錯(cuò)位相減法求和附答案

1、錯(cuò)位相減法求和專項(xiàng)錯(cuò)位相減法求和適用于an'bn型數(shù)列，其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，在應(yīng)用過(guò)程中要注意：項(xiàng)的對(duì)應(yīng)需正確；相減后應(yīng)用等比數(shù)列求和部分的項(xiàng)數(shù)為(n-1)項(xiàng)；若等比數(shù)列部分的公比為常數(shù)，要討論是否為11.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)/:I “亠,數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，點(diǎn)均在函數(shù)：=y：/.：的圖象上(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(n)設(shè)，,是數(shù)列 的前項(xiàng)和，求解析考察專題：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;難度：一般答案(I)由于二次函數(shù)-的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則設(shè),又點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，二當(dāng)心時(shí),©、=J ；： ； L 5 T又忙：=.：=

2、乜，適合上式,I（7 分）（n）由（i）知- 2 - :' 2 - ： | ；： : 2 ：'-'I+（2« + l）"kl ,上面兩式相減得=3 21 +2 （21 +23 十4r）-（2打+ 】卜2*4屮一才丨,: .1=2整理得：，2.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，是數(shù)列45 =;/ 2 4加-3斤JTRT（14 分）的前n項(xiàng)和，且（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）二知二 一-答案查看解析解析解出ai = 3,又 4S n = a n? + 2a n 32當(dāng) -時(shí) 4Sn -1 =+ 2a n-1 3他7 + «叫-叫J,即丐二+ j)=o.

3、 - :.”-'"叫2( 一)二數(shù)列也“是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，6分二心=3 + 2(n -1) = 2/? + !Tti =3x2' +5x2?+L +(切1).又.：匚:-.:-一Ta =-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)2"4-'+(2卄】)2曲12分3. (2013年四川成都市高新區(qū)高三4月月考，19,12分)設(shè)函數(shù)' ： 11 1'，數(shù)列：前項(xiàng)和，：；：“二二；-匕斥.二，數(shù)列，滿足沢二U.(I)求數(shù)列：，的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)數(shù)列屮廣 的前 項(xiàng)和為，數(shù)列殖的前；項(xiàng)和為：，證明：答案(i 由

4、'，得'kJ是以;為公比的等比數(shù)列，故叫=蘆|.用錯(cuò)位相減法可求得. ? 比 丁 二.(注：此題用到了不等式：I ，I 進(jìn)行放大.)4. 已知等差數(shù)列'中，； 是與的等比中項(xiàng).fa 3(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(n)若'.求數(shù)列' 的前廠項(xiàng)和解析(I)因?yàn)閿?shù)列'是等差數(shù)列，是 與 的等比中項(xiàng).所以 '又因?yàn)?，設(shè)公差為，U ''''' 1 , 所以.門 "'1',解得，或 ，當(dāng)宀2時(shí)，坷二2 , % =八(沖-1)，2 =加；當(dāng)d -0時(shí)，毎二4 .所以或.(6分)(n)因?yàn)?

5、#39;，所以'，所以所以'，所以二丁 1- - I :-： 2 ' I1 一？-匕=2(2° + 2' + 2:+-+2ff'l-w2tt) = 2 -n-2'兩式相減得,所以'.(13 分)5. 已知數(shù)列： 的前I：項(xiàng)和' ,','J ',等差數(shù)列：中= S ,且公差心2 .(I)求數(shù)列、；的通項(xiàng)公式；(n)是否存在正整數(shù)'，使得'''： 若存在，求出“的最小值，若不存在，說(shuō)明理由.u. L £? . = 2S + L 當(dāng)h 工 2 u 虬=25 .

