《信號(hào)與系統(tǒng)》實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書

1、信號(hào)與系統(tǒng)?實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書黃劍航 編莆田學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院2022年 3 月目錄實(shí)驗(yàn) 1MATLAB 在信號(hào)處理中的應(yīng)用根底 1實(shí)驗(yàn) 2 連續(xù)時(shí)間信號(hào)在 MATLAB 中的表示 6實(shí)驗(yàn) 3連續(xù)時(shí)間信號(hào)在 MATLAB 中的運(yùn)算 12實(shí)驗(yàn) 4傅里葉變換及其性質(zhì) 18實(shí)驗(yàn)5信號(hào)抽樣及抽樣定理 24實(shí)驗(yàn) 6連續(xù)時(shí)間 LTI 系統(tǒng)的時(shí)域分析 30、八 、-前言MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室Matrix Laboratory的簡(jiǎn)稱，它是美國(guó) MathWorks 公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件， 用于算法開發(fā)、 數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算 的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括 MATLAB 和 Simulink 兩

2、大局部。MATLAB 的根本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的 形式十分相似，故用 MATLAB 來(lái)解算問題要比用 C， FORTRAN 等語(yǔ)言完成相 同的事情簡(jiǎn)捷得多，并且 MathWorks 公司也吸收了像 Maple 等軟件的優(yōu)點(diǎn) ,使 MATLAB 成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。 MATLAB 可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和 數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)立用戶界面、連接其他編程語(yǔ)言的程序等，主要應(yīng)用于工程 計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析 等領(lǐng)域。MATLAB 在信號(hào)與系統(tǒng)中的應(yīng)用主要包括符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算仿真分析。 由于信號(hào)與系統(tǒng)課程的許多內(nèi)容都是

3、基于公式演算，而 MATLAB 借助符號(hào)數(shù)學(xué) 工具箱提供的符號(hào)運(yùn)算功能， 能根本滿足信號(hào)與系統(tǒng)課程的需要。 例如解微分方 程、傅立葉正反變換、拉普拉斯正反變換和 Z 正反變換等。 MATLAB 在信號(hào)與 系統(tǒng)中的另一主要應(yīng)用是數(shù)值計(jì)算與仿真分析， 主要包括函數(shù)波形繪制、 函數(shù)運(yùn) 算、沖激響應(yīng)仿真分析、信號(hào)的時(shí)域分析、信號(hào)的頻譜分析等內(nèi)容。數(shù)值計(jì)算仿 真分析可以幫助學(xué)生更深入地理解信號(hào)與系統(tǒng)的理論知識(shí)，并為將來(lái)使用 MATLAB 進(jìn)行信號(hào)處理領(lǐng)域的各種分析和實(shí)際應(yīng)用打下根底。實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求如下：1. 具體格式參照“莆田學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告格式。2. 注意實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求分析組織有條理，截圖美觀，結(jié)

4、論正確。實(shí)驗(yàn)1 MATLAB 在信號(hào)處理中的應(yīng)用根底1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜ATLAB工作環(huán)境和根本操作；熟悉MATLAB數(shù)組及矩陣運(yùn)算；學(xué)習(xí) 函數(shù)的編制，掌握MATLAB的編程應(yīng)用。通過不同的程序結(jié)構(gòu)和不同的實(shí)際編 程問題，掌握MATLAB的編程方法。2. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容232.1假設(shè)x=3, y=4。利用MTLAB計(jì)算以下表達(dá)式：z X y 3，要求： (x y)31在命令窗口直接輸入，得到運(yùn)算結(jié)果；2編寫M文檔并在命令窗口執(zhí)行，然后用工作空間平臺(tái)查看有哪些變量在當(dāng) 前工作區(qū)。1 22.2 一小球從空中下落的位移公式為：x xo vot at ，利用MATLAB計(jì)算2小球在 t=5s 時(shí)的位置，：x

5、0 1Om,vo 15m/s,a9.8m/s2.2.3計(jì)算函數(shù)f(x) x3 (x 0.98)2 /(x 1.25)3 5(x 1)2在x為如下取值時(shí)候的x函數(shù)值，x取 4.9, 3.2, 1OO, 1.5, 9.75, 2.56 16,4.9,10。2.4確定以下數(shù)組的大小，通過 whos或工作空間窗口 The workspace browse 檢查你的答案。注意在本練習(xí)中后面的數(shù)組可能要用到前面數(shù)組的定義。(1) u=1O, 2O, 1O+2O v=-1;2O;3(3) w=1 O -9;2 -2 O;1 2 3 x=u' v(5) y(3,3)=-7(6) z=zeros(4,1

6、) ones(4,1) zeros(1,4)'(7) v=x(2,1)2.5執(zhí)行完2.4的所有題目后，w(2,1)的值是多少？ x(2,1)的值是多少？ y(2,1)的值是多少？2.6 c數(shù)組的定義如下，寫出下面子數(shù)組的內(nèi)容。1.1000 -3.2000 3.4000 0.60000.6000 1.1000-0.6000 3.10001.30000.60005.50000(1) c(2,:) (2) c(:,end) (3) c(1:2,2:end) (4) c(6)(5) c(4:end) (6) c(1:2,2:4) (7) c(1 4,2) (8) c(2 2,3 3)2.7當(dāng)賦

7、值語(yǔ)句執(zhí)行后，以下數(shù)組的內(nèi)容是多少？(1) a=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;a(3 1,:)=a(1 3,:);(2) a=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;a(1 3,:)=a(2 2,:);(3) a=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;a=a(2 2,:);2.8假設(shè)a,b,c和d的定義如下：1 01 23a,b,c ,d 52 1 0 1 2分別運(yùn)行出以下表達(dá)式的運(yùn)算結(jié)果，并思考點(diǎn)乘和乘法的不同(1) a + b a .* c a * b a * c(5) a + c (6) a + d (7) a .* d (8) a * d2.9 一個(gè)程序?qū)嵗龑W(xué)習(xí)：溫度轉(zhuǎn)換設(shè)

