隨機變量及其分布(NXPowerLite)

1、1第二章 隨機變量及其分布關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：隨機變量隨機變量 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù) 離散型隨機變量離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 隨機變量的函數(shù)隨機變量的函數(shù)21 隨機變量* * 常見的兩類試驗結(jié)果：示數(shù)的示數(shù)的降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù)降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù)示性的示性的明天天氣（晴，多云明天天氣（晴，多云）；化驗結(jié)果（陽性，陰性）；化驗結(jié)果（陽性，陰性）esx離散型的離散型的連續(xù)型的連續(xù)型的X=f(e)為為S上的單值函數(shù)，上的單值函數(shù)，X為實數(shù)為實數(shù) * * 中心問題：將試驗結(jié)果數(shù)量化* * 定義：隨試驗結(jié)果而變的量X為隨機變量* * 常見的兩類隨機變

2、量32 2 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布 定義：隨機變量的取值是有限個或可列無限個，稱為定義：隨機變量的取值是有限個或可列無限個，稱為離散型離散型隨機變量或稱為離散量。隨機變量或稱為離散量。離散量的概率分布離散量的概率分布( (分布律分布律) )形如形如: :10,1iiipp樣本空間樣本空間S X=x1，X=x2，X=xn， 由于樣本點兩兩不相容，所以：由于樣本點兩兩不相容，所以：111( )()iiiiP SP Xxp1、寫出可能取值即寫出樣本點、寫出可能取值即寫出樣本點 2、寫出相應(yīng)的概率即寫出每一個樣本點出現(xiàn)的概率、寫出相應(yīng)的概率即寫出每一個樣本點出現(xiàn)的概率P1x2xi

3、x1p2pipX# # 概率分布概率分布4 三個主要的離散型隨機變量三個主要的離散型隨機變量 0 01 1分布分布Xpq01p樣本空間中只有兩個樣本點(p+q=1) (1)XBp分布記為：，2(0)9,(1)3 8,? P Xcc P Xcc例： 已知2938ccc（）（）1/32/3c2/31/3 cc 不合要求，解：由概率的性質(zhì)：=15,A A n n重貝努利試驗：設(shè)試驗重貝努利試驗：設(shè)試驗E E只有兩個可能的結(jié)果：只有兩個可能的結(jié)果： p(A)=p,0p1,p(A)=p,0p1,將將E E獨立地重復進行獨立地重復進行n n次，則稱這一串次，則稱這一串的的試驗為試驗為n n重重貝努利試驗貝

4、努利試驗。 二項分布二項分布即每次試驗結(jié)果即每次試驗結(jié)果互不影響互不影響在相同條件下在相同條件下重復進行重復進行6例：例：1. 1. 獨立重復地拋獨立重復地拋n n次硬幣，每次只有兩個可能的結(jié)果：次硬幣，每次只有兩個可能的結(jié)果： 正面，反面，正面，反面，如果是不放回抽樣呢？如果是不放回抽樣呢？,A A,A A1 2P出現(xiàn)正面 1 6P A 1 2P A 2.2.將一顆骰子拋將一顆骰子拋n n次，設(shè)次，設(shè)A=A=得到得到1 1點點 ，則每次試驗，則每次試驗 只有兩個結(jié)果：只有兩個結(jié)果： 3.3.從從5252張牌中張牌中有放回有放回地取地取n n次，設(shè)次，設(shè)A=A=取到紅牌取到紅牌 ，則，則 每次

5、只有兩個結(jié)果：每次只有兩個結(jié)果：7設(shè)在設(shè)在n n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A A發(fā)生發(fā)生X X次，則次，則并稱并稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p p的二項分布，記的二項分布，記()(1) 01kkn knP XkC ppkn， ， ，()XB np，3123(0)()(1)P XP A A Ap3123(3)()P XP AA Ap223 21231231233(2)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp113 11231231233(1)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp ()(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn一般0 1(

6、) 1nnkkn knkpqC p qqp 注：其中推導：設(shè)Ai= 第i次A發(fā)生 ，先設(shè)n=38 例：設(shè)有例：設(shè)有8080臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是立的，發(fā)生故障的概率都是0.010.01，且一臺設(shè)備，且一臺設(shè)備的故障能有一個人處理。的故障能有一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，考慮兩種配備維修工人的方法， 其一是由其一是由4 4個人維護，每人負責個人維護，每人負責2020臺；臺； 其二是由其二是由3 3個人共同維護個人共同維護8080臺。臺。 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率