6、+ I 亠/口解析(I)時(shí)，相減得：%=她Z ")& 6 = 2坤 4 “ 二処二地，人?'數(shù)列： 是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列又 h、= h、碎 d =, 二勺二 m 二丿打=2m +(6分)令-處叮"存沁"¥宥“ 4細(xì)一恥汀丄“：.2：冷嚴(yán)37； =3x3*5x3J+7x31+L +(2ff-l)x3"-'+(2/1+1)3*一得:-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl-,)-(2» + 1)x3fl二匚=V，一 o> 伽,即 3" >60 ,當(dāng) n<3，亍弋6

7、0 ,當(dāng)/;>4。3" >60的最小正整數(shù)為 4.(12分)6. 數(shù)列：滿足77二Z二,等比數(shù)列：滿足"d二込.(I)求數(shù)列 ，的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)，求數(shù)列"'的前*項(xiàng)和.解析(I)由，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，所以：21; -)比R由' 二“亞二込，所以,，所以，,即卑斗，打=¥所以(6分)(n)因?yàn)?，所以',則-所以I匚 匸匚匸、:：二兩式相減的：',所以'廠.（12分）7. 已知數(shù)列滿足，其中.為數(shù)列 的前項(xiàng)和.（I ）求 的通項(xiàng)公式；（n）若數(shù)列 滿足：（），求 的前項(xiàng)和公式 解析I），一得，又

8、時(shí),m，晁宀中.（5分）證丁i 1： I?兩式相減得一(13 分)8. 設(shè)d為非零實(shí)數(shù),and+2 d2+ +(n-1)dn-1 +n C；dn(nN*).(I )寫出ai, a2, a3并判斷On是否為等比數(shù)列若是，給出證明；若不是，說(shuō)明理由；(n )設(shè) bn=nda n(n N*),求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.答案(I )由已知可得 ai=d, a 2=d(1+d) , a 3=d(1+d)2.scddtd+i)nt由此可見(jiàn)，當(dāng)dz-1時(shí)，an是以d為首項(xiàng)，d+1為公比的等比數(shù)列；當(dāng)d=-1時(shí),a1=-1, a n=0(n > 2)，此時(shí)an不是等比數(shù)列.(7分)(n )由(I

9、)可知，an=d(d+1)n-1,從而 bn=nd 2(d+1) n-1 ,Sn=d 21+2(d+1) +3(d+1)2+ +(n-1) (d+1)n-2 + n(d+1)n-1.當(dāng) d=-1 時(shí),Sn=d 2=1.當(dāng)dz-1時(shí)，式兩邊同乘d+1得(d+1) S n=d2(d+1) +2(d+1)2+ +(n-1) (d+1) n-1+ n(d+1) n.，式相減可得-dSn=d 21+(d+1) +(d+1)2+ +(d+1) n-1-n(d+1) n=d 2魁出陽(yáng))"|.化簡(jiǎn)即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1.綜上,Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分

10、)9. 已知數(shù)列an滿足 a1=0, a 2=2,且對(duì)任意 m, n N *都有 a2m-1 +a 2n-1 =2a m+n-1 +2(m-n) 2(I )求 a3, a 5;(n )設(shè) bn=a 2n+1 -a 2n-1 (n N*),證明:bn是等差數(shù)列；(川)設(shè)cn=(a n+1 -an) q n-1 (q豐0, n令N 求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.答案(I 由題意，令 m=2, n=1 可得 a3=2a 2-a 1+2=6.再令 m=3, n=1 可得 a5=2a 3-a1+8=20. (2 分)(n )證明：當(dāng)n N *時(shí)，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3 +a2n-1 =2a

11、2n+1 +8.于是a 2(n+1) +1 -a 2(n+1) -1 -(a 2n+1 -a 2n-1 )=8,即 b n+1 -b n=8.所以，數(shù)列bn是公差為8的等差數(shù)列.(5分)(川)由(I )、( n 的解答可知bn是首項(xiàng)b1=a3-a1=6,公差為8的等差數(shù)列.則 bn =8n-2,即 a2n+i -a2n-i =8n-2.另由已知(令m=1)可得,an=2-(n-1) 2那么,a n+1 -a n =2-2n+仁Bi)2-2n+仁2n.于是Cn=2nqn-1當(dāng) q=1 時(shí)，Sn=2+4+6+ +2n=n(n+1).當(dāng) qMl 時(shí),Sn=2 q+4 c+6 #+ +2n nq1 .