8、計(jì)一個(gè)MATLAB 程序，讀取一個(gè)華氏溫度的輸入，輸出開爾文溫度。華氏溫度和開爾文溫度的轉(zhuǎn)換關(guān)系式可在物理學(xué)課本中找到。其關(guān)系式為：鞏開爾文)=f|r(ia匱厘)-3卜171151I hi.在物理學(xué)參考書中舉了一些例子，我們可以用來(lái)檢驗(yàn)我們程序是否正確。例如2J21沐水濕令鞫的泡度-HO我們?cè)O(shè)計(jì)程序的步驟如下：1提示用戶鍵入華氏溫度值2讀取輸入值3通過關(guān)系式轉(zhuǎn)換為開氏溫度4輸出結(jié)果，結(jié)束我們將會(huì)用in put函數(shù)輸入華氏溫度，用fprintf函數(shù)輸出結(jié)果。% Script file:temp_c onv ersio n.m% Purpose:% To convert an in put tem

9、perature from degrees Fahre nheit to% an output temperature in kel vins.% Record of revisi ons:% Date Programmer Descripti on of cha nge% = = =% 12/01/97 S.J. Chapma n Origi nal code%Defi ne variables:% temp_f -Temperature in degrees Fahre nheit% temp_k -Temperature in kelvi ns%Prompt the user for t

10、he in put temperature.temp_f=i nput('E nter the temperature in degrees Fahre nheit:');%Con verttokelvi ns.temp_k=(5/9)*(temp_f-32)+273.15;%Writeouttheresult.fprin tf('%6.2f degrees Fahre nheit = %6.2f kelvin s.n',. temp_f,temp_k);我們輸入上面的例子中的華氏溫度值，以檢測(cè)程序的正確性。注意用戶的輸入值 已用黑 體字標(biāo)出。>>

11、temp_c onv ersi onEn ter the temperature in degrees Fahre nheit: 212212.00 degrees Fahre nheit = 373.15 kelvi ns.>> temp_c onv ersi onEn ter the temperature in degrees Fahre nheit: -110-110.00 degrees Fahre nheit = 194.26 kelvi ns.這個(gè)結(jié)果和物理教科書的結(jié)果相同。2.10編寫一個(gè)程序，計(jì)算出坐標(biāo)系中用戶指定兩點(diǎn)(X1,Y1)和(X2,Y2)之間的距離要求有

12、輸入、輸出及其相關(guān)提示。xx2.11雙曲余弦的定義如下:. e e cosh x2編寫一個(gè)程序，計(jì)算出用戶指定的x的值對(duì)應(yīng)的雙曲余弦值。用這個(gè)程序計(jì)算雙曲余弦值的假設(shè)干值，并和 MATLAB 中的內(nèi)建函數(shù)cosh(x)得到的值比擬看 看是否完全相同。并用 MATLAB 打印出這個(gè)函數(shù)的圖象。2.12電子工程：負(fù)載的最大輸出功率一個(gè)內(nèi)阻 Rs= 50Q,電動(dòng)勢(shì)V= 120V的電 源驅(qū)動(dòng)一個(gè)負(fù)載RL。當(dāng)RL為多少時(shí)，RL的功率最大？在這種情況下，功率為 多少？畫以RL為自變量的RL功率圖。1 1 12.13利用公式一1 1 1丄求43 5 7510為止。的近似值，直到最后一項(xiàng)的絕對(duì)值小于2.14

13、Fib on acci(斐波納契序列的元素滿足 Fib on acci規(guī)貝U:ak 2 ak1 ak(k 1,2,3.)且® 1® 1;現(xiàn)要求該序列中第一個(gè)大于 20000的并指明該兀素是序列的第幾項(xiàng)2.15在田徑比賽中，一個(gè)身高為一米八零的鉛球運(yùn)發(fā)動(dòng)， 大概以多大的角度和 水平方向夾角推鉛球，才能使鉛球推得最遠(yuǎn)，并求出最遠(yuǎn)距離。不計(jì)空氣阻力， 假設(shè)鉛球出手點(diǎn)和運(yùn)發(fā)動(dòng)高度相等，且鉛球出手瞬間初始速度大小為 14m/s，重 力加速度取g=10m/s2。2.16打印出所有的“水仙花數(shù)，所謂“水仙花數(shù)是指一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù) 字立方和等于該數(shù)本身。例如153是一個(gè)水仙花數(shù)，滿足1

14、53= 1A3+5A3+3A3o2.17有一個(gè)函數(shù)：xx 1y 2x 11 x 10，寫一程序，輸入X，輸出y值。3x 11 x 102.18 輸入 3 個(gè)整數(shù)，要求按大小輸出。2.19 編寫一個(gè) MATLAB 程序，要求輸入圓柱體的半徑和高，然后輸出體積3. 思考3.1 MATLAB 的命令窗口的作用是什么？3.2 列出幾種不同的得到 MATLAB 幫助的方法。3.3 什么是工作區(qū)？在同一工作區(qū)內(nèi)，你如何決定它里面存儲(chǔ)了什么？3.4 你怎樣清空 MATLAB 工作區(qū)內(nèi)的內(nèi)容？3.5 數(shù)組，矩陣，向量有什么區(qū)別？3.6 答復(fù)關(guān)于以下矩陣的有關(guān)問題1.13.23.40.6C 0.61.10.63

