非常好的定積分與微積分基本定理復(fù)習(xí)講義

1、定積分與微積分基本定理復(fù)習(xí)講義備考方向要明了考什么怎么考1 .了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.2 .了解微積分基本定埋的含義.1 .考查形式多為選擇題或填空題.2 .考查簡(jiǎn)單定積分的求解.3 .考查曲邊梯形面積的求解.4 .與幾何概型相結(jié)合考查.歸納知識(shí)整合1.定積分(1)定積分的相關(guān)概念：在/af(x)dx中，a,b分別叫做積分下限與積分上限、區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，3叫做被積函數(shù)，工叫做積分變量，f(x)dx叫做被積(2)定積分的幾何意義當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上恒為正時(shí)，定積分/bf(x)dx的幾何意義是由直線x=a,x=b(a?b),y=0和曲線y=f(

2、x)所圍成的曲邊梯形的面積(左圖中陰影部分).一般情況下，定積分/bf(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù).(3)定積分的基本性質(zhì)：/akf(x)dx=kXbf(x)dx./a【fi(x)±f2(x)dx=Xbfi(x)dx土/f2(x)dx./af(x)dx=/f(x)dx+工bf(x)dx.探究i.若積分變量為t,則/a“x)dx與/af(t)dt是否相等提示：相等.2 .一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，反過來導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)唯一

3、嗎提示：一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，而導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)則有無窮多個(gè)，這些原函數(shù)之間都相差一個(gè)常數(shù)，在利用微積分基本定理求定積分時(shí)，只要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)即可，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，這樣有利于計(jì)算.3 .定積分/a【f(x)g(x)dx(f(x)>g(x)的幾何意義是什么提示：由直線x=a,x=b和曲線y=f(x),y=g(x)所圍成的曲邊梯形的面積.2.微積分基本定理：如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且F'(x)=f(x),那么/af(x)dx=F(b)F(a)，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓一萊布尼茲公式.為了方便，常把F(b)F(a)記成F(x)H即/

4、bf(x)dx=F(x)N=F(b)F(a).課前預(yù)測(cè)：,12dx等于()A.2ln2B.2ln2C.In2D.In22 .(教材習(xí)題改編)一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度和時(shí)間的關(guān)系為V(t)=t21+2,質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，則此物體在時(shí)間1,2內(nèi)的位移為()3 .(教材習(xí)題改編)直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積為.4 .(教材改編題)/；1x2dx=.5 .由y=L直線y=x+5所圍成的封閉圖形的面積為x2考點(diǎn)一利用微積分基本定理求定積分例1利用微積分基本定理求下列定積分：(1)/2(x2+2x+1)dx；(2)/0(sinxcosx)dx；222x12*(3)/0x(x+1)d

5、x；(4)f1e+xdx；(5)2sin2dx.求定積分的一般步驟：(1)把被積函數(shù)變形為募函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)；(4)利用牛頓一萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值；(5)計(jì)算原始定積分的值.強(qiáng)化訓(xùn)練：1 .求下列定積分：(1)/2|x1|dx；(2)Risin2xdx.考點(diǎn)二利用定積分的幾何意義求定積分例2/1«x2+2xdx=.變式：在本例中，改變積分上限，求/01x2+2xdx的值.利用幾何意義求定積分的方法(1)當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，定積分很難直接

6、求出時(shí)，可考慮用定積分的幾何意義求定積分.(2)利用定積分的幾何意義，可通過圖形中面積的大小關(guān)系來比較定積分值的大小.強(qiáng)化訓(xùn)練：2. (2014福建模擬)已知函數(shù)f(x)=/x(costsint)dt(x>0),則f(x)的最大值為.考點(diǎn)三：利用定積分求平面圖形的面積例3(2014山東高考)由曲線丫=5，直線y=x2及y軸所圍成的圖形的面積為()A.當(dāng)B.4D.63變式訓(xùn)練：若將“y=x2”改為“y=x+2"，將“y軸”改為“x軸”，如何求解利用定積分求曲邊梯形面積的步驟(1)畫出曲線的草圖.(2)借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限.(3)將“曲邊梯形”的

