整式的概念知識講解

1、整式的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握單項式系數(shù)及次數(shù)的概念；2. 理解多項式的次數(shù)及多項式的項、常數(shù)項及次數(shù)的概念；3掌握整式的概念，會判斷一個代數(shù)式是否為整式；4. 能準(zhǔn)確而熟練地列式子表示一些數(shù)量關(guān)系【要點梳理】要點一、單項式1.單項式的概念：如2xy2 ， 1 mn ，-1，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項式，單獨的一個3數(shù)或一個字母也是單項式要點詮釋： （ 1）單項式包括三種類型：數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；單獨的一個數(shù)；單獨的一個字母（ 2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算如： st 可以寫成1 st 。但若分母中含有字母，22如 5 就不是單項式，因為它無

2、法寫成數(shù)字與字母的乘積m2.單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)要點詮釋： （ 1）確定單項式的系數(shù)時，最好先將單項式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)；（ 2）圓周率 是常數(shù)單項式中出現(xiàn)時，應(yīng)看作系數(shù)；（ 3）當(dāng)一個單項式的系數(shù)是1 或 -1 時，“ 1”通常省略不寫；（ 4）單項式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如：1 1 x2 y 寫成5 x2 y 443.單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)要點詮釋： 單項式的次數(shù)是計算單項式中所有字母的指數(shù)和得到的，計算時要注意以下兩點：（ 1）沒有寫指數(shù)的字母，實際上其指數(shù)是1，計算時不能將其遺漏

3、；（ 2）不能將數(shù)字的指數(shù)一同計算要點二、多項式1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式要點詮釋： “幾個”是指兩個或兩個以上2. 多項式的項： 每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項要點詮釋： （ 1）多項式的每一項包括它前面的符號（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：6x2 2x 7是一個三項式3. 多項式的次數(shù)： 多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)要點詮釋： （ 1）多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和，而是多項式中次數(shù)最高的單項式的次數(shù)（ 2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應(yīng)寫出要點三、 整式單項式與多項式統(tǒng)稱為整式要點詮釋： （ 1）

4、單項式、多項式、整式這三者之間的關(guān)系如圖所示即單項式、多項式必是整式，但反過來就不一定成立（ 2）分母中含有字母的式子一定不是整式【典型例題】類型一、整式概念辨析1指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？x2y2 ，x ， a3b ， 10， 6xy 1， 1 ， 1 m2n ， 2x2x5 ，2， a7x7x2x【答案與解析】單項式有：x ， 10， 1 m2n ， a7 ；7多項式有：x2y2， a b ， 6xy 1， 2x2x5；3整式有： x2y2 ，x ， ab ， 10， 6xy1， 1m2n ，2x2x5 ， a7 37【總結(jié)升華】2不是整式， 因為分母中含有字母

5、；a212 也不是多項式， 因為1不是單項式x2xaa舉一反三：【變式】下列代數(shù)式： 1; 2a ; 1 ab3; xy ; 2x1 ; x2 y2 - 2x3 yy3 ，其中是單32x項式的是 _ ，是多項式的是_ .【答案】 ，類型二、單項式2指出下列代數(shù)式中的單項式，并寫出各單項式的系數(shù)和次數(shù)3a2 b ，a ， 24 x4 ， a ， 3 a2 y2 ， a- 3， - 5 ， -3 108 tm 2 ， x2 y4mn3【答案與解析】3a2b ，a ， 24 x4 ， 3a2 y2 ， -5， -3108 tm2， x2 y 是單項式，其中433a 2b 的系數(shù)是3，次數(shù)是3；a 的

6、系數(shù)是 - 1，次數(shù)是 1； 24 x4的系數(shù)是 24，次數(shù)是4；443a2 y2的系數(shù)是3 ，次數(shù)是4；5為非零常數(shù)，只有數(shù)字因式，系數(shù)是它本身，次數(shù)為0；3-3108 tm2 的系數(shù)仍按科學(xué)記數(shù)法表示為- 3× 108，次數(shù)是 3；x2 y 只含有字母因數(shù)，系數(shù)是l ，次數(shù)為字母指數(shù)之和為3【總結(jié)升華】 （ 1）要區(qū)分?jǐn)?shù)字因數(shù)、字母因數(shù)；（2）不能見了指數(shù)就相加，如24 x4 中， 24 的指數(shù) 4不能相加，次數(shù)為4；（ 3）有分?jǐn)?shù)線的，分子、分母的數(shù)字都是系數(shù)；（4）是常數(shù)，不能看作字母舉一反三：【變式 1】單項式3x2y3 的系數(shù)是【答案】 3【變式 2】下列結(jié)論正確的是()