15、.11.30.65.50.0(1)C 的大小是多少？(2) C(2,3)的值是多少？(3) 列出值為 0.6 的元素的下標(biāo)3.7 腳本文件和函數(shù)文件的區(qū)別是什么？實(shí)驗(yàn) 2 連續(xù)時(shí)間信號(hào)在 MATLAB 中的表示1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)會(huì)運(yùn)用 MATLAB 表示常用連續(xù)時(shí)間信號(hào)的方法； 觀察并熟悉這些信號(hào)的波 形和特性。2. 實(shí)驗(yàn)原理在某一時(shí)間區(qū)間內(nèi)，除假設(shè)干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)外，如果任意時(shí)刻都可以給出確定 的函數(shù)值，那么稱該信號(hào)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)信號(hào)。從嚴(yán)格意義上講， MATLAB 數(shù)值計(jì)算的方法并不能處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)。然而，可利用連續(xù)信號(hào)在 等時(shí)間間隔點(diǎn)的取樣值來(lái)近似表示連續(xù)信號(hào)， 即當(dāng)取樣時(shí)間間隔

16、足夠小時(shí)， 這些 離散樣值能夠被 MATLAB 處理，并且能較好地近似表示連續(xù)信號(hào)。MATLAB 提供了大量生成根本信號(hào)的函數(shù)。 比方常用的指數(shù)信號(hào)、正余弦信 號(hào)等都是 MATLAB 的內(nèi)部函數(shù)。為了表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)，需定義某一時(shí)間或自 變量的范圍和取樣時(shí)間間隔， 然后調(diào)用該函數(shù)計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值， 最后畫出其 波形圖。3. 實(shí)例分析3.1 典型信號(hào)的 MATLAB 表示1實(shí)指數(shù)信號(hào)實(shí)指數(shù)信號(hào)的根本形式為 f(t) Ke t 。式中， K, 為實(shí)數(shù)。當(dāng) 0 時(shí)，實(shí) 指數(shù)信號(hào)隨時(shí)間按指數(shù)式增長(zhǎng)；當(dāng) 0 時(shí)，實(shí)指數(shù)信號(hào)隨時(shí)間按指數(shù)式衰減； 當(dāng) 0 時(shí)候，那么轉(zhuǎn)化為直流信號(hào)。 MATLAB 中用 e

17、xp 函數(shù)來(lái)表示實(shí)指數(shù)信號(hào)， 其語(yǔ)句格式為：y K *exp( a* t)例1用MATLAB命令產(chǎn)生單邊衰減指數(shù)信號(hào)2e1.5tu(t)，并繪出時(shí)間0 t 3的 波形圖。解：MATLAB源程序?yàn)?clear;clc;K = 2; a = -1.5;t = 0:0.01:3;ft = K*exp(a*t); plot(t,ft);grid on axis(0,3,0,2.2);title('單邊指數(shù)衰減信號(hào)');2正弦信號(hào)正弦信號(hào)的根本形式為f(t) Ksin(t )或者f(t) Kcos( t )。其中K是振幅； 是角頻率；是初相位。這三個(gè)參數(shù)稱為正弦信號(hào)的三要素。MATLAB

18、中可用sin或者cos函數(shù)來(lái)表示正弦信號(hào)，其語(yǔ)句格式為：K *sin( *t phi) K *cos( * t phi)例2用MATLAB命令產(chǎn)生正弦信號(hào)2sin(2 t /4)，并繪出時(shí)間0 t 3的波形圖。解：MATLAB源程序?yàn)椋篶lear;clc;K = 2; w = 2*pi; phi = pi/4; t = 0:0.01:3;ft = K*s in( w*t+phi); plot(t,ft);grid on axis(0,3,-2.2,2.2); title('正弦信號(hào)');圖1單邊指數(shù)衰減信號(hào)圖2正弦信號(hào)3抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)的根本形式為Sa(t) sin(t)/t，

19、在 MATLAB 中用與Sa(t)類似的sinc(t)函數(shù)表示，定義為 sinc(t) sin( t)/( t)?？梢钥闯?，Sa(t)函數(shù)與sinc(t)沒有本質(zhì)的區(qū)別，只是在時(shí)間尺度上不同而已。 例3用MATLAB命令產(chǎn)生抽樣信號(hào)Sa(t)，并繪出時(shí)間為6 t 6的波形圖。解：MATLAB源程序?yàn)?clear;clc;t = -6*pi: pi/100: 6*pi; ft = sin c(t/pi);plot(t,ft);grid on axis(-20,20,-0.5,1.2); title('抽樣信號(hào)');fa+T'f E圖3抽樣信號(hào)4矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)在M

20、ATLAB中可用rectpuls函數(shù)產(chǎn)生，其語(yǔ)句格式為:y rectpls (t, width )該函數(shù)用于產(chǎn)生一個(gè)幅度為1、寬度為width，且以t=0為對(duì)稱軸的矩形脈沖信 號(hào)，width的默認(rèn)值為1。f(t)2 (0 t 1)0 (t 0,t1)例4用MATLAB命令畫出以下矩形脈沖信號(hào)的波形圖。解：根據(jù)所定義的矩形脈沖信號(hào)，f(t)定義的矩形脈沖寬度為1,脈沖的中心位置相對(duì)于縱軸向右移動(dòng)了 0.5。因此，其MATLAB源程序?yàn)椋篶lear;clc;t = -0.5: 0.01: 3;t0 = 0.5; width = 1;圖4矩形脈沖信號(hào)ft = 2* rectpuls(t-t0, wi

