信號處理教程_2012_24學(xué)時(shí)_第2章

1、電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第1頁頁HIT_Prof. Liu X.S.第第2章章 傅里葉級數(shù)與傅里葉變換傅里葉級數(shù)與傅里葉變換哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程系專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第2頁頁HIT_Prof. Liu X.S.高等工科數(shù)學(xué)中學(xué)過高等工科數(shù)學(xué)中學(xué)過傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)及傅里葉及傅里葉變換，二者應(yīng)用對象有什么不同？變換，二者應(yīng)用對象有什么不同？傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的物理意義在電與傅里葉變換的物理意義在電氣工程領(lǐng)域是什么？氣工程領(lǐng)域是什么？為什么對信號進(jìn)行頻域分析？為什

2、么對信號進(jìn)行頻域分析？將信號表示為不同頻率正弦分量的組合的將信號表示為不同頻率正弦分量的組合的意義意義?電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第3頁頁HIT_Prof. Liu X.S.02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)2.1 信號的頻率成分表示法信號的頻率成分表示法有限項(xiàng)正弦波疊加的連續(xù)時(shí)間信號有限項(xiàng)正弦波疊加的連續(xù)時(shí)間信號02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (

3、sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFreq

4、uency (rad/sec)02468101214161820-4-2024Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)A1=0.5，A2=1，A3=0A1=1，A2=0.5，A3=0A1=1，A2=1，A3=0A1=0.5，A2=1，A3=0.5A1=1，A2=0.5，A3=0.5A1=1，A2=1，A3=1ttAtAtAtx),2/8cos()3/4cos(cos)(321電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第4頁頁HIT_Prof. Liu X.S.2.1 信號

5、的頻率成分表示法信號的頻率成分表示法時(shí)域信號與幅度譜時(shí)域信號與幅度譜02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-4-2024Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/

6、sec)A1=0.5，A2=1，A3=0.5A1=1，A2=0.5，A3=0.5A1=1，A2=1，A3=102468101214161820-4-2024Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.51

7、1.5AnFrequency (rad/sec)2/8cos()3/4cos(cos)(321tAtAtAtx電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第5頁頁HIT_Prof. Liu X.S.時(shí)域分析與頻域分析的時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)鍵不同點(diǎn)關(guān)鍵不同點(diǎn)時(shí)域分析時(shí)域分析是想辦法將信號分解為單位沖激函數(shù)的移是想辦法將信號分解為單位沖激函數(shù)的移位加權(quán)和；只討論系統(tǒng)對單位沖激函數(shù)的響應(yīng)。位加權(quán)和；只討論系統(tǒng)對單位沖激函數(shù)的響應(yīng)。頻域分析頻域分析是想辦法將信號分解為不同頻率成分的單是想辦法將信號分解為不同頻率成分的單一正弦函數(shù)的某種方式和！只討論系統(tǒng)對一正弦函數(shù)的某種

8、方式和！只討論系統(tǒng)對sin(kt)的響應(yīng)。的響應(yīng)。 111111110limttf tf ttttf tttdt 1110sincosnnntnbtnaatf 110cosnnntncctf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第6頁頁HIT_Prof. Liu X.S.從信號分析的角度從信號分析的角度：將信號表示為不同頻率：將信號表示為不同頻率正弦信號的組合，為不同信號之間進(jìn)行比較正弦信號的組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了較好的途徑。提供了較好的途徑。從系統(tǒng)分析的角度從系統(tǒng)分析的角度：已知單頻正弦信號激勵：已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，利用疊加特性可求得

9、多個不同頻下的響應(yīng)，利用疊加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時(shí)激勵下的響應(yīng)，而且可以看率正弦信號同時(shí)激勵下的響應(yīng)，而且可以看出每個正弦頻率通過系統(tǒng)后的變化。出每個正弦頻率通過系統(tǒng)后的變化。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第7頁頁HIT_Prof. Liu X.S.設(shè)有設(shè)有n個函數(shù)個函數(shù) 在區(qū)間構(gòu)成一個正交函在區(qū)間構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)數(shù)空間。將任一函數(shù) 用這用這n個正交函數(shù)的線性組合來近個正交函數(shù)的線性組合來近似似，表示為，表示為 在這種近似表示中的在這種近似表示中的誤差誤差為為 平均平方誤差平均平方誤差為為 tttn,2121,tt tf

10、njjjnntCtCttCtf12211 tCtftejnjj1 dttCtfttdttettttnjjjttN2112212212111信號正交分解與最小均方誤差信號正交分解與最小均方誤差電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第8頁頁HIT_Prof. Liu X.S.信號得到最佳信號得到最佳的近似表示最好的準(zhǔn)則應(yīng)使為的近似表示最好的準(zhǔn)則應(yīng)使為最最小小，因此其必要的條件是，因此其必要的條件是 或或于是可求得于是可求得N njdtttfKdttdtttfCttjjttjttjj, 2 , 112121212201,2,NjjnC 21210ntjjtjjf