7、 A 沒有加減運算的代數(shù)式叫做單項式B單項式3xy 2 的系數(shù)是 3，次數(shù)是 27C單項式m 既沒有系數(shù)，也沒有次數(shù)D單項式xy2 z的系數(shù)是 - 1，次數(shù)是 4【答案】 D類型三、多項式3.多項式4 x2 y2 x4 y2x1 ，這個多項式的最高次項是什么？一次項的系數(shù)是什么？常數(shù)53項是什么？這是幾次幾項式?【答案與解析】 這個多項式中共有四項，分別為：4 x2 y, 2 x4 y 2 ,x,1 ，它們的次數(shù)分別為：3,6,1,0 ；其中 2 x4 y2 的次數(shù)是536，是最高次項，一次項x 的系數(shù)是 - 1，常數(shù)項是1，它是六次四項式3【總結(jié)升華】 確定多項式的次數(shù)時，分兩步：（1）先求

8、多項式中每一項的次數(shù)；（2）取這些次數(shù)中的最大的數(shù)即為多項式的次數(shù)4. 已知多項式6xy27x3m 1 y24x3yx2 y5 3( 1) 求多項式各項的系數(shù)和次數(shù)( 2) 如果多項式是七次五項式，求m 的值【答案與解析】 ( 1) 依題意知此多項式是五項式，第一項6xy2 的系數(shù)是 - 6，次數(shù)是3；第二項7x3m 1 y2的系數(shù)是 - 7，次數(shù)是3m+1 ；第三項4x3 y 的系數(shù)是4，次數(shù)是 4；第四項x2 y 系數(shù)是 - l，次數(shù) 3；第五項 - 5 系數(shù)是 - 5，次數(shù)是 033( 2) 由多項式是七次五項式，可得7x3m1 y2 的次數(shù)是 7，即 3m- 1+2 7，解得 m 2【

9、總結(jié)升華】 對于單項式7x3m 1 y2的次數(shù)為3m+1 的認(rèn)識會不太習(xí)慣，通過適量的練習(xí)，會對用字母表示多項式的次數(shù)或系數(shù)有較深地認(rèn)識舉一反三：【變式】多項式a4 x3xbxb 是關(guān)于 x 的二次三項式，求a 與 b 的差的相反數(shù)【答案】類型四、整式的應(yīng)用5. 用整式填空：( 1) 某商場將一種商品元，那么該商品的進價為A 按標(biāo)價的9 折出售 ( 即優(yōu)惠 10% )_ 元 ( 列出式子即可，不用化簡仍可獲利) 10%，若商場商品A 的標(biāo)價為a為b( 2) 甲商品的進價為 1400 元，若標(biāo)價為 a 元，按標(biāo)價的 9 折出售；乙商品的進價是 400 元，若標(biāo)價元，按標(biāo)價的 8 折出售，列式表示

10、兩種商品的利潤率分別為甲： _ 乙： _ 【答案】 ( 1) 90% a； ( 2) 甲商品的利潤率為90%a 1400 × 100%，10%11400乙商品的利潤率為：80% b 400 × 100%400【解析】 本例屬于實際生活問題，應(yīng)分清“進價”、“標(biāo)價”、“利潤”、“利潤率”、“打折”等問題，打幾折就是標(biāo)價的十分之幾【總結(jié)升華】 解答本例需弄清以下兩個數(shù)量關(guān)系：(1)利潤售價進價 ; (2)利潤率 售價 -進價 進價舉一反三：【變式】（ 2014 秋 ?棲霞市期末）對下列代數(shù)式作出解釋，其中不正確的是（）A. a b：今年小明 b 歲，小明的爸爸a 歲，小明比他爸爸?。?a b）歲B. a b：今年小明 b 歲，小明的爸爸a 歲，則小明出生時，他爸爸為（a b）歲C. ab ：長方形的長為 acm，寬為 bcm，長方形的面積為 abcm2D. ab ：三角形的一邊長為 acm，這邊上的高為bcm，此三角形的面積為2abcm【答案】 D.6. （ 2015?重慶）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第個圖形中一共有 6 個小圓圈，第個圖形中一共有 9 個小圓圈，第個圖形中一共有 12 個小圓圈，按此規(guī)律排列，則第個圖形中小圓圈的個數(shù)為（ ）A. 21B. 24C.27D. 30【答案】B【解析】 觀察圖形得：第 1 個圖形有 3+3