21、dth); plot(t,ft);grid on axis(-0.5,3,-0.2,2.2); title('矩形脈沖信號(hào)');周期性矩形波信號(hào)或方波在MATLAB中可用square函數(shù)產(chǎn)生，其語(yǔ)句格式為:y=square(t,DUTY)該函數(shù)用于產(chǎn)生一個(gè)周期為2 ，幅值為1的周期性方波信號(hào)，其中，DUTY參 數(shù)用來(lái)表示信號(hào)的占空比DUTY%，即在一個(gè)周期內(nèi)脈沖寬度正值局部與脈沖周期比值。占空比默認(rèn)值為0.5例5用MATLAB命令產(chǎn)生頻率為10Hz，占空比為30%的周期方波信號(hào)解：MATLAB源程序?yàn)?5期方減信T圖5周期方波信號(hào)clear;clc;t = 0: 0.001:

22、0.3;y = square(2*pi*10*t, 30); plot(t,y);grid on axis(0,0.3,-1.2,1.2); title('周期方波信號(hào)');還有非周期的三角波脈沖可以用tripuls函數(shù)，周期三角波鋸齒波可以用 sawtooth函數(shù)實(shí)現(xiàn)。同學(xué)們可以通過 MATLAB help自學(xué)，或者上網(wǎng)搜索及其他 途徑學(xué)習(xí)。3.2單位階躍信號(hào)的MATLAB表示單位階躍信號(hào)是信號(hào)分析中的根本信號(hào)之一，在信號(hào)與系統(tǒng)分析中有著十分重要的意義，常用于簡(jiǎn)化信號(hào)的時(shí)域數(shù)學(xué)表示。例如，表示分段函數(shù)信號(hào)、時(shí)限 信號(hào)和因果信號(hào)等。單位階躍信號(hào)用符號(hào) u(t)表示，定義為：u(

23、t)I!113I&圖6單位階躍信號(hào)例6用MATLAB命令產(chǎn)生單位階躍信號(hào)u(t) 解：MATLAB源程序?yàn)椋篶lear;clc;t = -1: 0.01: 5;ft = (t >=0 );plot(t,ft);grid onaxis(-1,5,-0.5,1.5);title('單位階躍信號(hào)');5此外，也可以在 MATLAB的工作目錄下創(chuàng)立 uCT的M文件，其MATLAB 源文件為：fun ctio n f = uCT(t)f = (t>=0);保存后，就可調(diào)用該函數(shù)，并運(yùn)用plot命令來(lái)繪制單位階躍信號(hào)的波形。例 如，圖6中波形也可以用如下代碼實(shí)現(xiàn):cle

24、ar;clc;t = -1: 0.01: 5;ft = uCT(t); plot(t,ft);grid on axis(-1,5,-0.5,1.5); title('單位階躍信號(hào)');注意，在此定義的uCT函數(shù)是階躍信號(hào)數(shù)值表示方法，因此在數(shù)值電腦中我們將調(diào)用uCT函數(shù)。而在MATLAB的MAPLE內(nèi)核中，將Heaviside函數(shù)定義為階 躍信號(hào)符號(hào)表達(dá)式，在符號(hào)運(yùn)算過程中，假設(shè)要調(diào)用它必須用 sym定義后，才能 實(shí)現(xiàn)。例如，還可用下面的命令會(huì)出階躍信號(hào)，即：clear;clc;y=sym('Heaviside(t)'); %定義符號(hào)表達(dá)式ezplot(y,-1

25、,5).grid on在表示分段函數(shù)信號(hào)、時(shí)限信號(hào)時(shí)，經(jīng)常用到延時(shí)的單位階躍信號(hào)，對(duì)于延時(shí)T的單位階躍信號(hào)u(t T)，可以用uCT(t-T)來(lái)表示。解：MATLAB源程序?yàn)?(1l7 K圖圖7門函數(shù)波形例7用MATLAB命令實(shí)現(xiàn)幅度為1、寬度為1的門函數(shù)g(t)clear;clc;t = -1: 0.01: 1;ft = uCT(t+0.5)-uCT(t-0.5); plot(t,ft);grid on axis(-1,1 -0.2,1.2);title('門函數(shù)');4. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容4.1利用MATLAB命令畫出以下連續(xù)信號(hào)的波形圖。12cos(3t/4) 2(2 et)u(

26、t)3tu(t) u(t 1)41 cos( t)u(t) u(t 2)4.2利用MATLAB命令產(chǎn)生幅度為1、周期為1、占空比為0.5的一個(gè)周期矩形脈沖信號(hào)。T=1;f=1/T=14.3利用MATLAB命令畫出如下信號(hào)的實(shí)部、虛部、模和幅角。j _4tj_2tf (t)2 e 4 e 2 cos(pi/4*t)+jsin(pi/4*t)5. 問題與思考階躍信號(hào)函數(shù)中語(yǔ)句ft = (t >=0 )的含義。實(shí)驗(yàn) 3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)在 MATLAB 中的運(yùn)算1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)會(huì)運(yùn)用 MATLAB 進(jìn)行連續(xù)信號(hào)的時(shí)移、反折和尺度變換；學(xué)會(huì)運(yùn)用 MATLAB 進(jìn)行連續(xù)信號(hào)的相加、 相乘運(yùn)算； 學(xué)會(huì)運(yùn)

27、用 MATLAB 數(shù)值計(jì)算方法求 連續(xù)信號(hào)的卷積。2. 實(shí)驗(yàn)原理2.1 信號(hào)的時(shí)移、反折和尺度變換信號(hào)的時(shí)移、反折和尺度變換是針對(duì)自變量時(shí)間而言的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式與波 形變換之間存在一定的變換規(guī)律。信號(hào)f(t)的時(shí)移就是將信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式中的t用t to替換，其中to為正實(shí)數(shù)。 因此，波形的時(shí)移變換是將原來(lái)的f(t)波形在時(shí)間軸上向左或者向右移動(dòng)。f(t to)為f(t)波形向左移動(dòng)to ； f(t to)為f(t)波形向右移動(dòng)to。信號(hào)f(t)的反 折就是將表達(dá)式中的自變量t用t替換，即變換后的波形是原波形的 y軸鏡像。 信號(hào)f (t)的尺度變換就是將表達(dá)式中的自變量t用at替換，其中，a為正實(shí)