12、兩邊同乘q可得qSn=2 &+4 q+6 3+ +2(n-1) n-1q+2n q.上述兩式相減即得(1-q) S n=2(1+q1+q 2+ +qn-1 ) -2nq方-2nql-(n41) qx,+nq,H1所以Sn=2綜上所述n(n+l)(q-1) Sn上憐沖沖(12 分)10. 已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列,a1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；求數(shù)列an "的前n項(xiàng)和.答案(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d豐0),由條件可知：(2+3d) 2=(2+d) (2+7d解得 d=2.(4 分)故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n(n N*).

13、(6分)(2) 由(1)知an =2n x3n,設(shè)數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn,則 Sn=2 x3+4 x3+6 x3+ +2n x3n,32Sn=2 x3+4 x3+ +(2n -2) x25 +2n x3n+2 ,故-8Sn=2(3 2+34+3 6+ +32n)- 2n X32n+2 ,(8 分)L4I(8»-1>kj+1+9所以數(shù)列an.1的前n項(xiàng)和Sn=.(12分)11. 已知等差數(shù)列： 滿足込二二心-土、二覚又?jǐn)?shù)列： 中軋=H且(1) 求數(shù)列 ，:的通項(xiàng)公式；(2) 若數(shù)列 :，:的前"項(xiàng)和分別是S叮7；，且耳=工(2： +耳 求數(shù)列詁訃的前”項(xiàng)和'

14、若1;-:對(duì)一切正整數(shù)-恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.fa, +2rf = 5,答案(1)設(shè)等差數(shù)列 5的公差為,則有仁 仆 斗 八工(斫 +4J)-2(cj X解得門，虹產(chǎn)0, 字二工慶f）.數(shù)列： 是以 ；為首項(xiàng)，公比為 的等比數(shù)列/.Aw=3x3fl-' -3ft(/ier h 4分由可得+ 2/ - IJ=沖233F1-3'迸.扌近亠亡札，-. I ，+Sx3s+（« i）淇 3卄、+押乂（2）得-V*L 宜 1，:. ，1-3：、 I 分0(3) ' 廠扌(亦 Igs 11 #(2“1)>3J1 =9(j + l)x3u>0 ,.當(dāng)時(shí),取最

15、小值，甌；=當(dāng)匚宀I時(shí),解得即實(shí)數(shù)附的取值范圍是 一或冊(cè) I * .14分12.設(shè)丄為數(shù)列的前"項(xiàng)和，對(duì)任意的"弋，都有n *為常數(shù)，且'"一山（1）求證：數(shù)列L-是等比數(shù)列（2）設(shè)數(shù)列；譏的公比，J '，數(shù)列"滿足'':F，求數(shù)列"的通項(xiàng)公式；（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前凡項(xiàng)和 - 1 u. - Va答案188. （ 1）當(dāng)一 I時(shí)，解得即；心5 i .又嶋為常數(shù)，且r',擻列m1,公比為小的等比數(shù)列（2 ）由（1）得, ' ,?1. 1kl是首項(xiàng)為2,公差為i的等差數(shù)列.22/i1仃T'4-丄百-鞏2Z）（3 ）由（2）知，則；.町二+ 卡2” 'x（2rj*3）+2"x：（2rt-l）21 + 23+25+得=2"11 x（2n-l）-2-21-2M2加1-2分1413.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S 2, a2n=2a n+1.(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(n )設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,且Tn+ -=入(為常數(shù)),令Cn=b 2n(n N*),求數(shù)列Cn 的前n項(xiàng)和Rn.答案(I設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為d.由 S4=4S 2, a 2n =2a n + 1 得