7、的大小。時維修的概率的大小。91234?P AAAA20,0.01 ,XB而故有：1021kP XP Xk 12020010.010.990.0169kkkkC 412341 (1 0.0169)0.0659P AAAA 即有：80,80,0.01 ,80YYB按第二種以 記臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，此時故臺中發(fā)生故障而不能及時維修方法。的概率為： 380800410.010.990.0087kkkkP YC 12P AP X解：按第一種方法：以X記“第一個人所維護的20臺機器中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”以Ai記“第i個人所維護的20臺中發(fā)生了故障，不能及時維修”則80臺機器中發(fā)生故障不能及時維修

8、的概率為：12341()P A A A A411 ,P A 10 例：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上例：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經(jīng)過要經(jīng)過3 3個獨立的交通燈，設(shè)各燈工作獨個獨立的交通燈，設(shè)各燈工作獨 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p p，00p p11， 以以Y Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。(1)(1)求求Y Y的概率分布律；的概率分布律；(2)(2)求恰好遇到求恰好遇到2 2次紅燈的概率。次紅燈的概率。 (3,)Ybp 331 ()(1), 0,1,2,3kkkP YkC ppk 2232 (2)(1)P YC pp 解

9、：這是三重貝努利試驗解：這是三重貝努利試驗11 例：某人獨立射擊例：某人獨立射擊n n次，設(shè)每次命中率為次，設(shè)每次命中率為p p， 00p p11，設(shè)命中設(shè)命中X X次，次，(1) (1) 求求X X的概率分布的概率分布 律；律；(2) (2) 求至少有一次命中的概率。求至少有一次命中的概率。 ( ,)Xb n p 1 ()(1) 0,1,kknknP XkC ppkn， 2 (1)1(0)1 (1)nP XP Xp (1)1nlim P X 解：這是n重貝努利試驗同時可知： 上式的意義為：若上式的意義為：若p p較小但較小但p p0,0,只要只要n n充分大，至充分大，至少有一次命中的概率很

10、大。即少有一次命中的概率很大。即“小概率事件小概率事件”在在大量試驗中大量試驗中“至少有一次發(fā)生至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。幾乎是必然的。12例：例：某娛樂場提供玩客一項活動，玩客可以任選一種以某娛樂場提供玩客一項活動，玩客可以任選一種以下的玩法，如果要你選，你選哪種下的玩法，如果要你選，你選哪種?(1). 投投1只骰子只骰子 4次，若能得次，若能得“6”點就算贏點就算贏(2). 投投2只骰子只骰子24次，若能得雙次，若能得雙“6”點就算贏點就算贏( )1/6P A 則(1)設(shè)設(shè)A=“任投一次得任投一次得6點點”，X表示表示4次投擲中得次投擲中得“6點點”的次數(shù)的次數(shù)X(4,1/ 6)BY(

11、24,1/36)B(2)設(shè)設(shè)A事件同上，事件同上，Y表示表示24次投擲中得雙次投擲中得雙“6點點”的次數(shù)的次數(shù)( )1/36P A 則(1)1(0)P XP X 040411/61 1/60.5177C (1) 1(0)P YP Y 02402411/3635/360.4991C 因此應(yīng)選（因此應(yīng)選（1）13例：一口袋中有例：一口袋中有10個球，其中個球，其中4紅紅6白，若從中任取三白，若從中任取三只，問恰有一只紅球的概率只，問恰有一只紅球的概率 多少？多少？12463101()2C CP BC用超幾何分布概率公式：解：不放回取球時，各次取球不獨立解：不放回取球時，各次取球不獨立4656456

12、541()1098109810982P B 用分步法：紅 白 白白紅 白白 白 紅放回取球時，各次取球獨立，可用二項分布放回取球時，各次取球獨立，可用二項分布設(shè)設(shè)A=“任取一球為紅球任取一球為紅球”，P(A)=0.4X表示所取三只球中紅球的只數(shù)表示所取三只球中紅球的只數(shù)(3,0.4)XB則 123( )(1)0.4 0.60.432P BP XC( )P B14例：有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗，從中任例：有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗，從中任取取1010件，經(jīng)檢驗無次品接受這批產(chǎn)品，次品大于件，經(jīng)檢驗無次品接受這批產(chǎn)品，次品大于2 2拒收；否拒收；否則作第二次檢驗