28、數(shù)。 對(duì)應(yīng)于波形的變換，那么是將原來(lái)的 f(t)的波形以原點(diǎn)為基準(zhǔn)壓縮a 1至原 來(lái)的 1/ a ，或者擴(kuò)展 o a 1至原來(lái)的 1/ a 。上述可以推廣到f(at to)的情況。2.2 MATLAB 數(shù)值計(jì)算法求連續(xù)時(shí)間信號(hào)的卷積用 MATLAB 分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)，可以通過時(shí)間間隔取足夠小的離散時(shí)間信 號(hào)的數(shù)值計(jì)算方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。 可調(diào)用 MATLAB 中的 conv( )函數(shù)近似地?cái)?shù)值求解連 續(xù)信號(hào)的卷積積分。如果對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào) f,(t)和f2(t)進(jìn)行等時(shí)間間隔t足夠 小均勻抽樣，那么f't)和f2(t)分別變?yōu)殡x散序列fm t)和f2(m t)。其中m為 整數(shù)。當(dāng)t足夠小時(shí)，f,

29、(m t)和f2(m t)即為連續(xù)時(shí)間信號(hào)fi(t)和f2(t)。因此連續(xù)信號(hào)的卷積積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為：f(t) f1(t)* f2(t)f1( ) f2(t)dlimf1(m t) f2 (t m t) tm采用數(shù)值計(jì)算法，只求當(dāng) t n t時(shí)卷積積分f(t)的值f(n t)，其中，n為整數(shù)，即f (n t)f1(m t) f2(n t m t) tmtf1(m t) f2(n m) tm其中， f1(m t) f2(n m) t實(shí)際就是離散序列f1(m t)和f2(m t)的卷積和。當(dāng) mt足夠小時(shí)，f(n t)就是卷積積分的結(jié)果，從而連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t) f(n t) f1(n)* f2(n

30、)上式說明通過MATLAB實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)f1(t)和f2(t)的卷積，可以利用各自抽 樣后的離散時(shí)間序列的卷積再乘上抽樣間隔t 0抽樣間隔t越小，誤差也就越小。3. 實(shí)例分析例 1 信號(hào) f (t) u(t 2) u(t) ( t 1)u(t 1) u(t)，試用 MATLAB 命令畫 出 f(t 2)、 f(3t)、f( t)、 f( 3t 2)的波形圖0解：根據(jù)信號(hào)，先建立 f(t)函數(shù)文件，即在 MATLAB的工作目錄下創(chuàng)立 functl.m文件，MATLAB 源程序?yàn)椋篺unction f = funct1(t)f=uCT(t+2)-uCT(t)+(-t+1).*(uCT(t)-uCT(

31、t-1);然后，可以調(diào)用上述函數(shù)來(lái)繪制所求的信號(hào)波形0程序運(yùn)行完，產(chǎn)生如圖 1所示的波形0 MATLAB 源程序?yàn)椋篶lear;clc;t = -2:0.01:4; ft1 = fun ct1(t-2);ft2 = fun ct1(3*t);ft3 = fun ct1(-t); ft4 = fun ct1(-3*t-2);subplot(221) plot(t,ft1);grid on title('f(t-2)'); axis(-2 4 -0.5 2);subplot(222) plot(t,ft2);grid ontitle('f(3t)'); axis(-

32、2 4 -0.5 2);subplot(223) plot(t,ft3);grid on title('f(-t)'); axis(-2 4 -0.5 2);subplot(224) plot(t,ft4);grid on title('f(-3t-2)'); axis(-2 4 -0.5 2);肚2)妙圖 1f(t-2),f(3t),f(-t),f(-3t-2)波形圖例2用MATLAB數(shù)值計(jì)算分析法求信號(hào)f,(t) u(t) u(t 2)與f2(t) e3tu(t)的 卷積積分。解：因?yàn)閒2(t) e3tu(t)是一個(gè)持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)，而電腦數(shù)值計(jì)算不可能

33、計(jì) 算真正的無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)，所以在 進(jìn)行f2(t)的抽樣離散化時(shí)，所取的時(shí)間范圍 讓f2(t)衰減到足夠小就可以了，本例中取t 2.5。MATLAB源程序?yàn)椋篶lear;clc;dt = 0.01; t = -1:dt:2.5; fl = uCT(t)- uCT(t-2);f2 = exp(-3*t)*uCT(t);f = con v(f1,f2)*dt;n =le ngth(f);tt = (0: n-1)*dt-2; tt 從-2 開始subplot(221), plot(t,f1),grid on; axis(-1,2.5, -021.2);title('f1(t)');

34、 xlabel('t');subplot(222), plot(t,f2),grid on; axis(-1,2.5, -0.2,1.2);title('f2(t)'); xlabel('t');subplot(212), plot(tt,f),grid on; title('f(t)=f1(t)*f2(t)' ); xlabel('t');由于£(t)和f2(t)的時(shí)間范圍都是從t 1開始，所以卷積結(jié)果的時(shí)間范圍從t 2開始，增量還是取樣間隔t，這就是上面MATLAB語(yǔ)句tt = (0:n-1)*dt-