11、tCtdtC電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第9頁頁HIT_Prof. Liu X.S.當(dāng)按上式來當(dāng)按上式來選取系數(shù)選取系數(shù) 時(shí)，此時(shí)用正交信號函數(shù)集來時(shí)，此時(shí)用正交信號函數(shù)集來近似函數(shù)時(shí)的平方誤差為最小近似函數(shù)時(shí)的平方誤差為最小當(dāng)為零時(shí)當(dāng)為零時(shí)，便，便可精確地表示為可精確地表示為上式也就是上式也就是 的的廣義傅里葉級數(shù)廣義傅里葉級數(shù)的形式。的形式。 jC tf njjjttnjttjjnjttjjttttnjjjNKCdttfttdtttfCdttCdttfttdttctftt1222121122212211221212121211211N tf n

12、jjjnntCtCtCtCtf12211 tf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第10頁頁HIT_Prof. Liu X.S.結(jié)論結(jié)論:1. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，集合時(shí)，集合 是是(t1,t2)上上的正交完備集，也稱為的正交完備集，也稱為基函數(shù)或基信號基函數(shù)或基信號，也就是說，也就是說函數(shù)函數(shù)f(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1,t2)上上可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和之和；2. 一個信號或函數(shù)可以用各種各樣的完備正交信號集一個信號或函數(shù)可以用各種各樣的完備正交信號集來表示來表示(正弦、余弦、指數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式、雅克正弦、余弦、指數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式、雅克

13、比多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式、小波變換基函數(shù)比多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式、小波變換基函數(shù))。,0Nn 1,2,itin電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第11頁頁HIT_Prof. Liu X.S.傅里葉傅里葉法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家傅里葉傅里葉(J. Fourier，1768-1830)傅里葉分析傅里葉分析(Fourier Analysis)方法方法(頻域分析方法頻域分析方法1822) 傅里葉級數(shù)分析傅里葉級數(shù)分析(Fourier Series Analysis) (對對周期信號周期信號進(jìn)行頻域分析進(jìn)行頻域分析 )傅里葉變換分析傅里葉變換分析(Fourier Tr

14、ansform Analysis) (對對任意信號任意信號進(jìn)行頻域分析進(jìn)行頻域分析 )快速傅里葉變換快速傅里葉變換(FFT) 1.“傅里葉的論著是一部偉大的數(shù)學(xué)詩.” 麥克斯韋2.“對自然界的深入研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最豐富的源泉.”傅里葉 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第12頁頁HIT_Prof. Liu X.S. 周期信號周期信號：周期信號是定義：周期信號是定義在（在（-，）區(qū)間，每隔一）區(qū)間，每隔一定時(shí)間定時(shí)間T，按相同規(guī)律重復(fù)，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。變化的信號。 它可表示為它可表示為 mTtftf周期信號周期信號 式中式中m為任意整數(shù)。時(shí)間為任

15、意整數(shù)。時(shí)間T稱為該信號的重復(fù)周期，簡稱為該信號的重復(fù)周期，簡稱稱周期周期。周期的倒數(shù)稱為該。周期的倒數(shù)稱為該信號的信號的頻率頻率。 2.2 周期信號的三角形式傅里葉周期信號的三角形式傅里葉級數(shù)級數(shù)(FS) 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第13頁頁HIT_Prof. Liu X.S.由持續(xù)時(shí)間為一個周期的信號作周期性的延拓而形成的周期信號由持續(xù)時(shí)間為一個周期的信號作周期性的延拓而形成的周期信號周期信號特點(diǎn)周期信號特點(diǎn)： 它是一個無窮無盡變化的信號。它是一個無窮無盡變化的信號。 當(dāng)在一個周期內(nèi)的信號確定后，若將其移動當(dāng)在一個周期內(nèi)的信號確定后，若將其移

16、動T的整數(shù)倍，則的整數(shù)倍，則信號的波形保持不變，它也信號的波形保持不變，它也可看成為將一個在周期可看成為將一個在周期T內(nèi)所定內(nèi)所定義的信號作周期性的延拓而形成。義的信號作周期性的延拓而形成。 在一個周期在一個周期T內(nèi)的時(shí)間積分內(nèi)的時(shí)間積分是是不變不變的，且與的，且與T的的起始點(diǎn)的選起始點(diǎn)的選擇擇無關(guān)，即無關(guān)，即 aTbTabft dtft dt電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第14頁頁HIT_Prof. Liu X.S.2.2 周期信號的三角形式傅里葉周期信號的三角形式傅里葉級數(shù)級數(shù)(FS) 周期為周期為T1、角頻率為角頻率為 1=2 f1=2 /T1

17、，滿足狄義赫利條件的，滿足狄義赫利條件的周期周期函數(shù)函數(shù)f(t) )可展成可展成三角形式三角形式的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)( (Fourier series，F(xiàn)S) )為為: : NntdtntfTaTn,cos21011 1110sincosnnntnbtnaatf100101TttdttfTa NntdtntfTaTttn,cos210011 NntdtntfTbTttn,sin210011 NntdtntfTbTn,sin21011任意周期積分！任意周期積分！ TdttfTa0101cossin22sin)2cos1 (21sin2ttf1sin)(假設(shè)：電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課