13、，從中任取則作第二次檢驗，從中任取5 5件，僅當件，僅當5 5件中無次品時才接受件中無次品時才接受這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p p求這批產(chǎn)品能被接受的概率求這批產(chǎn)品能被接受的概率( )P A (|12)(0|12)(0)P AXP YXP Y(0)(|0)P XP A X(12)(|12)PXP AX(2)(|2)P XP A X101922851010(1)1 (1)(1) (1)0pC ppC ppp 解：設(shè)解：設(shè)X X為第一次抽得的次品數(shù)，為第一次抽得的次品數(shù)，Y Y為第為第2 2次抽得的次品數(shù)；次抽得的次品數(shù)；則則 XB(10, p)， YB(5, p)且且X

14、=i與與Y=j獨立獨立.記記A=接受該批接受該批, 則則10件中次品數(shù)為件中次品數(shù)為“0”、“12”、“2以上以上” 為一個劃為一個劃分分.15 泊松分布泊松分布(Poisson(Poisson分布分布) )若隨機變量若隨機變量X X的概率分布律為的概率分布律為稱稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布，記的泊松分布，記() 0,1,2, 0!keP Xkkk，( )X 4.54.5() 0,1,2,!keP Xkkk， 4.51 (2)1(0)(1)1(14.5)0.9389P XP XP Xe (2)2 (2|2)0.1198(2)P XP XXP X( ) 4.5X ， 例：設(shè)某汽車停靠站

15、候車人數(shù)例：設(shè)某汽車停靠站候車人數(shù) (1)(1)求至少有兩人候車的概率；求至少有兩人候車的概率； (2)(2)已知至少有兩人候車，求恰有兩人候車的概率。已知至少有兩人候車，求恰有兩人候車的概率。 解：16例：某商店每天的顧客數(shù)是隨機變量例：某商店每天的顧客數(shù)是隨機變量 ，設(shè)每個進店購物，設(shè)每個進店購物的概率為的概率為p p，顧客之間是否購物相互獨立，求該店每天購物的顧，顧客之間是否購物相互獨立，求該店每天購物的顧客數(shù)（客數(shù)（Y Y）的概率分布律）的概率分布律。( )X (),0,1,2,!neP Xnnn其中：解：引起A=“Y=k”發(fā)生的前導事件組是X=0，X=1，X=2等()() ()n k

16、P YkP Xn P Yk Xn由全概率公式：( , )Y XnB n p()(1),0,1,2,kkn kkkn knnP Yk XnC ppC p qkn()!nkkn knn kePYkC p qn!()!nkn kn kenp qnk n k!()!kn kn kpeqkn k,0,1,2,!kpp ekkYp !kqpeek1710,0.1, 1, kn kkknnpeC ppnpk一般認為，二項分布與泊松分布有以下近似 式： 公當時其中！( )( )01000()( )( )()()!(1)!knnknkxf xxxxxknff00!1!kkkkekek0121110!1!2!xe

17、xxx注意：0 xx其中 在 和 之間234111xxxxx22111 23(1)1xxxx 18幾何分布-1123()(1- ),1,2,3,X( )kXP XkppkpXG ppAAkkA設(shè)某隨機變量 的可能取值是 ， ， ， ，且則稱隨機變量 服從參數(shù)為的幾何分布。記為：其中為一次獨立試驗中事件 發(fā)生的概率，是分布的一個參數(shù)。幾何分布反映了直到事件 發(fā)生為止，所做的試驗次數(shù)恰為次的概率問題，也即反映了直到第次才發(fā)生事件 的概率問題。19 例：某人進行獨立射擊，每次命中率為例：某人進行獨立射擊，每次命中率為0.250.25，射擊直，射擊直到命中目標為止。求直到命中恰好進行了到命中目標為止。