35、2的由來(lái)。對(duì)于時(shí)限信號(hào)的卷積運(yùn)算，還可以利用 MATLAB中的function命令建立一 個(gè)實(shí)用函數(shù)來(lái)求卷積。例如，可以建立連續(xù)時(shí)間信號(hào)卷積運(yùn)算的函數(shù) ctsconv.m , 其MATLAB源程序?yàn)椋篺unction f,t = ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)f = con v(f1,f2);f = f*dt;ts = mi n(t1) +mi n( t2);te = max(t1)+max(t2);t = ts:dt:te;subplot(221)plot(t1,f1); grid onaxis( min(t1), max(t1), min(f1)- abs(min(f1)*

36、0.2 ), max(f1)+ abs(max(f1)*0.2) ) title( 'f1(t)' );xlabel( 't');subplot(222)plot(t2,f2); grid onaxis( min(t2), max(t2), min(f2)- abs(min(f2)*0.2 ), max(f2)+ abs(max(f2)*0.2) ) title( 'f2(t)' );xlabel( 't');subplot(212)plot(t,f); grid onaxis( min(t), max(t), min(f)- a

37、bs(min(f)*0.2 ), max(f)+ abs(max(f)*0.2) ) title( 'f(t)=f1(t)*f2(t)' );xlabel( 't');MATLAB 源程序?yàn)椋簩?duì)于例 2，可以用上面定義的 ctsconv 函數(shù)求的，clear;clc;dt = 0.01;t1 = -1:dt:2.5;f1 = uCT(t1)- uCT(t1-2);t2 = t1;f2 = exp(-3*t2).*uCT(t2);t,f = ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt);程序運(yùn)行后，可獲得和例 2 相同的波形結(jié)果4. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容4.1試用MATLA

38、B命令繪制信號(hào)f(t) e ' sin( 10 t) e t/2 sin(9 t)的波形圖。4.2 信 號(hào) f(t) u(t) u(t 1) (t 1)u(t 1) u(t) ，畫 出 f(t) 、 f(t 2) 、 f( t)、 f( 2t 1)的波形。4.3 求信號(hào) f1(t) u(t) u(t 2)與的卷積結(jié)果f(t)f't)* f2(t)，并畫出fQ, f2(t)和f(t)的波形。4.4 求信號(hào) f1(t) u(t 0.5) u(t 0.5)與自身的卷積結(jié)果 f(t) f1(t)* f1(t) ，并畫出fl(t)和f (t)的波形。5. 問題與思考MATLAB 運(yùn)算符中

39、 .*和 * 的區(qū)別？可結(jié)合例子說明。 實(shí)驗(yàn) 1和實(shí)驗(yàn) 2 都 有碰到的實(shí)驗(yàn)4傅里葉變換及其性質(zhì)1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)會(huì)運(yùn)用 MATLAB求連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉Fourie門變換；學(xué)會(huì)運(yùn)用 MATLAB求連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜圖；學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅 里葉變換的性質(zhì)。2. 實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析2.1傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)信號(hào)f的傅里葉變換定義為：F( ) F f (t) f (t)e j Pt，傅里葉反變換定義為：f (t) F 1F( ) 一 f( )ej td 。2信號(hào)的傅里葉變換主要包括MATLAB符號(hào)運(yùn)算和MATLAB數(shù)值分析兩種方 法，下面分別加以探討。同時(shí)，學(xué)習(xí)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜

40、圖。2.1.1 MATLAB符號(hào)運(yùn)算求解法MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱提供了直接求解傅里葉變換與傅里葉反變換的函 數(shù)fourier()和ifourier( )。Fourier變換的語(yǔ)句格式分為三種。(1) F=fourier(f，):它是符號(hào)函數(shù)f的Fourier變換，默認(rèn)返回是關(guān)于的 函數(shù)。(2) F=fourier(f,v):它返回函數(shù)F是關(guān)于符號(hào)對(duì)象v的函數(shù)，而不是默認(rèn)的 ， 即 F (v) f (t)e jvtdt °(3) F=fourier(f,u,v):是對(duì)關(guān)于u的函數(shù)f進(jìn)行變換，返回函數(shù)F是關(guān)于v的 函數(shù)，即 F(v) f(t)e jvudu。傅里葉反變換的語(yǔ)句格式也分

41、為三種。(1) f=ifourier(F):它是符號(hào)函數(shù)F的Fourier反變換，獨(dú)立變量默認(rèn)為，默 認(rèn)返回是關(guān)于x的函數(shù)。(2) f=ifourier(F,u):它返回函數(shù)f是u的函數(shù)，而不是默認(rèn)的X。(3) f=ifourier(F,u,v):是對(duì)關(guān)于v的函數(shù)F進(jìn)行反變換，返回關(guān)于u的函數(shù)f。 值得注意的是，函數(shù)fourier()和ifourier()都是接受由sym函數(shù)所定義的符號(hào)變量或者符號(hào)表達(dá)式。例1用MATLAB符號(hào)運(yùn)算求解法求單邊指數(shù)信號(hào)f (t) e 2tu(t)的傅里葉變換解：MATLAB源程序?yàn)椋篺t = sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)

42、9;);Fw = fourier(ft)運(yùn)行結(jié)果為：Fw = 1/(2+i*w)例2用MATLAB符號(hào)運(yùn)算法求F()乙的傅里葉逆變換f(t)1 2解：MATLAB源程序?yàn)椋篺t = sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');Fw = fourier(ft)運(yùn)行結(jié)果為：ft = 1/2*exp(-t)*heaviside(t)+1/2*exp(t)*heaviside(-t) 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜圖信號(hào)f(t)的傅里葉變換F()表達(dá)了信號(hào)在處的頻譜密度分布情況，這就 是信號(hào)的傅里葉變換的物理含義。F()般是復(fù)函數(shù)，可以表示成F( ) F( )ej()。F( ) 與