7、面積表示成若干個(gè)定積分的和或差.計(jì)算定積分，寫出答案.強(qiáng)化訓(xùn)練：3. (2014關(guān)B州模擬)如圖,曲線y=x2和直線1一，一，八一,x=i,y=4所圍成的圖形(陰影部分)的面積為(考點(diǎn)四：定積分在物理中的應(yīng)用例4列車以72km/h的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度a=m/s2,問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長(zhǎng)時(shí)間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動(dòng)1 .變速直線運(yùn)動(dòng)問題如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度V關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是v=v(t)(v(t)A0),那么物體從時(shí)刻t=a到t=b所經(jīng)過的路程為/av(t)dt；如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是v=v(t)(v(t)W0),那么物體從時(shí)刻t=a到t=b所

8、經(jīng)過的路程為/bv(t)dt.2 .變力做功問題物體在變力F(x)的作用下，沿與力F(x)相同方向從x=a到x=b所做的功為/aF(x)dx.強(qiáng)化訓(xùn)練：10?0<x<2?4.一物體在力F(x)=3x+4?x>2?(單位：N)的作用下沿與力F(x)相同的方向運(yùn)動(dòng)了4米，力F(x)做功為()A.44JB.46JC.48JD.50J1個(gè)定理一一微積分基本定理由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算.3條性質(zhì)一一定積分的性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號(hào)外；(2)和差的積分等于積分的和差;(3)積分可分段進(jìn)行.e1 + ln1xxdx=(112A

9、. In x + 2ln x-13個(gè)注意一一定積分的計(jì)算應(yīng)注意的問題(1)若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須分清誰是積分變量;(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限不小于積分下限；(3)面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù).易誤警示一一利用定積分求平面圖形的面積的易錯(cuò)點(diǎn)典例(2013上海高考)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是折線段ABC其中A(0,0),1B,5,C(1,0).函數(shù)y=xf(x)(0wxwi)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為2 .(2012湖北高考)已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為（）3 .設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+b(a?0),若/3f(x)dx=3f

10、(X0),則X0等于(A.11C.士-3D.2x2,x60,1,一4 .設(shè)f(x)=:J；則/2f(x)dx=()2x,x6?1,2,D.不存在5.以初速度40 m/s豎直向上拋一物體,t秒時(shí)刻的速度v=4010t2,則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為（）mmmm兀兀一一_.一-6.（2013青島模擬）由直線x=一百，x=y,y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為（）B.1二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）7 .設(shè)a=/0sinxdx,則曲線y=f(x)=xax+ax2在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為.28 .在等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a=w，a4=/i（1+2x）dx,則該數(shù)

11、列的刖5項(xiàng)N和3a= .兀9 . （2013 孝感模擬）已知aS 0,-,則當(dāng)/a(cos x sin x)dx取最大值時(shí),三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）10 .計(jì)算下列定積分:1 一（1） 0 sin xdx; /芯+而 dx;11.如圖所示，直線y=kx分拋物線y=x-x2 形為面積相等的兩部分，求k的值.12 e2xdx.12.如圖，設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線y=x2向點(diǎn)A（2,4） OP與曲線y=x2圍成圖形的面積為S,直線OPW曲線y =2圍成圖形的面積為若3 = S,求點(diǎn)P的坐標(biāo).與x軸所圍圖T工工移動(dòng)，直線 =x2及直線x備選習(xí)題1 . 一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其v

12、t曲線如圖所示,1 ,一，在2 s6s間的運(yùn)動(dòng)路程為則該物體i/fm-B-1)C42 .計(jì)算下列定積分:31(3 x22x+1)dx；(2) f e x + _+_ dx.x x3 .求曲線y =4x, y = 2 x, y= 1x所圍成圖形的面積.34.某技術(shù)監(jiān)督局對(duì)一家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)時(shí)，得到了下面的 資料：這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律屬于變速直線運(yùn)動(dòng)，且速度v（單位：m/s）與時(shí)間t（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式v（t）=t2?0< t <10?,4t +60 ?10< t W20?, 140 ?20< t <60?.某公司擬