18、信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第15頁頁HIT_Prof. Liu X.S.必須滿足必須滿足Dirichlet條件：條件：一個周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的一個周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件條件 x(t)在任意周期上是絕對可積的：在任意周期上是絕對可積的：Taadttx )(x(t)在任意周期上存在有限個的最大值和最小值；在任意周期上存在有限個的最大值和最小值；x(t)在任意周期上存在有限個間斷點(diǎn)。在任意周期上存在有限個間斷點(diǎn)。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第16頁頁HIT_Prof. Liu X.S.若合并同頻率的正余弦項(xiàng)若合并同頻率的正余弦

19、項(xiàng) 110cosnnntncctf或或 110sinnnntnddtf000dcannnnndcasincosnnnnndcbcossin2222nnnnbadcnnnabarctannnnbaarctan 1110sincosnnntnbtnaatf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第17頁頁HIT_Prof. Liu X.S.實(shí)例：矩形脈沖序列實(shí)例：矩形脈沖序列 205 . 0025 . 102112112121dtdtdttxa , 2 , 1),2sin(21)cos()cos()cos(225 . 0025 . 120nnndttndttndt

20、tntxan , 2 , 1, 0)221)sin()sin()sin(225 . 0025 . 120nndttndttndttntxbnttnnntxoddnn 1),cos()2sin(1221)(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第18頁頁HIT_Prof. Liu X.S.Gibbs(吉布斯吉布斯)現(xiàn)象現(xiàn)象-3-2-10123-0.60.811.2Example 3.4, N = 9Time (sec)x9(t)-3-2-10123-0.60.811.2Example 3.4, N = 21Time (s

21、ec)x21(t)-3-2-10123-0.60.811.2Example 3.4, N = 45Time (sec)x45(t)-3-2-10123-0.60.811.2Example 3.4, N = 3Time (sec)x3(t)N=3N=9N=21N=45當(dāng)當(dāng)N趨近于無窮時(shí)，這時(shí)趨近于無窮時(shí)，這時(shí)9%的過沖也存在！此現(xiàn)象被稱為的過沖也存在！此現(xiàn)象被稱為Gibbs現(xiàn)象?，F(xiàn)象。根據(jù)根據(jù)Gibbs現(xiàn)象的結(jié)論，在現(xiàn)象的結(jié)論，在x(t)的不連續(xù)處，的不連續(xù)處，x(t)的傅里葉級數(shù)不等于的傅里葉級數(shù)不等于x(t), t+和和t-存在存在9%的過沖！的過沖！

22、ttkkktxNoddkkN1),cos()2sin(1221)(ttnnntxoddnn 1),cos()2sin(1221)(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第19頁頁HIT_Prof. Liu X.S.周期信號的傅里葉級數(shù)的周期信號的傅里葉級數(shù)的物理意義物理意義周期信號周期信號(包括有拐角的信號包括有拐角的信號)都可以表示成一系列都可以表示成一系列正弦函數(shù)正弦函數(shù)(信號信號)的的和和！正弦波是無限平滑的函數(shù)；正弦波是無限平滑的函數(shù)；無窮項(xiàng)求和是準(zhǔn)確表示某些函數(shù)的關(guān)鍵！無窮項(xiàng)求和是準(zhǔn)確表示某些函數(shù)的關(guān)鍵！電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技

23、術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第20頁頁HIT_Prof. Liu X.S.2. 3 復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)(FS) 由由歐拉歐拉公式，可直接由三角形式的傅里葉級數(shù)求公式，可直接由三角形式的傅里葉級數(shù)求復(fù)指數(shù)復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)形式的傅里葉級數(shù)： 一般一般Fn為復(fù)數(shù)，稱為為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)傅里葉級數(shù)系數(shù)復(fù)傅里葉級數(shù)系數(shù)(Complex Fourier Series Coefficients)復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)和和三角形式的傅里葉級數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù)是同一是同一個函數(shù)的兩種不同表示方式，只是采用的數(shù)域不同。個函數(shù)的兩種不同表示方式，只是采用的數(shù)域

24、不同。 teFtfntjnn,1 ZnetfTetfTdtetfTFTttTTTtjntjntjnn,)(1)(11100100002/2/111, 2 , 1),(21),(21,00njbaFjbaFaFnnnnnntjtetjsincos 1110sincosnnntnbtnaatf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第21頁頁HIT_Prof. Liu X.S. nnnnntjnnnntjnnnntjnnnntjnnnntjnnntjnnnntjntjnntjntjnnnnnbbaaejbaejbaaejbaejbaaejjbaejbaajeebe

25、eaatnbtnaatf,22222222sincos110110101011101111111111歐拉公式單邊單邊 雙邊雙邊 teFtfntjnn,1, 2, 1, 0),(21njbaFnnn電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第22頁頁HIT_Prof. Liu X.S.為什么傅里葉變換會有負(fù)的頻譜呢？為什么傅里葉變換會有負(fù)的頻譜呢？對比：對比：給定周期信號的給定周期信號的三角傅里葉級數(shù)三角傅里葉級數(shù)形式和它的形式和它的指數(shù)指數(shù)形式形式 110cosnnntncctf teFtfntjnn,12222nnnnbadc ZndtetfTFTtjnn,

