《數與形》教材說明和教學建議

1、數與形教材說明和教學建議數與形教材說明和教學建議（一）教學目標1.使學生通過自主探究發(fā)現圖形中隱藏著的數的規(guī)律，并會應用所發(fā)現的規(guī)律。2 .使學生會利用圖形來解決一些有關數的問題。3 .使學生在解決數學問題的過程中，體會和掌握數形結合、歸納推理、極限等基本的數學思想。（二）內容安排及其特點1.教學內容和作用。數形結合是一種非常重要的數學思想，把數與形結合起來解決問題，可使復雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀。數與形相結合的例子在小學數學教材與教學中比比皆是。有的時候，是圖形中隱含著數的規(guī)律，可利用數的規(guī)律來解決圖形的問題。有的時候，是利用圖形來直觀地解釋一些比較抽象的數學原理與事實，讓

2、人一目了然。尤其是小學生思維的抽象程度還不夠高，經常需要借助直觀模型來幫助理解。例如，利用長方形模型來教學分數乘法的算理，利用線段圖來幫助學生理解分數除法的算理，利用面積模型來解釋兩位數乘兩位數的算理、乘法分配律、完全平方公式等（如下圖）。還有的時候，數與形密不可分，可用數來解決形的問題，也可用形來解決數的問題。例如，解析幾何及微積分中，曲線與方程、方程組及函數與圖象互為工具，互為解釋，有機融合。小學中的正比例關系和反比例關系圖象也很好地反映了這樣的思想。本單元中，教材以1+3+5+7+(2n1)=n，和為例，引導學生認識利用數與形的結合，可以解決一些有趣的數學問題。具體編排結構如下。從上表可

3、以看出，本單元的教學內容分為兩個層次。一是使學生通過數與形的對照，利用圖形直觀形象的特點表示出數的規(guī)律。例如，例1中，從圖形的角度直觀地理解正方形數或平方數的特點。二是借助圖形解決一些比較抽象的、復雜的、不好解釋的問題。例如，例2中，解決的求和問題，教材利用分數意義的直觀模型，使學生直觀地理解無限的抽象概念；再如，練習二十二第6題，通過畫示意圖的方式可以比較便捷地解決比較抽象的問題。2.教材編排特點。本單元教材在編排上有下面幾個特點。(1)突出探索規(guī)律、應用規(guī)律的編排意圖。不管是數還是形，都突出對其規(guī)律的探索。例如，通過觀察和計算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+既能發(fā)現加數的規(guī)律（從1

4、開始的連續(xù)奇數相加），又能發(fā)現和的規(guī)律（都是連續(xù)的正方形數）；通過觀察和計算、，同樣，既能發(fā)現加數的規(guī)律，又能發(fā)現和的規(guī)律。在發(fā)現規(guī)律的基礎上，通過推理，再引導學生把規(guī)律應用于一般的情形，解決問題。（2）在利用數形結合解決問題的過程中積累基本的活動經驗，培養(yǎng)基本的數學思想。例如，在例2中，讓學生通過計算，發(fā)現和越來越趨向于1,感受什么叫無限接近。雖然無法一一窮舉所得的結果，但可以利用觀察到的規(guī)律進行無窮無盡的類推，使學生在這一過程中體會推理和極限的思想。（三）教學建議1.引導學生數形結合，相互印證。形的問題中包含著數的規(guī)律，數的問題也可以用形來幫助解決，教學時，要讓學生通過解決問題體會到數與形

5、的這種完美結合。既可以從數的角度出發(fā)，讓學生看看可以怎樣用圖形來表示數的規(guī)律，也可以讓學生尋找圖形中所包含的數的規(guī)律。通過數與形的對應關系，互相印證結果，感受數學的魅力。例如，在例1中可以先讓學生計算1+3+5+的得數，使學生發(fā)現得到的和都是平方數，再通過圖形的規(guī)律理解平方數和正方形數的含義。也就是說，如果用1個小正方形、3個小正方形、5個小正方形可以共同拼出一些大小不一的大正方形圖。也可以有規(guī)律地呈現由小正方形拼成的大小不一的大正方形圖，讓學生看看前后兩個大正方形圖相差多少個小正方形，例如，邊長是2的大正方形和邊長是1的大正方形，相差的是3個小正方形；邊長是3的大正方形和邊長是2的大正方形，

6、相差的是5個小正方形相差的小正方形數正好是1形中的小正方形數。因此，每個大正方形圖中都隱藏著一個算式，即1+3+5+722n1)=n02 .使學生感受用形來解決數的有關問題的直觀性與簡捷性。圖形的直觀、形象的特點，決定了化數為形往往能夠達到以簡馭繁的目的。例如，例2中，用舉例的方法求出等比數列的有限和，都不能證明無限多項相加的結果為1。但是如果用圓或線段的圖形加以說明，學生則比較容易理解當一個數無限趨近于1時，其結果就是1。一個極其抽象的極限問題，由于用圖形來解決，就變得十分直觀和便捷了。3 .引導學生從不同的角度探索數與形的通用模式。小學階段，雖然不要求寫出一個數列的通式，但可以通過數形結合的方法，利用圖形的規(guī)律，從不同的角度，用自己的語言描述出數列的通用模式。例如，第109頁第1題，根據例1的結論，很容易得到第n個圖形中最外圍的小正方形數為：(2n+l)(2nl),也可以從結果看到第一個圖最外圈有8個小正方形，第二個圖最外圈有82個小正方形，第三個圖最外圈有83個小正方形通過推理，可知第行個圖