數(shù)學(xué)建模房價問題

1、題目：房價問題的數(shù)學(xué)建模摘要住房問題關(guān)系國計民生，既是經(jīng)濟(jì)問題，更是影響社會穩(wěn)定的重要民生問題。本文通過分析所查找的數(shù)據(jù)，建立了多項式擬合模型和時間序列模型，可以好好地預(yù)測出平均房價并得出一些關(guān)于房價的結(jié)論和建議。對于問題一，首先，我們查找相關(guān)資料及數(shù)據(jù)， 初步了解影響房價的幾個因素； 其次，我們利用 excel 表格，做出各個因素對房價的影響擬合曲線及曲線方程，并且得出對房價有影響的主要有人均可支配收入，人口密度，貸款利率（五年以上）和土地價格四個因素的結(jié)論，其中平均房價隨人均可支配收入的變化方程為：y3 E09 x130.0002 x122.3653 x11650；隨人口密度變化方程為：y

2、1 E05x 230.0741 x 22132.04 x68190； 隨著貸款利率的變化方程為：y110770 x365E06 x358 E07 x347 E 08 x334E09 x321E10 x1E 10；隨土地價格變動曲線方程為： y6E0.5x420.5801x2717.9對于問題二，用時間序列模型，根據(jù)所查找的數(shù)據(jù)分析得出上海平均房價隨時間變化的曲線方程為： y63.745 t3384012 t 28E 08t 5E 11 ，并由此預(yù)測出上海近兩年的平均房價；對于問題三、四、五，綜合前面的結(jié)論和觀點(diǎn)總結(jié)出自己的結(jié)論并給出合理的消費(fèi)投資建議。關(guān)鍵詞：平均房價、時間序列、 Excel

3、、多項式擬合一 問題重述眾所周知，社會的進(jìn)步和發(fā)展首先要解決人們的基本需求，而“住”則是基本需求之一；但是，為什么現(xiàn)實生活中“住”卻越來越困難了呢？特別是，近年來房價的急速上漲已經(jīng)成為籠罩在社會大眾心頭的巨大陰影，那么，這個問題是如何產(chǎn)生的？我們試著收集數(shù)據(jù)來討論影響房價的各種因素， 對國家制定調(diào)控政策和家庭合理消費(fèi)和投資給出相關(guān)的建議。請建立數(shù)學(xué)模型，解決問題：問題一：通過分析找出影響房價的主要原因，并建立一個城市房價的數(shù)學(xué)模型，對房價的形成、演化機(jī)理和房地產(chǎn)投機(jī)進(jìn)行深入細(xì)致的分析。問題二：選擇某一地區(qū)（如北京、上海、深圳），調(diào)查近些年（如2000 年至 2010 年）房價變化情況，并根據(jù)你

4、所調(diào)查的數(shù)據(jù)，預(yù)測下一階段（如 2010 年下半年或 2011 年）該地區(qū)房價的走勢。問題三：房價的變化也會影響“二手房”房價和出租房租金的變化，請研究同一地區(qū)“二手房”房價、租金與房價之間的關(guān)系。問題四：請根據(jù)國家和各地方政府的一系列調(diào)控房價的政策（如購房貸款政策等等）出臺的時間與房價的變化情況，分析這些政策對調(diào)控房價所起的作用。問題五：根據(jù)你所得到結(jié)果，給出你關(guān)于購房（新房或“二手房” ）或租房的一些建議。二 問題分析此題目旨在了解房價的波動， 分析影響房價的多種因素， 同時給出相關(guān)的合理建議。我們做出如下分析：1. 房價的波動與政治、經(jīng)濟(jì)、行政、社會、自然等因素有關(guān)并搜集了很多相關(guān)資料和

5、數(shù)據(jù)。2. 通過相關(guān)系數(shù)得出幾個因素的重要程度即權(quán)重。3. 正反對比矩陣進(jìn)行進(jìn)一步分析幾種因素。4. 運(yùn)用層次分析法給幾個因素并綜合參考文獻(xiàn)給出合理的結(jié)論和建議。三 問題假設(shè)1. 假設(shè)所有數(shù)據(jù)真實可靠。2. 假設(shè)除該文提到的政治、經(jīng)濟(jì)、行政、社會、自然等因素外，其他的因素對房價的影響非常小，可以忽略不計。四 符號說明符號含義y平均房價x1人均可支配收入x2人口密度x3貸款利率x4土地價格t時間五 模型的建立與求解1. 模型一的建立與求解1.1.基于時間分析源數(shù)據(jù)查找平均房價，人均可支配收入，人口密度，貸款利率和土地價格隨時間變化的數(shù)據(jù)，通過時間的關(guān)系建立平均放假與上述四種因素的關(guān)系。1.2 多