26、11101幅度譜是系數(shù)幅度譜是系數(shù)Fn的模隨的模隨變化的曲線，變化的曲線，n=0，1 1，2 2，, 2 , 1,nFFnn幅度譜是偶函數(shù)！幅度譜是偶函數(shù)！, 2 , 1,)(nFFnn相位譜是奇函數(shù)！相位譜是奇函數(shù)！Cn表示的是單邊譜！表示的是單邊譜！Cn是單邊譜！是單邊譜！Fn是雙邊譜！是雙邊譜！電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第23頁頁HIT_Prof. Liu X.S.（1） 為為偶函數(shù)偶函數(shù)即即偶信號的傅氏級數(shù)不含正弦項(xiàng)，只含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng)偶信號的傅氏級數(shù)不含正弦項(xiàng)，只含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng) tf , 2 , 1 , 00cos4200nbdttn

27、tfTanTn, 2 , 1 , 0arctannmmabaAnnnnn為整數(shù)函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 ( )ftf t電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第24頁頁HIT_Prof. Liu X.S.（2）為）為奇函數(shù)奇函數(shù) 即即奇信號的傅氏級數(shù)不含余弦項(xiàng)，只含正弦項(xiàng)和直流項(xiàng)奇信號的傅氏級數(shù)不含余弦項(xiàng)，只含正弦項(xiàng)和直流項(xiàng) , 2 , 10sin4200nadttntfTbnTn tftf tf, 2 , 1212nmmbAnnn為整數(shù) 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第25頁頁

28、HIT_Prof. Liu X.S.注意：注意：任意函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分任意函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即，即 式中式中 表示表示奇函數(shù)部分奇函數(shù)部分， 表示表示偶函數(shù)部分偶函數(shù)部分。有有 tftftfevod tfod tfev 22tftftftftftfevod電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第26頁頁HIT_Prof. Liu X.S.（3） 為為奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)（半波像對稱信號半波像對稱信號）如果函數(shù)如果函數(shù) 的的前半周期波形移動前半周期波形移動T/2 后后，與，與后半周期波形后半周期波形對稱于橫軸對稱于橫軸，即滿足，即

29、滿足 則這種函數(shù)稱為半波對稱函數(shù)，則這種函數(shù)稱為半波對稱函數(shù)，或稱為或稱為奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)。在這種情況下，其傅里級數(shù)在這種情況下，其傅里級數(shù)展開式中將展開式中將只含有奇次諧波只含有奇次諧波分量而不含偶次諧波分量分量而不含偶次諧波分量，即有：即有： tf tf 2Ttftf0642420bbbaaa電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第27頁頁HIT_Prof. Liu X.S.（4）半波重疊信號半波重疊信號:就是其就是其波形平移半個周期后波形平移半個周期后所得出的波形所得出的波形與原波形重合與原波形重合的信的信號，此時(shí)，其傅里葉級數(shù)展開式中將號，此時(shí)，其傅

30、里葉級數(shù)展開式中將只含有偶次諧波分量而只含有偶次諧波分量而不含奇次諧波分量不含奇次諧波分量，故它被稱之為，故它被稱之為偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)。即。即0531531bbbaaa電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第28頁頁HIT_Prof. Liu X.S.Parseval定理定理以以T為周期的周期信號為周期的周期信號x(t)的平均功率定義為：的平均功率定義為：2/2/2)(1TTdttxTP周期信號周期信號x(t)的傅里葉級數(shù)為：的傅里葉級數(shù)為： 110cosnnntncctx2nncP該周期信號該周期信號x(t)的平均功率還可以表示為：的平均功率還可以表示為：

31、電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第29頁頁HIT_Prof. Liu X.S.歐拉 簡介Leonhard Euler 公元公元1707-1783年：出生在年：出生在瑞士瑞士的巴塞爾（的巴塞爾（Basel）城）城13歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到當(dāng)時(shí)最有名的數(shù)學(xué)家歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到當(dāng)時(shí)最有名的數(shù)學(xué)家約翰約翰伯努利伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指導(dǎo)年）的精心指導(dǎo).他從他從19歲開始發(fā)表論文，直到歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個多世紀(jì)寫下了浩如煙海的書籍和歲，半個多世紀(jì)寫下了浩如煙海的書籍和論文論文 歐拉是科學(xué)史上

32、最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，據(jù)統(tǒng)計(jì)他那不倦的一生，共歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，據(jù)統(tǒng)計(jì)他那不倦的一生，共寫下了寫下了886本書籍和論文本書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占，幾何占18%，物理和力學(xué)占物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年四十七年 歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成

33、論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩他那頑強(qiáng)的毅力常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩他那頑強(qiáng)的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，使他在雙目失明以后，和孜孜不倦的治學(xué)精神，使他在雙目失明以后， 也沒有停止對數(shù)學(xué)的研也沒有停止對數(shù)學(xué)的研究，在失明后的究，在失明后的17年間年間，他還口述了幾本書和，他還口述了幾本書和400篇左右的論文篇左右的論文19世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯(Gauss，1777-1855年年)曾說：曾說：“研究歐拉的著作永研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法 歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號，例如歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號，例如(1736年年)，i(1777年

