262菱形的判定

1、本節(jié)內(nèi)容2.6菱菱 形形2.6.2 菱形的判定菱形的判定 如圖如圖2-52，用，用4 支長度相等的鉛筆能擺成菱形支長度相等的鉛筆能擺成菱形嗎？把上述問題抽象出來就是：四條邊都相等的嗎？把上述問題抽象出來就是：四條邊都相等的四邊形是菱形嗎？四邊形是菱形嗎？動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋圖圖2-52 下面我們來證明這個(gè)結(jié)論下面我們來證明這個(gè)結(jié)論. AD = BC， AB = DC，如圖如圖2-53，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，AB=BC=CD=DA. 四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形. 四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形.圖圖2-53又又 AB = AD，結(jié)論結(jié)論四條邊都相等的四邊形四條邊都相等的四

2、邊形是菱形是菱形.由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理1 1：舉舉例例已知：如圖已知：如圖2-54，在四邊形在四邊形ABCD 中，線段中，線段BD垂直平分垂直平分AC，且相交于點(diǎn)，且相交于點(diǎn)O，1 =2.求證：四邊形求證：四邊形ABCD是菱形是菱形.例例2圖圖2-54證明證明 由于由于線段線段BD垂直平分垂直平分AC ，因此因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.在在AOB和和COD中，中，有有1 =2，AOB=COD，OA=OC.所以所以O(shè)AB OCD. .從而從而AB=CD.因此四邊形因此四邊形ABCD是菱形是菱形.( (四條邊都相等四條邊都相等的四邊形是菱形的四邊形是菱形) )所

3、以所以BA=BC= =DA=DC.圖圖2-54 菱形的兩條對(duì)角線既互相垂直，又互相平分菱形的兩條對(duì)角線既互相垂直，又互相平分. 從菱形的這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫出一個(gè)菱形從菱形的這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫出一個(gè)菱形嗎？嗎？ 過點(diǎn)過點(diǎn)O畫兩條互相垂直的線段畫兩條互相垂直的線段AC和和BD，使得使得OA=OC，OB=OD. 連結(jié)連結(jié)AB，BC，CD，DA，則四邊形則四邊形ABCD是菱形是菱形，如如圖圖2-55.圖圖2-55動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 如圖如圖2-55，由畫法可知，四邊形，由畫法可知，四邊形ABCD 的兩條對(duì)角線的兩條對(duì)角線AC 與與BD 互相平分，因此它是平行四邊形互相平分，因此它是平行四邊形.

4、又已知其對(duì)角線又已知其對(duì)角線互相垂直，上述問題抽象出來就是：互相垂直，上述問題抽象出來就是：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？你能說出這樣畫出的四邊形你能說出這樣畫出的四邊形ABCD一定是菱形的道理嗎？一定是菱形的道理嗎？圖圖2-55我們來進(jìn)行證明我們來進(jìn)行證明.又由于又由于DB是線段是線段AC的垂直平分線，的垂直平分線， 由于四邊形由于四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的兩條對(duì)角線AC與與BD互相平分，因此它是平行四邊形互相平分，因此它是平行四邊形.因此，因此，DA=DC.從而平行四邊形從而平行四邊形ABCD是菱形是菱形.圖圖2-55結(jié)論結(jié)論對(duì)角線互相垂直的平行

5、四邊形是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理2 2：舉舉例例如圖如圖2-56，在，在平行四邊形平行四邊形ABCD中，中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求求AB的長的長.例例3圖圖2-56 AB=AD=5 .解解 四邊形四邊形ABCD為平行四邊形，為平行四邊形， DAO是直角三角形是直角三角形. DOA = 90，即，即DBAC. 平行四邊形平行四邊形ABCD是菱形是菱形. .（對(duì)角線互相垂直（對(duì)角線互相垂直 的平行四邊形是菱形）的平行四邊形是菱形）113422OAAC,ODBD.又又 AD=5，滿足，滿足 ，222ADOAOD圖圖2-

6、56 1. 畫一個(gè)菱形，使它的兩條對(duì)角線長度分畫一個(gè)菱形，使它的兩條對(duì)角線長度分 別為別為4cm，3cm.練習(xí)練習(xí)提示：作一條線段長為提示：作一條線段長為4cm，再作該線段，再作該線段的垂直平分線，以垂足為一點(diǎn)在垂線上各的垂直平分線，以垂足為一點(diǎn)在垂線上各取取1.5cm的線段，依次連結(jié)兩條線段的相的線段，依次連結(jié)兩條線段的相鄰頂點(diǎn)，所成四邊形則為所求的菱形鄰頂點(diǎn)，所成四邊形則為所求的菱形. . 4cm1.5cm1.5cm練習(xí)練習(xí)如圖，在如圖，在平行四邊形平行四邊形ABCD中，對(duì)角線中，對(duì)角線AC，BD相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)O，過點(diǎn)，過點(diǎn)O 作作MNBD，分別交，分別交AD，BC于點(diǎn)于點(diǎn)M，N .求證

7、：四邊形求證：四邊形BNDM是菱形是菱形. 2.證明證明 由于由于平行四邊形平行四邊形ABCD，所以所以 MDBN， ADB=CBD， DMN=BNM， OB=OD.所以所以 ODM OBN. .所以所以NB=MD.又又 MDBN，MNBD，所以四邊形所以四邊形BNDM是菱形是菱形.中考中考 試題試題例例1 如圖，如果要使如圖，如果要使ABCD成為一個(gè)菱形，成為一個(gè)菱形，需要添加一個(gè)條件，那么你添加的條件需要添加一個(gè)條件，那么你添加的條件是是 .AB=AD或或ACBD等等解析解析考查菱形的判定定理考查菱形的判定定理. .中考中考 試題試題例例2 如圖，已知等腰如圖，已知等腰ABC中，中，AB=

8、AC，AD平分平分BAC交交BC于于D點(diǎn)，在線段點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P( (A點(diǎn)除外點(diǎn)除外) )，過過P點(diǎn)作點(diǎn)作EFAB，分別交，分別交AC、BC于于E、F點(diǎn)，點(diǎn)，作作PMAC，交，交AB于于M點(diǎn)，連結(jié)點(diǎn)，連結(jié)ME.（1）求證：四邊形）求證：四邊形AEPM為菱形為菱形.（2）當(dāng)）當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形點(diǎn)在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為的面積為 四邊形四邊形EFBM面積的一半？面積的一半？（1）EFAB，PMAC， 四邊形四邊形AEPM為平行四邊形為平行四邊形. AB=AC，AD平分平分CAB， CAD=BAD，ADBC. 又又 BAD=EPA， CAD=EPA， EA=EP. 四邊形

9、四邊形AEPM為菱形為菱形.解析解析 則則 11=22AEPMEFBMSEP EN = EF EN = S.菱菱形形四四形形邊邊N.1=2AEPMEFBMSS菱菱形形四四形形邊邊（2）P為為EF中點(diǎn)時(shí)，中點(diǎn)時(shí)，四邊形四邊形AEPM為菱形，為菱形， ADEM，ADBC， EMBC.又又EFAB，四邊形四邊形EFBM為平行四邊形為平行四邊形.作作EN AB于于N，中考中考 試題試題例例3 如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，E為為AB上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，ADE和和BCE都是等邊三角形，都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.四邊形四邊形PQMN為菱形為菱形.連結(jié)連結(jié)AC，BD. PQ為為ABC的中位線，的中位線，同理同理 四邊形