阿基米德螺旋線

1、(1.M)正文§1.平面.阿基米譙螺旋線的介紹在普通平面物處標中，定義關系式:r-aO圖中O為極坐標原點，籃包的線為根據(jù)阿基米德螂嫉我方科，二出出的舞旋線.其中有平面上任意一點A(r.O),連結(jié)AO(圖中黑嬪，艱段人。與/*=。曲線,火點中離A最近的交點為A'(r',®).建立新坐標系對于這行螂線,我們可以基于它建立一個坐標系.對于平面上的任意一個點A,連結(jié)AO.今稅收入O與場旋或離川最近的一個支點為A(如田所示).我們用點4與點A或立映射關系.這樣，平面上的點都可以用阿從米德蟋旋線上的點去示，而何從米獨蛛就級滿足=”6(1.101),所以平面上的點就與實效

2、集建立了多對一的映射關系，我們用了表示這種映射關系。談公在極坐標系中的坐標為(匚0),按照上面的思路，我們可以在阿縣米德螺線上面芋憑焉的標上刻段來表示螺拱上每個點的坐標，根據(jù)極坐標中曲戰(zhàn)長度/的計算公式我們有：/=隨而而=W(汾+a21)又因為r=0(LI().l)所以：/=JJ/+。,(10ln(0+J.。+0,)+/(r+02(1.2.2)1122我們現(xiàn)靠列，(1.2.2)式過于警城,JL：(12.3)所以我們考慮直拄使用夕對該螺旋線上的點進行搭逑，即時塔線上每一點(廠。)用一個實數(shù)。2來表示.對平面上任意一點A(小a)這里04av2;r,都可以得到前之提到的.第一個交點A'坐標為

3、(匕0),其中A(r,a)、A，(r'C)滿足關系:L=0=2/r1+a(1.2.4)u27r«從而：«2=(2lJ+rr)2(1.2.5)Ina這樣便可以通過。2表示點A,干是我們發(fā)明了用一個實數(shù)相咯的和示平面上所有點的方法。在這種方法中，每個實效表示一條長為的戲段，如圖所示，性中綠色殘段長為2允a：我們籽這種新建立的坐標系起名為珂基米座場線坐標女.下文中簡稱'【類坐標系.片中的點用(小)表示.§13徑向誤差的計算在NI坐標系中，一個實效裝示長為2不。的線段上面的所布,點,所以良示平面上的點時必然會產(chǎn)生徑向誤差：Ar=2萬"(1.3.1

4、)這個誤差的存在是用一個實效我示一個二維平面所不可避免的，但可以通過(11.0.1)的a的選擇把4*控制在可按受的范圍之內(nèi).對某一個確定的點八(廠,a).在N1中為A(0),因為有：(1.2.5)(13.1)0?=(2足工+"-InaAr=2/ra所以有：伊=(2加二+a)2(13.2)Ar為7減小4.必須要用更大的數(shù)值02未描繪點A.§14NI中的兩點間距離公式及距離誤差分析對于平面中任意兩點A.B,在極生標中有4(%)、A(%a«),在NI中有(1.2.4)A),B(琉),如圖.我們可以用：r*r=0=2(+aa2?！皩な褂茫?13.5)2rr朵表示6勺極限漢

5、星,A/表示d的極限誤潼.表示人和月的距離.根據(jù)誤是合成的公式：對多元擊散：y=/(4巧廣"，/)(13.6)紳=之4乂(1.3.7)Iex.岸中Ax,Ay表示相應數(shù)值的法星°在NI處標系中,、/表示用度時沒本議差.表示長度時久和%可能有2江的誤£故：/>2M="：|0、-gcqs(O,-0$)|+|仇-0、cos(?.t-。8)|(13.8)將，4(U.O.l)代人得到：«=寧。Fcos(Q0/十匕一口cos©-)|(13.9)注意到：d=rxrHcos(,)|(1.3.10)同理：d之鼠jcos(Z"")

6、|(13.11)代人上式有:AJ447T”(1.3.12)當JL僅當/一%=A區(qū)伏wZ),即A、B、O共線時等號成立，誤差救大.其中Ad與“正相關.又由于r=，所以Ar/與，黃相關.我們便可以得出“住用更大的球?qū)τ邳c老什描述可以減小誤是Ad”,這樣我們就把在§131中“為了減小Ar,必須要用我大的數(shù)值少女描繪點人”推廣到任意/V.我們就得出了通過減小N【坐標系中的"的值.增大湍繪點的小的值，減小誤差.并可以由上面的公式進行定量的計算,并討論了誤差了大小的大況.§1.5.原點設置與誤笄分析由于注息到，不同的原點設置對于NI生標系中的點的徑向誤是/和兩點問的極限法差A

