5中考賞析:精彩文檔1 .著名的恩施大峽谷（A和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路 X同側(cè)，AB=50kmr B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向A B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為 P）, P到A、B的距離之和S = P- PB圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是 A,連接BA交直線X于點(diǎn)P）

9、, P至IJA、B的距離之和S2=P/V PB（1）求S、S2,并比較它們的大?。唬?）請(qǐng)你說明S2=PA PB的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30km,請(qǐng)彳在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū) P、Q使P、A、R Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這個(gè)最小值.2 .如圖，拋物線y=5x2 梟+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為OA勺中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P,自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到xF）,最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,求使點(diǎn)P軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn) E）,再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn) E,點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出

10、這個(gè)最短路程的長(zhǎng).m.已知AB是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度恒定，在直線m上要求P、Q兩實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案點(diǎn)，使得PA+PQQB的值最小.(原理用平移知識(shí)解)(2)點(diǎn)A B在直線m同側(cè):(1)點(diǎn)A B在直線m兩側(cè)：模型應(yīng)用：軸交于點(diǎn)B.1.如圖，拋物線y = ；x2x錯(cuò)誤！未指定書簽。+2的頂點(diǎn)為A,與y(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA- PB AB(3)當(dāng)PA- PB最大時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).2.如圖，已知直線 y=1x+1與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,2拋物線y= 1x2+bx+c與直線交于 A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B C兩點(diǎn),

11、2(1)求該拋物線的解析式；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , 0).M使|AMk MC的值最大，求出點(diǎn) M的坐標(biāo).3 .如圖，直線y = *x+2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，O A經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)O 精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案直線BC交O A于點(diǎn)D.(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；P,使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請(qǐng)求(2)過O C, D三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn) 出這個(gè)最大值和點(diǎn) P的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說明理由.精彩文檔4 .已知：如圖，把矩形 OCB傲置于直角坐標(biāo)系中， OC= 3, BC= 2,取AB的中點(diǎn)M連接MC把 MB加x軸的負(fù)方

12、 向平移OC的長(zhǎng)度后得到 DAO(1)試直接寫出點(diǎn) D的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn) P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過點(diǎn)P作PQLx軸于點(diǎn)Q連接OP若以O(shè) P、Q為頂點(diǎn)的三角形與 DAO似，試求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)試問在(2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T,使得1Td明 的值最大？若存在，則求出點(diǎn)T點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.y*,.歸入“三角形兩邊之差小于第三邊”實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1 .直線2x-y-4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn) A (4,-1)、B (3, 4)的距離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是 .2 .已知A、B兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為 (2, 2) , (7, 4),

13、一輛汽車(看成點(diǎn)P)在x軸上行駛.試確定下列情況下汽車 (點(diǎn)P)的位置：(1)求直線AB的解析式，且確定汽車行駛到什么點(diǎn)時(shí)到A B兩村距離之差最大？(2)汽車行駛到什么點(diǎn)時(shí)，到 A B兩村距離相等？1 v月(7,4 )/卜 OP好題賞析：原型：已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABC里的一點(diǎn)，求P/PB+ PC的最小值.精彩文檔例題：如圖，四邊形 ABCD1正方形， ABE等邊三角形，M為對(duì)角線BD (不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN連接EN AM CM(1)求證： AM摩 ENB(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，A叫CM勺值最小；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMT BMF CM的值最小，并說明理由；(3)當(dāng)AM BMF CM的最小彳