18、求直到命中恰好進行了3 3次的概率次的概率; ; 直到命中所射次數(shù)不多于直到命中所射次數(shù)不多于3 3次的概率。次的概率。1121()()(1), 1,2,kkkP XkP A AAApp k則由幾何分布：解：設(shè)解：設(shè) A A=命中目標命中目標 A Ai i=第第i i次次A A發(fā)生發(fā)生 ，i i=1,=1,2,2, 則則 A A1 1,A,A2 2相互獨立相互獨立, , P( (Ai)= P(A)=p=0.253 1(3)(10.25)0.250.141P X(3)(123)P XPXXX(1)(2)(3)0.578P XP XP X20 例：某人騎自行車從學校到火車站，一路上要經(jīng)例：某人騎自

19、行車從學校到火車站，一路上要經(jīng) 過過3 3個獨立的交通燈，設(shè)各燈工作獨立，且設(shè)個獨立的交通燈，設(shè)各燈工作獨立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為各燈為紅燈的概率為p，0 0p1 1，以，以X X表示首次表示首次 停車時所通過的交通燈數(shù)，求停車時所通過的交通燈數(shù)，求X X的概率分布律。的概率分布律。1(0)() P XP Ap；12(1)()(1) P XP A Ap p；2123(2)()(1) P XP A A App；3123(3)()(1) P XP A A Ap；pX0123p(1-p) p(1-p)2p(1-p)3 0 ,1 ,2 3XXXXS注意：為 的一個劃分解：設(shè)解：設(shè)A=信號燈信號燈為

20、紅燈為紅燈，Ai=第第i個燈為紅燈（個燈為紅燈（A A發(fā)生）發(fā)生） ， 則則P( (Ai)=)= p ，i=1,2,3 =1,2,3 且且A1, ,A2, ,A3相互獨立。相互獨立。P(A)= p 01 23XX注意：以上， ， 時的概率符合幾何分布概率公式計算，而時用二項分布計算。213 隨機變量的分布函數(shù), ( )()XxF xP XxX定義：隨機變量對任意實數(shù)稱函數(shù)為的概率分布函分數(shù)，簡稱布函數(shù)。4)()( )( )P aXbF bF a1) ( )F x 是單調(diào)不減函數(shù)( )F x 的幾何意義：xX( )F x 的性質(zhì)：2) 0( )1 ()0()1F xFF ，且，3) ( ),(0

21、)( ).F xF xF x右連續(xù) 即對于非離散型變量，由于其不可列，故考慮區(qū)間上的概率對于非離散型變量，由于其不可列，故考慮區(qū)間上的概率問題，注意到問題，注意到 aXbXbXaab22 例： 解：0 0( ) 011 1xF xP XxqxxpX01qp(1)(1)P XP Xp (1) 1( )1P XpxF x比較與 當時， 1XF xP X 求 的概率分布函數(shù)及的值。01q1x F x(01)0PX注意：(01)(01 1 )(01)(1) 0PXPXXPXP Xpp 不相容(01)(1) (0) 1PXFqp 右連續(xù)點234 4 連續(xù)型隨機變量及其連續(xù)型隨機變量及其概率密度概率密度定

22、義：定義： 對于隨機變量對于隨機變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 若存在若存在 非負的函數(shù)非負的函數(shù) 使對于任意實數(shù)使對于任意實數(shù) 有：有： ( ),f x( )( )xF xf t dt( ),F x, x 則稱則稱X X為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量， ( )f xXX其中稱為 的概率密度函數(shù)，簡稱也稱 的密概率密度，度函數(shù)。24 這與物理學中的質(zhì)量線密度的定義相類似與物理學中的質(zhì)量線密度的定義相類似()( ),( )P xXxxf xxXxx xxf xx這表示 落在點附近（的概率近似等于00()( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx ( )f

23、 x 的性質(zhì)：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx21122112 () ( ) xxxx xxP xXxf t dt3) 對于任意的實數(shù) ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在連續(xù)點 ，( )f x即在的連續(xù)點( )yf x1面積為1x2x12 P xXx() 0P XC25 例：設(shè)例：設(shè)X X的概率密度為的概率密度為(1)(1)求常數(shù)求常數(shù)c c的值；的值； (2)(2)寫出寫出X X的概率分布函數(shù)；的概率分布函數(shù)；2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 1( )f t dt解： 10136013620009dtcdtdtdtdt23c1