43、()曲線分別稱為非周期信號(hào)的幅度頻譜與相位頻譜，它們都是頻率的連續(xù)函數(shù)，在形狀上與相應(yīng)的周期信號(hào)頻譜包絡(luò)線相同。非周期信號(hào)的頻譜有兩個(gè)特點(diǎn)，密度譜和連續(xù)譜。要注意到，采用fourier() 和ifourier()得到的返回函數(shù)，仍然是符號(hào)表達(dá)式。假設(shè)需對(duì)返回函數(shù)作圖，那么 需應(yīng)用ezplot()繪圖命令。例3用MATLAB命令繪出例1中單邊指數(shù)信號(hào)的幅度譜和相位譜。解：MATLAB源程序?yàn)閒t = sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');Fw = fourier(ft);subplot(211) ezplot(abs(Fw);grid ontitle(

44、9;幅度譜')phase = ata n(imag(Fw)/real(Fw);subplot(212) ezplot(phase);grid on title('相位譜')圖1單邊指數(shù)信號(hào)的幅度譜和相位譜2.1.3 MATLAB數(shù)值計(jì)算求解法fourier()和ifourier()函數(shù)的一個(gè)局限性是，如果返回函數(shù)中有諸如單位沖激 函數(shù)(t)等項(xiàng)，那么用ezplot()函數(shù)無(wú)法作圖。對(duì)某些信號(hào)求變換時(shí)，其返回函數(shù) 可能包含一些不能直接用符號(hào)表達(dá)的式子，因此不能對(duì)返回函數(shù)作圖。此外，在很多實(shí)際情況中，盡管信號(hào)f(t)是連續(xù)的，但經(jīng)過抽樣所獲得的信號(hào)那么是多組離 散的數(shù)值量f

45、(n)，因此無(wú)法表示成符號(hào)表達(dá)式，此時(shí)不能應(yīng)用fourier()函數(shù)對(duì)f(n) 進(jìn)行處理，而只能用數(shù)值計(jì)算方法來(lái)近似求解。從傅里葉變換定義出發(fā)有F( ) f (t)e j tdt lim f(n )e j n ，當(dāng) 足夠小時(shí)，上式的近似情況可以滿足實(shí)際需要。對(duì)于時(shí)限信號(hào) f(t)，或者在 所研究的時(shí)間范圍內(nèi)讓f(t)衰減到足夠小，從而近似地看成時(shí)限信號(hào)，那么對(duì)于上 式可以考慮有限n的取值。假設(shè)是因果信號(hào)，那么有M 1F( )f (n ) e j n ,0 n M 1n 0傅里葉變換后在域用MATLAB進(jìn)行求解，對(duì)上式的角頻率進(jìn)行離散化。假設(shè)離散化后得到N個(gè)樣值，即 k - k, 0 k N -

46、1，NM 1.因此有F(k)f(n )e j kn ,0 k N 1。采用行向量，用矩陣表示為n 0F(k)；*Nf (n )爲(wèi)e j kn 爲(wèi)。其要點(diǎn)是要正確生成f(t)的M個(gè)樣本向量f(n )與向量e j kn 。當(dāng) 足夠小時(shí)，上式的內(nèi)積運(yùn)算即相乘求和運(yùn)算結(jié) 果即為所求的連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的數(shù)值解。例4 用MATLAB數(shù)值計(jì)算法求三角脈沖幅度譜。三角脈沖的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：1-t 2,4 t 02f(t)-1丄 t 2,0 t 42解：MATLAB源程序?yàn)?dt = 0.01;t = -4:dt:4;ft = (t+4 )/2.*uCT(t+4)-t.*uCT(t)+(t-4)/2.*u

47、CT(t-4);N = 2000;k = -N:N;W = 2*pi*k/(2*N+1)*dt);F = dt * ft*exp(-j*t'*W); plot(W,F), grid on axis(-pi pi -1 9);xlabel('W), ylabel('F(W)') title('amplitude spectrum');w圖2三角脈沖信號(hào)的幅度譜2.2傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)包含了豐富的物理意義，并且揭示了信號(hào)的時(shí)域和頻域的 關(guān)系。熟悉這些性質(zhì)成為信號(hào)分析研究工作中最重要的內(nèi)容之一尺度變換特性傅里葉變換的尺度變換特性為：假設(shè)f

48、(t)F()，那么有 f(at)aF(a)，其/、中，a為非零實(shí)常數(shù)。例5 設(shè)矩形信號(hào)f(t) u(t 1/2) u(t 1/2)，用MATLAB命令繪出該信號(hào)及其頻譜圖。當(dāng)信號(hào)f(t)的時(shí)域波形擴(kuò)展為原來(lái)的2倍，或壓縮為原來(lái)的1/2時(shí)，那么 分別得到f(t/2)和f(2t)，用MATLAB命令繪出f(t/2)和f(2t)的頻譜圖，并加 以分析比擬解：采用符號(hào)運(yùn)算法求解，并分析結(jié)果。MATLAB源程序?yàn)?ft1 = sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)'); subplot(321); ezplot(ft1,-1.5 1.5),grid

49、on Fw1 = simplify(fourier(ft1); subplot(322);ezplot(abs(Fw1),-10*pi 10*pi), grid on axis(-10*pi 10*pi -0.2 2.2);ft2 = sym( 'Heaviside(t/2+1/2)-Heaviside(t/2-1/2)'); subplot(323);ezplot(ft2,-1.5 1.5), grid onFw2 = simplify(fourier(ft2); subplot(324);ezplot(abs(Fw2),-10*pi 10*pi),grid onaxis(-

50、10*pi 10*pi -0.2 2.2);ft3 = sym( 'Heaviside(2*t+1/2)-Heaviside(2*t-1/2)'); subplot(325);ezplot(ft3,-1.5 1.5), grid onFw3 = simplify(fourier(ft3); subplot(326);ezplot(abs(Fw3),-10*pi 10*pi),grid on axis(-10*pi 10*pi -0.2 2.2);頻移特性傅里葉變換的頻移特性為：假設(shè)f(t) F()，那么有f(t)ej 0t F(0)。頻移技術(shù)在通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅變

