函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)的定義與求法

1、一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹的的在在那那末末稱稱恒恒有有兩兩點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)任任意意如如果果對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩

2、點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對(duì)如果對(duì)baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹且在且在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfba

3、xfxfbababaxf 例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,三、曲線的拐點(diǎn)及其求法三、曲線的拐點(diǎn)及其求法連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹凸凸的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn).定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx內(nèi)內(nèi)存存在在二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則點(diǎn)點(diǎn) )(,00 xfx是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的必必要要條條件件是是0)(0 xf.

4、.1.1.定義定義注意注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.2.2.拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法證證,)(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf , )()(0兩兩邊邊變變號(hào)號(hào)在在則則xxfxf ,)(,(00是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)又又xfx,)(0取得極值取得極值在在xxf ,條件條件由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的. 0)( xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù);)(,(,)()1(000即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變變號(hào)號(hào)兩兩近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不

5、變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間為為方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3

6、.)2 , 0(cossin的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求求曲曲線線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線也也可可能能點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但但在在;

7、0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲線線在在 .)0 , 0(3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線點(diǎn)點(diǎn)xy 四、小結(jié)四、小結(jié)曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn);凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法1, 2.思考題思考題設(shè)設(shè))(xf在在),(ba內(nèi)二階可導(dǎo)，且內(nèi)二階可導(dǎo)，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，則，則,(0 x)(0 xf是否一定為是否一定為曲線曲線)(xf的拐點(diǎn)？舉例說明的拐點(diǎn)？舉例說明.思考題解答思考題解答因?yàn)橐驗(yàn)?)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf為拐點(diǎn)

8、為拐點(diǎn)的的必要條件必要條件，故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐點(diǎn)點(diǎn).例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲線線)(xf的的拐拐點(diǎn)點(diǎn).一、一、 填空題：填空題：1 1、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在 （ba,） 可導(dǎo)， 則曲線） 可導(dǎo)， 則曲線)(xf在在( (ba,) )內(nèi)取凹的充要條件是內(nèi)取凹的充要條件是_._.2 2、 曲線上曲線上_的點(diǎn)，稱作曲線的拐點(diǎn)的點(diǎn)，稱作曲線的拐點(diǎn) . .3 3、 曲線曲線)1ln(2xy 的拐點(diǎn)為的拐點(diǎn)為_._.4 4、 曲線曲線)1ln(xy 拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為_._.二、二、 求曲線求曲線xeyarctan 的拐點(diǎn)及

9、凹凸區(qū)間的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間 . .三、三、 利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲線四、求曲線 2sin2cot2ayax的拐點(diǎn)的拐點(diǎn) . .練練 習(xí)習(xí) 題題五、五、 試證明曲線試證明曲線112 xxy有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上上 . .六、六、 問問a及及b為何值時(shí)，點(diǎn)為何值時(shí)，點(diǎn)(1,3)(1,3)為曲線為曲線23bxaxy 的拐點(diǎn)？的拐點(diǎn)？七、七、 試決定試決定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲線的拐點(diǎn)處使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)的法線通過原點(diǎn) . .一、一、1 1、),()(baxf在在 內(nèi)遞增或內(nèi)遞增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界點(diǎn)；、凹凸部分的分界點(diǎn)；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4、)2ln, 1(),2ln, 1( . .二、拐點(diǎn)二、拐點(diǎn)),21(21arcta