34、年)，e(1748年年)，sin和和cos(1748年年)，tg(1753年年)，x(1755年年)，(1755年年)，f(x)(1734年年)等等 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第30頁頁HIT_Prof. Liu X.S. 周期信號的傅里葉頻譜周期信號的傅里葉頻譜(FT) 例例2-1：脈沖寬度為：脈沖寬度為 ，脈沖幅度為，脈沖幅度為E，周期為周期為T1的矩形脈沖信號的矩形脈沖信號f(t),其波形如圖所示。求其合并其波形如圖所示。求其合并成余弦頻率項(xiàng)的傅里葉系數(shù)和成余弦頻率項(xiàng)的傅里葉系數(shù)和復(fù)指數(shù)形式的傅里葉系數(shù)。復(fù)指數(shù)形式的傅里葉系數(shù)。 解：該信號

35、為偶函數(shù)，三角形式的傅里葉級數(shù)無正弦項(xiàng)，只有直流和余弦解：該信號為偶函數(shù)，三角形式的傅里葉級數(shù)無正弦項(xiàng)，只有直流和余弦分量，為分量，為 110cosnntnaatf 12/2/12/2/101111TEEdtTdttfTaTT NnTnSaTEnSaTEnnTEnnTEntnTEtdtnETtdtntfTaTTn1111111111221112/2/112/2/112)2(222sin22sin22sin2cos2cos211 11011111coscos2nnntncctnTnSaTETEtf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第31頁頁HIT_Prof

36、. Liu X.S.cn是可正可負(fù)的，但根據(jù)是可正可負(fù)的，但根據(jù)cos()cos ，也可以把也可以把cn調(diào)節(jié)為非負(fù)的。調(diào)節(jié)為非負(fù)的。 0arctan,211100nnnnnabNnTnSaTEacTEacnnnnnnnnnnncutncctncctnctnc1111cos0,cos0,coscos電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第32頁頁HIT_Prof. Liu X.S.NnTnSaTEcn ,2110,2212,0,122, 01111kTknTkkTknkTn 110cosnnntncctf22T0011Tn1110TT22電氣工程系電氣工程系平

37、臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第33頁頁HIT_Prof. Liu X.S.11111) 12(2) 12(222TknkTTknkTkTnk11111)22() 12()22() 12(222TknTkTknTkkTnk電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第34頁頁HIT_Prof. Liu X.S.討討 論論譜線的間距為譜線的間距為1。不變，不變，T 越大，譜線的間距越小；當(dāng)越大，譜線的間距越?。划?dāng)T時(shí)，信號由周期變?yōu)闀r(shí)，信號由周期變?yōu)榉侵芷诘?，頻譜變成連續(xù)的。幅度則隨非周期的，頻譜變成連續(xù)的。幅度則隨T T的增大而減小。的增大而

38、減小。T T 不變，不變，變小時(shí)，基頻不變，則譜線的間距不變。隨變小時(shí)，基頻不變，則譜線的間距不變。隨的減小，的減小，相鄰零點(diǎn)的間距相鄰零點(diǎn)的間距(2k/)變大，其間的譜線數(shù)增多，即包含的頻率變大，其間的譜線數(shù)增多，即包含的頻率分量增多。但譜線幅度減小分量增多。但譜線幅度減小(信號能量是一定的，隨譜線的增多，信號能量是一定的，隨譜線的增多，每條譜線的幅度相應(yīng)必然減小每條譜線的幅度相應(yīng)必然減小)。Fn原則上從原則上從-到到+，但其包絡(luò)以，但其包絡(luò)以1/x的速度衰減。信號的能量主的速度衰減。信號的能量主要集中在第一個零點(diǎn)以內(nèi)。第一個零點(diǎn)以內(nèi)所包含的頻率分量稱要集中在第一個零點(diǎn)以內(nèi)。第一個零點(diǎn)以內(nèi)所

39、包含的頻率分量稱為脈沖信號的頻帶。為脈沖信號的頻帶。Fn所代表的幅度是該頻率分量的平均能量。信號的平均功率為：所代表的幅度是該頻率分量的平均能量。信號的平均功率為：22/2/22)(1)(nTTFdttfTtfpkTn1112T電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第35頁頁HIT_Prof. Liu X.S.根據(jù)前面結(jié)果，可進(jìn)一步得出復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)為：根據(jù)前面結(jié)果，可進(jìn)一步得出復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)為：100TEaF0,211 nTnSaTEjbaFnnnnnjnFjnneFeFFargZnTnSaTEFn ,11ZkTknTkZkTknk

40、TFnn,2212,122, 0arg1111電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第36頁頁HIT_Prof. Liu X.S.稱稱Fn為信號的為信號的傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)頻譜傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)頻譜(FS Complex Spetrum)，簡稱簡稱傅里葉級數(shù)頻譜傅里葉級數(shù)頻譜或或FS(頻頻)譜譜；傅里葉級數(shù)頻譜的幅度傅里葉級數(shù)頻譜的幅度|Fn|稱為稱為傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)幅度頻譜傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)幅度頻譜(magnitude spectrum)，簡稱簡稱FS幅度幅度(頻頻)譜譜。相位相位 n稱為稱為傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)相位頻譜傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)相位頻譜(phase spectrum)，