6、項式擬合模型的建立與求解依據(jù)影響屬性我們將因素分為人均可支配收入，人口密度，土地價格，貸款利率 4 大類。1）人均可支配收入影響特點(diǎn)利用 Excel 作圖描繪出人均可支配收入與平均房價變動散點(diǎn)圖，再進(jìn)行非線性擬合，得出如下所示圖表：圖一得出平均房價隨人均可支配收入變化的方程為：因為判定系數(shù) R20.9729 ，所以擬合程度好， 即平均房價隨人均可支配收入呈三次多項式模型，且平均房價隨著人均可支配收入的增長而增長。2）人口密度影響特點(diǎn)利用 Excel 作圖描繪出人口密度與平均房價變動散點(diǎn)圖，再進(jìn)行非線性擬合，得出如下所示圖表：圖二得出平均房價隨人口密度變化的方程為：因為判定系數(shù) R20.6769

7、0.5 ，擬合程度還可以。 從收集到的數(shù)據(jù)可以看出是從 2006 年至今，平均房價大致隨著人口密度的增長而增加，其趨勢如圖二所示，即正相關(guān)趨勢。3）貸款利率影響特點(diǎn)利用 Excel 作圖描繪出貸款利率與平均房價變動散點(diǎn)圖，再進(jìn)行非線性擬合，得出如下所示圖表：圖三得出平均房價隨貸款利率變化的方程為：因為判定系數(shù) R20.8544 ，所以擬合程度好。 但是該擬合達(dá)到了6 次多項式，且趨勢為：平均房價隨著貸款利率（五年以上）的增長而上漲。4）土地價格影響特點(diǎn)利用 Excel 作圖描繪出土地價格與平均房價變動散點(diǎn)圖，再進(jìn)行非線性擬合，得出如下所示圖表：圖四得出平均房價隨土地價格變化的方程為：因為判定系

8、數(shù) R20.9687 ，所以擬合程度好，也即是說明平均房價隨著土地價的上漲而上漲。1.3.基于所建模型得出各個影響因素對房價的具體影響：由上述平均房價隨著人均可支配收入，人口密度，貸款利率和土地價格變化的趨勢曲線方程和關(guān)系強(qiáng)度值R2 ，我們得出人均可支配收入，人口密度，貸款利率和土地價格這四種因素均對平均房價有影響， 其中人均可支配收入與平均房價擬合的關(guān)系強(qiáng)度值最大，由此我們認(rèn)為人均可支配收入對平均房價影響效果最強(qiáng)，具體表現(xiàn)為人均可支配收入越多，平均房價越高。而貸款利率（五年以上）每年的變化值不大，對平均房價雖有影響，但相對于其他三種影響因素影響效果不顯著。2模型二的建立與求解1）對 2013

9、 年上海平均房價進(jìn)行預(yù)測2.1.基于時間序列模型分析源數(shù)據(jù)在生產(chǎn)和科學(xué)研究中，對某一個或一組變量x(t) 進(jìn)行觀察測量，將在一系列時刻t1, t2t n (t 為自變量， 且 t1 t2t n ）按照時間次序排列， 并用于解釋變量和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。所得到的離散數(shù)字組成序列集合x(t1 ), x(t 2 )x(t n ) ，我們稱之為時間序列，這種有時間意義的序列也稱為動態(tài)數(shù)據(jù)。利用 Excel 作圖描繪出時間年份與上海平均房價變動散點(diǎn)圖，再進(jìn)行非線性擬合，得出如下所示圖表：圖五由此得到上海平均房價變化趨勢的方程為：y10.474 t 240810 t 4E 07 . 判定系數(shù) R20.8

10、917，也即是說明上海平均房價隨著時間的變化趨勢符合方程y 10.474t 240810 t 4E07 。所以在 2013 年，即 t2013 時，平均房價的預(yù)測值為： y 10.474 2013 24081020134E 07291888.106但跟實際所查數(shù)據(jù)相比差距甚大，故改用回歸分析進(jìn)行預(yù)測：Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差I(lǐng)ntercept-2509435.378332441.3068X Variable1254.832667165.55828291預(yù)測方程為： y 1254.832667 t2509435.378預(yù)測值 y1254.83266720132509435.3781654

11、2.78所以當(dāng) 2013 年時，平均房價預(yù)測值為16542.78元/ 平方米。當(dāng) 2014 年時，平均房價預(yù)測值為 y 1254.832667 2014 2509435.378 17797.612）對 2013 年上海二手房房價進(jìn)行預(yù)測利用 Excel 作圖描繪出時間年份與上海二手房房價變動散點(diǎn)圖，再進(jìn)行非線性擬合，得出如下所示圖表：圖六由此得到上海二手房房價變化趨勢的方程為：因為判定系數(shù) R20.932 ，所以擬合程度好，也即是說明上海二手房房價隨著時間的變化趨勢符合方程 y431.81t 22E06t2E093. 模型三的建立與求解3.1.基于時間分析源數(shù)據(jù)由上述時間序列模型建立出上海平均

