《數(shù)值分析》第五章答案

1、習(xí)題51.導(dǎo)出如下3個(gè)求積公式，并給出截?cái)嗾`差的表達(dá)式。(1)左矩形公式:(2)右矩形公式:b a b af (x)dxf (x)dx(3)中矩形公式:f (x)dx解：(1) f (x) f (a), f(x) f(b)b a b af(a)(b a)f(b)(b a)f(-f (x)dxf (x)dxbf ( )(x b)dx abf ( )a(x a)(b a)b a b af(a)dx f(a)(bf (b)dx f (a)(b12b)dx -(b a)2a)a)f (),(a,b)ab1f(x)f(-2-),滿足可以驗(yàn)證所給公式具有1次代數(shù)精度。作一次多項(xiàng)式 H(x)H 心”),a

2、b a b 口., H(.) f (亍)，則有f(x) H(x) 2! f ()(x arb)2,(a,b)于是2.考察下列求積公式具有幾次代數(shù)精度:1,10 f (x)dx f(0) 2 f (1)；(2)1 .1 f (x)dx f (心。解:(1)當(dāng) f (x)1時(shí)，左=1,右=1+0=1,左二右;當(dāng) f (x)當(dāng) f(x)r,1,11,x時(shí)，左一，右=0,左二右;22221x2時(shí)，左=一,右=1,左右，代數(shù)精度為1。(2)當(dāng)f(x)1時(shí)，左=2,右=2,左=右;當(dāng) f (x)x時(shí)，左=0,右二(1)133 30,左=右;當(dāng)f (x) x2時(shí)，左2，右|,左二右;當(dāng) f (x)x3時(shí)，左

3、0,右(；)3 (；)30,左二右;3. 3當(dāng) f(x)x4時(shí)，左|，右(1)2(1)2|，左右。代數(shù)精度為3。3.確定下列公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其代數(shù)精度的次數(shù)。1 ,11f(x)dx-f(1)2f()3f()；3bf(x)dxf(a)f(b)a(ba)2f(a)f(b)；b21(3)1f(x)dxa0f(1)a1f(0)a2f(1)。，1，解：(1)當(dāng)f(x)1時(shí)，左2,右(123)2,左=右；3,1-當(dāng)f(x)x時(shí)，左0,右1(123),3當(dāng)f(x)x2時(shí)，左2,右1(12232)；33要使所給求積公式至少具有2次代數(shù)精度當(dāng)且僅當(dāng)、滿足1_6 1.61,25551，

4、23 131佝126515求積公式(1)：11f (x)dx 3161 2 6f(1) 2 3f(5 217)求積公式(2):1 .1f (x)dx13 f(1)2f(一)53f(5 等)(B)當(dāng)f(x)X3時(shí)，(A)的左端為1。(A)的右端112(1二&)33(1交6)3135515(B)的右端112(L6)33(12但)3135515(A)和(B)的代數(shù)精度均為2。b一ba一一2一一(2) f(x)dxkf(a)f(b)(ba)2f(a)f(b)a2ba當(dāng)f(x)1時(shí)，左ba,右(11)ba,122,ba122當(dāng)f(x)x時(shí)，左一(ba),右ab-(ba)222當(dāng)f(x)x2時(shí)，左1(b3

5、a3),ba22-右(a2b2)(ba)(a2b)要使求積公式具有2次代數(shù)精度，當(dāng)且僅當(dāng)b3144當(dāng)f(x)x3時(shí)，左xdx一(ba),b a13 右 a2a4312一2一2b/ba)3a3bb11當(dāng)f(x)x4時(shí)，左x4dx(b5a5),b5的系數(shù)。a55右a4b4-1(ba)2(4a34b3),212其中b5的系數(shù)(4)1 一一 -。因而代數(shù)精度為35.設(shè)函數(shù)f(x)由下表給出:x1.61.82.02.22.42.6f(x)x4.9536.0507.3899.02511.02313.4642.83.03.23.43.63.8f(x)解：x116.44520.08624.53329.9643

6、6.59844.701.82.02.22.42.62.83.03.23.4f(x)(1)復(fù)6.0507.3899.02511.02313.46416.44520.08624.53329.964化梯形公式h0.2,xi1.8ih,i0,1,2,8(2) h0.4(3) Romberg算法7.試用復(fù)化梯開公式計(jì)算曲線f(x)tanx在區(qū)間0,一上這一段的弧長(zhǎng)，取41 103。21解：f(x)tanx,f(x)cos2x01683_16411.280841.415921.429861.459251.50746232所求弧長(zhǎng)為T321.278819,利用積分-dxln4計(jì)算ln4時(shí)，若米用復(fù)化梯形公式

7、，問應(yīng)取多少節(jié)2x點(diǎn)才能使其誤差絕對(duì)值不超過1105。21 .1.2解：a2,b8,f(x)f(x)-2,f(x)2 x2x3:f(x)dxTn(f)Yf()h2，(2,8)要使只要取 n 949答：取950個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，則有方法2 I(f) Tn(f)11211f(x)dx Tn(a) f (b) h2108242一8110.用 Romberg 方法求 dx2x，一 ,1要求誤差不超過-210從所取節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與上題結(jié)果比較中體會(huì)這2種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。解：將區(qū)間2,8作16等分,2,2+31922f(x)12408f(x)實(shí)際上821625T，38288，318343788，19434688，88888822252831343749525558616488888840，2,X，X852,585,53412.用3點(diǎn)Gauss-Legendre公式求I0exdx1x解：0edxt)三點(diǎn)Gauss公式21.根據(jù)下列f(x)tanx的數(shù)值表:x1.201.241.281.321.36f(x)2.572152.911933.341353.903354.67344解：f(x)tanx,2tan