41、簡簡稱稱FS相位相位(頻頻)譜譜。如果把周期信號的如果把周期信號的FS頻譜看成是角頻率頻譜看成是角頻率 (或頻率或頻率f)的函數(shù)的的函數(shù)的話，那么該函數(shù)僅在一些離散點(diǎn)角頻率話，那么該函數(shù)僅在一些離散點(diǎn)角頻率n 1(或頻率或頻率nf1)上有值上有值，為此，也稱之為，為此，也稱之為傅里葉離散譜傅里葉離散譜(Fourier discrete spectrum)，離散間隔就是離散間隔就是 1=2 /T1。在在FS譜圖中把表示相應(yīng)的頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散譜圖中把表示相應(yīng)的頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散線段分別稱為線段分別稱為譜線譜線、幅度譜線幅度譜線和和相位譜線相位譜線，它們分別表示了，它們分別

42、表示了FS頻譜的值、幅度和相位；頻譜的值、幅度和相位；連接這些譜線頂點(diǎn)的虛曲線稱為連接這些譜線頂點(diǎn)的虛曲線稱為包絡(luò)線包絡(luò)線，反映了各諧波處，反映了各諧波處FS頻譜、幅度譜和相位譜隨分量的變化情況。頻譜、幅度譜和相位譜隨分量的變化情況。 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第37頁頁HIT_Prof. Liu X.S.有時(shí)有時(shí)cn也被稱為也被稱為FS頻譜頻譜，不過為與復(fù)數(shù)頻譜，不過為與復(fù)數(shù)頻譜Fn區(qū)別開來，稱區(qū)別開來，稱前者前者cn為為單邊單邊(頻頻)譜譜，后者，后者Fn為為雙邊雙邊(頻頻)譜譜。事實(shí)上，事實(shí)上，單邊頻譜單邊頻譜表示了信號在諧波處的實(shí)際分量大

43、小；表示了信號在諧波處的實(shí)際分量大小；雙雙邊頻譜邊頻譜中的負(fù)頻率項(xiàng)在實(shí)際中是不存在的。中的負(fù)頻率項(xiàng)在實(shí)際中是不存在的。定義定義02 / 為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度(band width)，簡簡稱稱帶寬帶寬。 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第38頁頁HIT_Prof. Liu X.S.取樣（抽樣）函數(shù)取樣（抽樣）函數(shù) ，它在通信理論中應(yīng)用很多，它在通信理論中應(yīng)用很多，是一個重要函數(shù)。該函數(shù)具有以下是一個重要函數(shù)。該函數(shù)具有以下特點(diǎn)特點(diǎn)： 是是偶函數(shù)偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是以為振幅的當(dāng)時(shí)，是以為振幅的“正弦函數(shù)正弦函數(shù)”，因而對于因

44、而對于x的正負(fù)兩半軸的正負(fù)兩半軸都為都為衰減的正弦振蕩衰減的正弦振蕩；在處，即，在處，即，而在處，有；而在處，有； xxxSasin xSa0 x 1xSax1, 3 , 2 , 1nnx0sinx 0 xSa0 x1sinlim0 xxx dxxSadxxSa,20電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第39頁頁HIT_Prof. Liu X.S.因此，的圖形與因此，的圖形與 的曲線的曲線相似相似。n n只能取只能取0 0、1 12 2、，的頻譜圖形是圖中虛線上，的頻譜圖形是圖中虛線上的的離散值離散值，虛線稱為頻譜的包絡(luò)線，虛線稱為頻譜的包絡(luò)線，頻譜可以看

45、成是頻譜可以看成是對包絡(luò)線的離散抽樣對包絡(luò)線的離散抽樣。 則周期矩形脈沖的傅里葉復(fù)系數(shù)可改寫為則周期矩形脈沖的傅里葉復(fù)系數(shù)可改寫為222sin000nSaTAnnTAFnnFnF xSa電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第40頁頁HIT_Prof. Liu X.S.圖為上述矩形脈沖的圖為上述矩形脈沖的幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜。 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第41頁頁HIT_Prof. Liu X.S.信號的信號的重復(fù)周期重復(fù)周期T和和脈沖持續(xù)時(shí)間脈沖持續(xù)時(shí)間與與頻譜頻譜的關(guān)系的關(guān)系 （1） T不變，不變，

46、變化變化：當(dāng)保持周期：當(dāng)保持周期T不變，而將脈沖寬不變，而將脈沖寬減小減小，則，則頻譜的幅度頻譜的幅度隨之隨之減小減小，相鄰譜線的，相鄰譜線的間隔不間隔不變變，頻譜，頻譜包絡(luò)線過零點(diǎn)的頻率增高包絡(luò)線過零點(diǎn)的頻率增高，頻率分量增多頻率分量增多，頻，頻譜譜幅度的收斂速度幅度的收斂速度相應(yīng)相應(yīng)變慢變慢。 F F0 0=A=A/T/T1 1=2=2/T/T電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第42頁頁HIT_Prof. Liu X.S.（2）不變而周期不變而周期T不同不同： 隨著周期隨著周期T，頻譜幅度隨之頻譜幅度隨之，相鄰譜，相鄰譜線的間隔變小，譜線變密線的間隔

47、變小，譜線變密。但其。但其頻譜包絡(luò)線的頻譜包絡(luò)線的過零點(diǎn)所在位置不變過零點(diǎn)所在位置不變。如果。如果周期無限增長周期無限增長（變（變?yōu)榉侵芷谛盘枺?，此時(shí)，相鄰譜線的間隔將趨為非周期信號），此時(shí)，相鄰譜線的間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期非周期信號的連續(xù)頻譜信號的連續(xù)頻譜 。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第43頁頁HIT_Prof. Liu X.S.1.傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義 2.傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 3.典型非周期信號的傅里葉頻譜典型非周期信號的傅里葉頻譜 2.4 非周期信號的頻譜