7、d也都會有影響.為了方便法差的討論.我們淮備洋NI坐標系放入平面直角坐標系之中，并從商單的彤勢到復雜的彩式進行計算.在式(131.1)中，我們存知在向誤差為定值，即無論原點設置在什么地方都無法迎免由4，=2打產(chǎn)生的最大徑向誤差.對于多個點的情況,我們可以用各個點產(chǎn)生最大徑向誤甚的和表貓述產(chǎn)生誤差的人小.如果我們命名個點為A，4,A,"其中，二123,.各個點產(chǎn)生的最大誤差為，4、勺,A/,即總最大誤差之和力：.£紂=n-Ina(1.5.1)式(】.5.1)在原點設置在平面任一位五時都成立.我們發(fā)現(xiàn),如果儀僅使用徑向深差林速由NI坐標系原點設五所市表的俁爰并不直§2

8、.球面.球面螺旋線介紹在研究完NI生標系后，我們自然而然的聯(lián)想到，在球面上是否也存在若像阿基米他蛛旋畿一樣的可以用來描繪整個球面的戲呢？通過阿基米便螺旋線的表達式我們非常自然的聯(lián)枳到可以從經(jīng)度、緯度的軌念出發(fā).利用類似的表達式、來構(gòu)造這樣的曲線從而建立新的坐標系,就像在§1中建立坐標案基于的平面極坐標系.q,正向度表示北緯,負緯度如上圖，我們準各基于該種坐標系來也立我們自己的球面坐標系。該球面上每一個點都可以用經(jīng)緯坐標（a.。）來描述、其中。表示經(jīng)度，是圖中的/BOC,尸表示緯度,即為圖中的/AOB.我們可以用奧似§1.1中（l.l.l），=a®的參數(shù)方程來柏述我

9、們建立坐標系的基阻線.如下：a=a/3（2.1.1）關中“為常致，用于描述螺正戰(zhàn)間距高的大?。灰率灸犀|.我們均另得到.如果用任意一個經(jīng)線截到院線所得相鄰兩個更點緯度角相差.事實上，如果設兩點坐標為（a./“，（a+2m/4）,由螺旋線方程得到：a="什a+2乃=aflz2n兩式機減有：兒-八二十（2.1.2）所以我們知道,在定義場發(fā)線如果使用的。越大則、爆發(fā)線越塞，反之a(chǎn)越小，如厚旋線越焦.建立球面螺旋坐標系對于球面上任意一點（a,。）,aeo,2;r卜我們用孩點所在的經(jīng)線9煤貨線曷該點it近的文點表現(xiàn)略進行柘紛，這樣.珞會線上一點.將代我一小段經(jīng)淺上的氟這樣，球面上的點標可以用該好

10、貨線上的點表示.而螺發(fā)線上的點用它的緯度/?來A示，我們便可以得到新的史標系Nlh為了與N1坐標系統(tǒng)一，我們使用（0）來柏繪球而上的所有的點.。大小與前文中經(jīng)緯坐標.條中的緯度”相等.對于球面上任意一點（a.口）按里前五敘述0應淹足：。=a+2k八,keZ萬汗(a+2&k).Qn.“代人得到：P一一<-</?+,XreZ.(2.2J)(2.2.2)afl-a+乃Ina+27r0=a/i-a+rtIn(2.2.3)(224)U這洋我們就得到了Nil坐標系與球面經(jīng)注止標系的檸拽公式，相應地，在Nil生標系中的，表示經(jīng)緯度滿足：a=u0-2萬(2.2.5)(2.2.6)的所有點.

11、§23球面坐標中的距離公式為了計算在NTI坐標系中的兩點距離，我們準備先知出在經(jīng)紂，生標系中球面兩點距點公式.設經(jīng)緯坐標系中有兩點從%J4），如圖:cos設OA'=g,ON=0ON=r為球半役.則：OA=rcosAi£+rsinq-e3，OB=rcos/Ae2+rsini2-e3(23.1)=(cosA%+sinfiCj>(cosfl2-e2+sinfl2/)=sinflsinp2+cos仰cosftcos(a2一1)由弧長公式得距離：d=rarccosfsinesin"：+cospcosp：cos(a2-a)(2.3.2)相應地，在Nil史標系中已

12、知兩點人“),(。2),可得到距離:d=r,arccossin0sin024-cosQcos02cos(a02-uOj(2.3.3)§24誤差分析當我們使用NII坐標系表示里面上的點的緯度時會產(chǎn)生誤差，根據(jù)公式(2.2.6):rrjr0一一"<+二，可以得到誤差為：aaAd=土馬(2.4.1)(2.4.2)所以當誤差要求5時需要4>-根據(jù)(1.3.7)Av=9At可以得到:_刀.|cos4sin0y-sin0lcos仇cos(a02a0l)|4|cos%sin耳-sin%cosqcos(a02af)x)|事實上.我們關心的是距離的放大俁差.這可以通過幾何關系簡單