13、購(gòu)買一臺(tái)顆粒輸送儀，要求1min行駛的路程超過7673m,問這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀能否被列入擬挑選的對(duì)象之一定積分與微積分基本定理復(fù)習(xí)講義答案前測(cè)：1. D 23.84.1兀5.2ln2348例 1 ： (1) v. 3(2)2.,、1 41 2(4) 2e 2e +ln 2.變式1 ：解：（1）|x-1|1 xx 1x 0 , 1?x 6 1 , 2故/0| x- 11dx=0 0(1 x)dx2x 1 x+ J 1(x 1)dx= x | 0+ 5 x1 1=2+ 2=1.(2)2 業(yè) sin 2 xdx= 2 |sinx- cos x|d x=(cos x sin x)dx

14、+ 2 (sin-4x cos x)dx = (sin x + cos x) 4+(cos x sin x)=啦1 + ( 1+啦)=272-2.例2 :自主解答成的圖形的面積由3J x2 + 2xdx 表示 y = x2+2x與 x=0, x=1 及 y = 0所圍 y = /-x2+2x得(x 1)2 + y2= 1(yA0),又0w x<1, /. y =x2+2x與 x=0一.1 .一 . 兀x=1及y = 0所圍成的圖形為4個(gè)圓，其面積為 j.J x2+2x dx=4互動(dòng)：解：/2-x2+2xdx表示圓（x1）2 + y2=1在第一象限內(nèi)部分的面積，即半圓的面積，所以 /0J-

15、x2 + 2xdx2-變式2 . 啦1互動(dòng)：6.變式3 . D例4 :自主解答a=- m/s2V0=72 km/h =20 m/s.設(shè)ts后的速度為v,則v=20.令v=0,即20-t=0得t=50(s).設(shè)列車由開始制動(dòng)到停止所走過的路程為s,則 s = / 50vdt/0°(20 dt=(20t I 50=20X50-x502=500(m),即列車應(yīng)在進(jìn)站前50s和進(jìn)站前500m處開始制動(dòng).變式4.46典例：解析由題意可得f(x) =5=4. S_2 =1 10x, 0<x<2,110 10x, 2<x< 1x軸圍成圖形的面積為答案4 變式5.檢測(cè)題答案1

16、0.解:(1)10x2 所以 y = xf (x)=C B C C AD99了.(2)2+ln10< x,10x- 10x2, 2<x< 1,10x2dx+ 11 (10x-10x2)dx =27 .4+2ln 232.(3)242.飛"2e2.11 .解：拋物線y = xx2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 必=0所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積S= / 0(2x 1 311 px-x )dx= 3x | 0=6.又y = x-x2, y=kx,由此可得，拋物線y=x。與丫=卜*兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 1 kz21 k 21 3 I0 0 (x x kx)dx=2 x3、I1-

17、 k06(1-k)3.10 33X+ 5x2233x3=0, x4=1 k,所以,32=1-131223x -2kx | x,101又知S=6,所以(1k)3=2,于是k=1-12.解：設(shè)直線。用方程為y=kx,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,1o1a.則/°(kxx)dx=/x(xkx)dx,即2kx3*|0=解得1kx2_1x3=8_2k_3x31kx2,23332解得k=4,即直線OP勺方程為y=4x,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為4,16.33392t?0<twi?,2?1<t<3?,備選題：1.解析：由題圖可知，v(t)=1-t+1?3<t<6?,31因此該物體在5s6s

18、間運(yùn)動(dòng)的路程為s=6v(t)dt=112tdt+/12dt+/3222<t+1dt=t2；+2t11+%2+t|3=(m).答案：與m32rl6442.解：(1)31(3x22x+1)dx=(x3x2+x)31=24.一111111.、2 2)f1x+_+_dx=f1xdx+f1_dx+f1-dx="x|+lnx|1一一|1''xxxx2x12111213=2(e1)+(lneTn1)&一彳=2e-e+2.ry=2-x,3 .解：由y"x，得交點(diǎn)A(1,1)由1得交點(diǎn)巳3,_1)y=2x,y=-3x,1一。1故所求面積S=f0>/x+3xdx+f12-x+3xdx= 3x2 +1 26x136.4 .解：由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,1022060可信s=/otdt+/io(41+60)dt+/20140dt13,102,20,601=§t|0+(21+60t)1。+140t|20=71333(m)<7676(m).這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀不能被