48、分析非周期信號的頻譜分析傅里葉變換傅里葉變換電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第44頁頁HIT_Prof. Liu X.S.1. 傅里葉變換傅里葉變換(FT)的定義的定義 傅里葉變換傅里葉變換(Fourier Transform, FT)的定義是的定義是: dtetfFtjF( )存在的充分條件是存在的充分條件是f(t)滿足滿足絕對可積絕對可積(absolutely integrable)條件條件: dttf只是傅里葉變換的充分條件，并非必要條件。只是傅里葉變換的充分條件，并非必要條件。一些不滿足絕對可積條件的信號一些不滿足絕對可積條件的信號( (“表現(xiàn)

49、良好表現(xiàn)良好”) )同樣存在同樣存在傅里葉變換。傅里葉變換。 “表現(xiàn)良好表現(xiàn)良好”信號指信號在任何有限的時(shí)間段內(nèi)存信號指信號在任何有限的時(shí)間段內(nèi)存在有限的間斷點(diǎn)和最大、最小值。在有限的間斷點(diǎn)和最大、最小值。實(shí)際物理信號實(shí)際物理信號多為多為“表現(xiàn)良好表現(xiàn)良好”信號。信號。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第45頁頁HIT_Prof. Liu X.S.非周期信號相當(dāng)于周期信號的周期趨于無限大時(shí)的極限情非周期信號相當(dāng)于周期信號的周期趨于無限大時(shí)的極限情況。況。下面以周期信號的傅里葉級數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，分析傅里葉下面以周期信號的傅里葉級數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，分析傅里葉變換的物理

50、意義。變換的物理意義。 ntjnneFtf1 2/2/11111TTtjnndtetfTFT1時(shí)時(shí),由于由于f(t)滿足絕對可積條件滿足絕對可積條件, Fn0, 即傅里葉級數(shù)的譜線長即傅里葉級數(shù)的譜線長度為度為0；T1時(shí)時(shí), 各譜線的間隔各譜線的間隔 1=2 /T1 0 , 即離散的譜線變成頻率連續(xù)即離散的譜線變成頻率連續(xù)的函數(shù)。這導(dǎo)致非周期信號不可能有傅里葉級數(shù)形式。的函數(shù)。這導(dǎo)致非周期信號不可能有傅里葉級數(shù)形式。但是，但是，T1與與Fn的乘積是有限值，而且當(dāng)?shù)某朔e是有限值，而且當(dāng)T1時(shí)，時(shí)，n 1，則有：則有： dtetfdtetfFTtjTTtjnnT2/2/11111lim由于由于T1

51、Fn=Fn/f1，所以傅里葉變換所以傅里葉變換F( )實(shí)際表示的是實(shí)際表示的是單位頻單位頻率的頻譜率的頻譜，故也稱，故也稱F( )為信號為信號f(t)的的頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)(Spectrum Density Function)。 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第46頁頁HIT_Prof. Liu X.S.當(dāng)當(dāng)T時(shí)，時(shí)，1 1 d d，n n1 1，得，得dtetfFtj)()(deFtftj)(21)(傅里葉變換對傅里葉變換對電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第47頁頁HIT_Prof. Liu X.S.

52、實(shí)例：傅里葉變換實(shí)例：傅里葉變換求下面信號的幅度譜和相位譜。求下面信號的幅度譜和相位譜。)()(tuetxbt221)(bX0,11)()(220)(0bbjbjbejbdteedtetueXtttjbtjbttjbtbXarctan)(0510152025303540455000.050.1Example 3.8Frequency (rad/sec)|X|05101520253035404550-80-60-40-200Frequency (rad/sec)Angle(X), degrees0510152025303540455000.050.1Example 3.8Frequency (r

53、ad/sec)|X|05101520253035404550-80-60-40-200Frequency (rad/sec)Angle(X), degrees電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第48頁頁HIT_Prof. Liu X.S.傅里葉變換的直角和極坐標(biāo)表達(dá)式傅里葉變換的直角和極坐標(biāo)表達(dá)式f(t)的傅里葉變換：的傅里葉變換： dtetfFtj )()(sin)(cosjIRtdttfjtdttfF直角坐標(biāo)表達(dá)式：直角坐標(biāo)表達(dá)式：其中：其中： tdttfIsin tdttfRcos極坐標(biāo)表達(dá)式：極坐標(biāo)表達(dá)式：)()()(exp)()(FjeFFjF

54、F二者關(guān)系：二者關(guān)系：)()()(22IRF0)(,)()(arctan0)(,)()(arctan)(RRIRRIF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第49頁頁HIT_Prof. Liu X.S.逆傅里葉變換逆傅里葉變換(Inverse Fourier Transform, IFT)為為: deFtftj21稱稱f(t)與與F( )為一對為一對傅里葉變換對傅里葉變換對(FT Pair)，表示為表示為: Ftf信號的傅里葉變換信號的傅里葉變換F( )一般為復(fù)數(shù)一般為復(fù)數(shù)，可表示為，可表示為: jeFF F( ) 稱為信號的稱為信號的幅度頻譜密度函數(shù)幅度頻