13、地求出，如上圖兩點是螺我段上的點，它實際表示的點可能在A到4和閩到8,的劣弧上.A8'分別為弧兀兀、麻上任意兩點，顯然有如下不等式成立：|cos|sin3.-sin6lcos02cos(o02)|+|cossin-sin8sqcos(幽-仇)|A因5、/、yjr/'A'8WA8+A'A+8BVA8+(2.4.4)a當且僅當A、B在同一掙線上時等號成立.同理：而N贏-0-后2AB-(2.4.5)a/y所以在NII坐標系中計算距離時最大誤差為土里.這個結(jié)果與式(2.4.1)一致。a如果我們對距離誤差的要求為±5,則需要空43,即型，(2.4.6)ab

14、67;25NH坐標與經(jīng)緯坐標在計算機中表示所需位數(shù)比較我們雖然建立了只用一個實數(shù)描述一個球面的Nil坐標系，但它與舊有的狂結(jié)型標系相比是否其有優(yōu)越性呢？這是有他于討論的，我們基于一個樸素的思想，將在下文子以分析，我們在經(jīng)他坐標系和Nn坐標系拈度相同忖，比皎它們描述同一個點所需要的數(shù)據(jù)占用的位數(shù)來物定兩個坐標系在空間更雜度上面的差異.設在經(jīng)緯坐標系中經(jīng)度和結(jié)區(qū)所加有的最小分度值為氣，叫(單位弧度).為達到分度值G.(7，需要有2個經(jīng)度值，二個緯度值，期需要球面上的點6個數(shù)：%方«=(2.8.1)C04相應地在Nn金標系中，為了保證精確度杓同,也需要有個實敢與球面上的點梢對應.如果把NI

15、I坐標系中的點表示為(0),。-py,則的分度借b2為：在二法制表示中，考慮及示經(jīng)度a所需要的位數(shù)：±ubcdcfg算中第一位表示正負，由于kl<g,，卜數(shù)點之前只需安一位，設小數(shù)點后需要位，應有公式：2"力>/22代2),即總位數(shù)勺=2+-logbJ.同理可以得到緯度有勺=B+J-loge”位.表示。需要號=2+一1。4%|位.小<T父代入后有:2斤心=3+一log?J-log,j+log2元5十卜log?j.log2bJVka+kp相應地可以得到原>ka+-20可見,經(jīng)緯坐標系在精確位數(shù)上與NII坐標系相比并不具有伏勢。特別的，在計算機的存毋中.

16、分配給每個數(shù)據(jù)的存儲空間并不由數(shù)據(jù)本身在二進制下有效數(shù)字而定,而是一個給定的空間，實際位用中一般不能占滿,使用Nil坐標系可以減少變量數(shù),提高存毋空間使用效率.的確立與地球上的的范圍我們在查閱資料以后.發(fā)現(xiàn)一段大城市的面積大小約在100平方公里數(shù)量級左右，這樣我們就要求我們有10千米左右的精硝度，查友得用地球的平均半徑為6371千米，"一"代人不等式(246)2位我們可以得到:r=63713(251)2絲4先之400302單位千米5這樣我與就估算出了在討論地球上的城市的位行的葉候可以選用的a的取信危困，又由于久(2.4.l)Ad=±»我們可以看出與最大誤

17、差的大小負相關。a這個結(jié)論可以幫助我們在進行NH坐標系設計時更好的確定u的信.通用轉(zhuǎn)化程序設計為了更好地讓Nil球面坐標系普及，我們根據(jù)式(2.2.5).(2.2.6萬丈計了球面經(jīng)緯坐標與Nil史標系之間的轉(zhuǎn)換程序.藪困如下：在揄人以及球半徑以后，該程序可以進行雙向的坐標轉(zhuǎn)換.科序的右手部分是根據(jù)式(2.3.3)編寫的球面距離計算工具，在榆入兩個地&的Nil坐標后，便可以計算出兩地的大致死需，共精確度由左上角的”的取值進行調(diào)控.應用實例在查閱了也r系大城市經(jīng)委坐標以后，根據(jù)經(jīng)緯坐標通過式(2.2.4)或使用該程片可以計算出NII坐標系中的坐標，我們?nèi)=450(k結(jié)果見下表(經(jīng)緯坐標以

18、市中心為準):城市所在國家(地區(qū))城市名稱經(jīng)緯坐標Nil坐標中國北京(116°2339°54,)39.86586英國倫敦(-0。7151。30)51.51997德國柏林(13°2552°3r)52.48298俄羅斯莫斯科(37°3755°45')55.76836美國波士偵(-71°03',42。22')42.38421南非開普敦(18°25-33055,)-33.83591澳大利亞悉尼(151012,-33052,)33.8()640阿根廷布宜諾斯艾利斯(-58°25,-34°37,)34.57298南極昆侖站(中國)(77°07-80025')-80.30286我們也可以刊用該程序計算出城市之間的球面用離，計算結(jié)果如下去:起始城市終止城市通過Nn坐標算出的球面距離通過經(jīng)緯坐標算出的球面距離北京波士頓1083910836莫斯科開普敦1012910134布宜諾斯艾利斯昆侖站（中國）696()6945悉尼倫敦1698816993這樣.我們便為地球建立了一個以Nil坐