12、房價和上海某一具體地區(qū)的二手房隨時間變化的擬合曲線，由時間關(guān)系得到平均房價與二手房房價的關(guān)系，建立多項式擬合。1）分析房價對二手房價格的影響：利用 Excel 作圖描繪出二手房房價與平均房價變動散點(diǎn)圖，再進(jìn)行非線性擬合，得出如下所示圖表：圖七得出上海二手房房價隨著平均房價變化的方程為：y0.0005t 29.2887t61962因為判定系數(shù) R20.8265 ，所以擬合程度好， 且二手房房價與平均房價呈二次關(guān)系，即上海平均房價的變化會影響二手房的房價，且二手房房價隨著平均房價的增長而增長。4. 問題四的求解：4.1 數(shù)據(jù)來源：為了研究政府出臺政策對平均房價的影響，我們選擇上海這一地區(qū)進(jìn)行分析。

13、經(jīng)上網(wǎng)查找數(shù)據(jù)的出上海在 2010 年出臺的政策日期及對應(yīng)時期的房價如下圖所示：日期上海房價2010 年 12 月246012010 年 11 月248002010 年 10 月245542010年 9月240072010年 8月236512010年 7月232152010年 6月239372010年 5月238092010年 4月237172010年 3月226602010年 2月226572010年 1月21742圖八4.2模型的建立與求解建立時間序列模型 ：圖九由此得到上海房價隨政府出臺政策變化趨勢的方程為：因為判定系數(shù) R20.8775 ，所以擬合程度好， 也即是說明政府出臺的政策會對

14、房價產(chǎn)生影響。5. 問題五的求解：1）關(guān)于房價調(diào)控的幾點(diǎn)建議首先，國家可以通過調(diào)控土地的價格來控制住房的價格。由我們所建模型解出，土地的價格對房價的影響較大，所以政府可以通過調(diào)控土地的價格進(jìn)而調(diào)控房價。但同時由于中國人口稠密，人均土地占有量小，所以雖然調(diào)控土地價格可以影響住房價格，但其實施性較差。其次，銀行可以調(diào)控五年以上的貸款利率（之所以選五年以上的貸款利率是因為購房還貸一般要五年以上） 。五年以上的貸款利率與房價正相關(guān)。所以在保證銀行的正常運(yùn)行的條件下，可以通過降低五年以上的貸款利率的方法使房價降低。2）關(guān)于家庭購房的幾點(diǎn)建議適度消費(fèi)，多樣投資。對于有購房需求的年輕家庭，消費(fèi)支出比例偏高，

15、建議在滿足基本生活支出的基礎(chǔ)上，適當(dāng)提高生活質(zhì)量，并適當(dāng)減少一些可以避免的消費(fèi)支出?？稍谀瓿踝龊眉彝ヘ攧?wù)計劃，養(yǎng)成做預(yù)算及記賬的習(xí)慣。此外，依據(jù)個人不同情況和年齡調(diào)整投資策略，實現(xiàn)穩(wěn)健策略和激進(jìn)策略在不同時期和不同情況下的有效運(yùn)用。 其實，房價一直居高不下，有購房需求的家庭應(yīng)居安思危。住房市場變幻莫測，唯有盡早及時準(zhǔn)備才是上策。六、模型的綜合評價模型優(yōu)點(diǎn)：模型一：基于最小二乘法的多項式擬合模型， 得出我國平均房價隨著人均可支配收入，人口密度，貸款利率（五年以上） ，土地價格的變化而變化的特點(diǎn)，并且建模過程簡單，準(zhǔn)確。模型二： 利用時間序列模型對上海平均房價的走勢做出分析并進(jìn)行預(yù)測，過程簡單。模

16、型三：四都與模型二用相同的時間序列模型方法， 分別就上海平均房價對二手房房價的影響和國家政策對平均房價的影響做出分析和判斷。模型缺點(diǎn)：對于所有模型，基于簡便的計算和簡單的理解，擬合的多項式大部分不超過三次，所以所有模型可以進(jìn)行更高次的擬合，分析預(yù)測出的結(jié)果會更準(zhǔn)確。參考文獻(xiàn)1賈俊平，何曉群，金勇進(jìn)，統(tǒng)計學(xué)，中國人民大學(xué)出版社，2012.32韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，200934附件：日期5 年以上貸款利率6.126.126.847.567.745.846.146.47.056.556.556.55日期地價20044438200555442006700020079145200810402200910785201013357201113473201213587201314688日期人均可支配收入20049421.6200510493200611759.5200713785.8200815780.8200917174.6201019109.4201120809.8201224564.7201326955201326955時間人口密度（人 / 平方千米）2004 年8652005 年870.22006 年2238.152007 年21042008 年20802009 年21472010 年22092011年22282012年23072013年