55、譜密度函數(shù)，簡稱，簡稱幅度譜幅度譜(函數(shù)函數(shù))，表示信號的幅度密度隨頻率變化的幅頻特性；，表示信號的幅度密度隨頻率變化的幅頻特性； ( )=arg(F( )為信號的為信號的相位頻譜密度函數(shù)相位頻譜密度函數(shù)，簡稱，簡稱相位譜相位譜(函數(shù)函數(shù))，表示的是信號的相位隨頻率變化的相頻特性。，表示的是信號的相位隨頻率變化的相頻特性。傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的比較傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的比較 傅里葉級數(shù)分析傅里葉級數(shù)分析(FS)傅里葉變換分析傅里葉變換分析(FT)分析對象分析對象周期信號周期信號非周期信號非周期信號頻率定義域頻率定義域離散頻率，諧波頻率處離散頻率，諧波頻率處連續(xù)頻率，整個頻率軸連續(xù)頻率，整個

56、頻率軸函數(shù)值意義函數(shù)值意義頻率分量的數(shù)值頻率分量的數(shù)值頻率分量的密度值頻率分量的密度值電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第50頁頁HIT_Prof. Liu X.S.2. 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 線性性線性性(Linearity)包括兩方面含義：包括兩方面含義： 齊次性齊次性(Homogeneity Property)，即信號倍數(shù)的傅里葉即信號倍數(shù)的傅里葉變換等于信號傅里葉變換的倍數(shù)：變換等于信號傅里葉變換的倍數(shù)：疊加性疊加性(Additivity Property)，即和的傅里葉變換等于即和的傅里葉變換等于傅里葉變換的和：傅里葉變換的和： t

57、faFtafF tfFtfFtftfF2121或可以等價(jià)地用下式表示：線性組合的傅里葉變換等或可以等價(jià)地用下式表示：線性組合的傅里葉變換等于傅里葉變換的線性組合。于傅里葉變換的線性組合。 nnnnnntfFatfaF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第51頁頁HIT_Prof. Liu X.S.奇偶虛實(shí)性奇偶虛實(shí)性偶函數(shù)的傅里葉變換是偶函數(shù)：偶函數(shù)的傅里葉變換是偶函數(shù)：偶偶偶偶。 奇函數(shù)的傅里葉變換是奇函數(shù)：奇函數(shù)的傅里葉變換是奇函數(shù)：奇奇奇奇。 實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換是實(shí)偶函數(shù)：實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換是實(shí)偶函數(shù)：實(shí)偶實(shí)偶實(shí)偶實(shí)偶實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換是純虛奇

58、函數(shù)：實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換是純虛奇函數(shù)：實(shí)奇實(shí)奇純純虛奇虛奇。 信號有惟一確定的偶分量和惟一確定的奇分量可信號有惟一確定的偶分量和惟一確定的奇分量可得：得：實(shí)實(shí) 實(shí)偶實(shí)偶 實(shí)奇實(shí)奇實(shí)偶實(shí)偶 j實(shí)奇實(shí)奇。()()()( )()()( )( )jtjtj sFf t edtft edtf s edsF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第52頁頁HIT_Prof. Liu X.S.奇偶特性奇偶特性（1）偶信號的頻譜是偶函數(shù)，奇信號的頻譜是奇函數(shù)偶信號的頻譜是偶函數(shù)，奇信號的頻譜是奇函數(shù)證明證明: 由于由于若若 ，則則 j tFf t edt ftf t )(F

59、dtetfdefdefdtetfFtjjjttj電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第53頁頁HIT_Prof. Liu X.S.2）實(shí)信號的頻譜是共軛對稱函數(shù)實(shí)信號的頻譜是共軛對稱函數(shù) 即其實(shí)部是偶函數(shù)、虛部是奇函數(shù)，或其幅度頻譜是偶函即其實(shí)部是偶函數(shù)、虛部是奇函數(shù)，或其幅度頻譜是偶函數(shù)，相位頻譜是奇函數(shù)。數(shù)，相位頻譜是奇函數(shù)。當(dāng)為實(shí)信號時(shí)，其頻譜為當(dāng)為實(shí)信號時(shí)，其頻譜為則有則有顯然，顯然， 是的偶函數(shù)，是的偶函數(shù)， 是的奇函是的奇函數(shù)，即數(shù)，即 。 tf jtjeFFjFtdttfjtdttfdtetfFImResincos tdttfFtdttfFs

60、inImcosRe FFarctgFFFReImImRe22 FF,Re ,Im F *FF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第第54頁頁HIT_Prof. Liu X.S.反褶和共軛性：反褶和共軛性：反褶的反褶的FT等于等于FT的反褶：的反褶： stj tjsjsjtFftft edtfs edsfs edsf t edtF共軛的共軛的FT等于等于FT的反褶并共軛：的反褶并共軛： FFdtetfdtdtetftdetfdtetftfFtjtjtjtj為實(shí)數(shù)反褶并共軛的反褶并共軛的FT等于等于FT的共軛：的共軛： FFtfF時(shí)域時(shí)域Ff(t)=F( )頻域