51、頻等過程都是在頻譜搬移的根底上完成的。頻移的實(shí)現(xiàn)原理是將信號(hào)f(t)乘以載波信號(hào)cos °t或sin °t，從而完成頻譜的搬移，即f (t )cosot2F(0) F(0)f (t )sin0t0) F(0)例6閱讀并運(yùn)行如下程序段，并觀察信號(hào)調(diào)制前后的頻譜。ft1 = sym( '4*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4)');Fw1 = simplify(fourier(ft1); subplot(121);ezplot(abs(Fw1),-24*pi 24*pi),grid on axis(-24*pi 24*pi -0.

52、2 2.2);title'矩形信號(hào)頻譜'ft2 = sym( '4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4)');Fw2 = simplify(fourier(ft2);subplot(122);ezplot(abs(Fw2),-24*pi 24*pi),grid on axis(-24*pi 24*pi -0.2 2.2);title('矩形調(diào)制信號(hào)頻譜');3. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容3.1試用MATLAB命令求以下信號(hào)的傅里葉變換，并繪出其幅度譜和相位譜。1鈍sin 2 (t 1)(t 1)2f2t

53、sin( t)t3.2試用MATLAB命令求以下信號(hào)的傅里葉反變換，并繪出其時(shí)域信號(hào)圖1F1()103 je423.3試用MATLAB數(shù)值計(jì)算方法求門信號(hào)的傅里葉變換，并畫出其頻譜圖門信號(hào)即g t1, t0, t/2，其中/23.4兩個(gè)門信號(hào)的卷積為三角波信號(hào)，試用MATLAB命令驗(yàn)證傅里葉變換的時(shí)域卷積定理。4. 問題與思考傅里葉變換的其他性質(zhì)可以用類似的方法加以驗(yàn)證，試舉一例，說明你驗(yàn)證過程的思路。實(shí)驗(yàn)5信號(hào)抽樣及抽樣定理1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)是綜合性實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)?zāi)康闹饕獮椋簩W(xué)會(huì)運(yùn)用 MATLAB完成信號(hào)抽樣 及對(duì)抽樣信號(hào)的頻譜進(jìn)行分析；學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB改變抽樣間隔，觀察抽樣后信號(hào)的頻譜變

54、化；學(xué)會(huì)運(yùn)用 MATLAB對(duì)抽樣后的信號(hào)進(jìn)行重建。進(jìn)一步加深對(duì) 信號(hào)采樣和重建過程的理解。2. 實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析2.1信號(hào)抽樣信號(hào)抽樣是連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析向離散時(shí)間信號(hào)、連續(xù)信號(hào)處理向數(shù)字信號(hào)處 理的第一步，廣泛應(yīng)用于實(shí)際的各類系統(tǒng)中。所謂信號(hào)抽樣，也稱為取樣或采樣， 就是利用抽樣脈沖序列P(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中抽取一系列的離散樣值，通過抽樣 過程得到的離散樣值信號(hào)稱為抽樣信號(hào)，用fs(t)表示。從數(shù)學(xué)上講，抽樣過程就是抽樣脈沖p(t)和原連續(xù)信號(hào)f(t)相乘的過程，即：fs(t) f(t)p(t)因此可以用傅里葉變換的頻移卷積性質(zhì)來(lái)求抽樣信號(hào)fs(t)的頻譜。常用的抽樣脈沖序列p(t)有

55、周期矩形脈沖序列和周期沖激脈沖序列。假設(shè)原連續(xù)信號(hào)f(t)的頻譜為F()，即f(t) F();抽樣脈沖p(t)是一個(gè) 周期信號(hào)，它的頻譜為：p(t)巳ejn stP( ) 2 巳(n s)nn2其中，s 為抽樣角頻率，Ts為抽樣間隔。因此，抽樣信號(hào)fs(t)的頻譜為：Ts1Fs( ) 2-F( )P( )F( )Pn ( n s)時(shí)(n s)nn上式說明，信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以抽樣角頻率為 間隔周期的延拓，即信號(hào)在時(shí)域抽樣或離散化，相當(dāng)于頻域周期化。在頻譜的周 期重復(fù)過程中，其頻譜幅度受抽樣脈沖序列的傅里葉加權(quán)，即被Pn加權(quán)。假設(shè)抽樣信號(hào)為周期沖激脈沖序列，即：P(t

56、)(t n Ts)s (ns)nn因此，沖激脈沖序列抽樣后信號(hào)的頻譜為：1Fs( ) - F( n JI s n可以看出，F(xiàn)s()是以s為周期等幅地重復(fù)。例1升余弦脈沖信號(hào)為f(t) -1 COS(,0 t ，E 1, ，參數(shù)2用MATLAB編程，實(shí)現(xiàn)該信號(hào)經(jīng)沖激脈沖抽樣后得到的抽樣信號(hào)fs(t)及其頻譜。解:升余弦脈沖信號(hào)的頻譜大局部集中在0,之間，當(dāng)采用抽樣間隔Ts 1時(shí),根據(jù)抽樣定理，可以從抽樣信號(hào)恢復(fù)出原信號(hào)。MATLAB源程序?yàn)?Ts = 1;dt = 0.1;t1 = -4:dt:4;ft =(1+cos(t1)/2).*(uCT(t1+pi)-uCT(t1-pi);subplot(221)plot(t1,ft), grid on axis(-4 4 -0.1 1.1) xlabel('Time(sec)' ),ylabel('f(t)') title('升余弦脈