24、3c0136(3)要使要使 求求k的值。的值。26 - ( )( )=( )xf xF xP Xxf t dt2參考的分段情況， 求分布函數(shù) 2 ()( )3P XkF k3 為使000101013013 0 ,010 ,0131( )00 ,1331200 , 3639 1 ,6xxxxdtdtxF xdtdtdtxdtdtdtdtxx0 03 011 3 13(23)/9 361 6xxxxxxx01362324.593kk 01( )2 9 360 cxf xx其他271= lim( )0 xF xABA解：由分布函的性：數(shù)質(zhì),0( ),A, B=?0,0 xABexXF xx例 ：求設(shè)

25、00lim( )(0)01xF xFABeB ,0( ), (12)10,0AxxXF xAPXxx例：求和設(shè)1= lim( )lim1xxAxF xAx數(shù)質(zhì)解解：由由分分布布函函的的性性：1(12)(2)(1)6PXFF28 幾個重要的連續(xù)量幾個重要的連續(xù)量 均勻分布均勻分布 定義：定義：X X具有概率密度具有概率密度 稱稱X X在在( (a a, ,b b) )上服從均勻分布，記為上服從均勻分布，記為X XU U( (a a, ,b b) ) 而在而在 a a, ,b b 上服從均勻分布，記為上服從均勻分布，記為X XU U a a, ,b b 1()s LsassLbLP sXsLdtb

26、aba設(shè)0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb1 ( , )( )0 xa bf xba其他 f x0bxa1b a F x0bxa1與s無關(guān)29 例：在區(qū)間例：在區(qū)間(-1,2)(-1,2)上隨機取一數(shù)上隨機取一數(shù)X X， (1)(1)試寫出試寫出X X的概率密度；的概率密度； (2)(2)求求 的值；的值； (3)(3)若在該區(qū)間上隨機取若在該區(qū)間上隨機取1010個數(shù)，求個數(shù)，求1010個數(shù)中恰個數(shù)中恰有有 兩個數(shù)大于兩個數(shù)大于0 0的概率。的概率。1, 12( )30, xf x 其他2(10, )3YB2821021(2)33P YC (0)P X 解：解：(1)X(1)X在區(qū)間

27、在區(qū)間(-1,2)(-1,2)上均勻分布上均勻分布(3)(3)設(shè)設(shè)1010個數(shù)中有個數(shù)中有Y Y個數(shù)大于個數(shù)大于0 0，則：則：+20012(0)( )33P Xf x dxdx或(0)P X -1012(2)2022( 1)3 30(0,),(0.5),(10.5)YUXP YP XY求31(0.5)() (0.5)iP YP Xi P YXi32112例：設(shè)例：設(shè)X的分布律為：的分布律為：解：解：Y的取值與的取值與X有關(guān)，把有關(guān)，把“Y0.5”作為一個事件，該事作為一個事件，該事件與件與X=1，2，3事件有關(guān)。事件有關(guān)。11111116234264(1) (0.51)(1,0.5)1(10

28、.5)(0.5)(0.5)3P XPYXP XYP XYPYPY由貝葉斯公式：由貝葉斯公式：由全概率公式：由全概率公式：X1316kP31 指數(shù)分布定義：設(shè)定義：設(shè)X X的概率密度為的概率密度為其中其中 為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)的指數(shù)分布。注意也有資料用分布。注意也有資料用 表示參數(shù)的表示參數(shù)的1 0( )0 0 xexf xx1 0( )0 0 xexF xx0000,0,(|)ttP Xtt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P XtX X具有如下的無記憶性：具有如下的無記憶性：01可記為：XExp()()()P Xs

29、 XtP Xst無記憶性或?qū)憺椋?2例：設(shè)某種電子元件的壽命（以小時計）例：設(shè)某種電子元件的壽命（以小時計） 的（參數(shù)的（參數(shù)=10）指數(shù)分布，求：指數(shù)分布，求：（1）任取一只元件其壽命大于）任取一只元件其壽命大于10小時的概率小時的概率（2）任取三只元件中正好有一只壽命大于）任取三只元件中正好有一只壽命大于10小時的概率小時的概率（3）已知一只元件使用了）已知一只元件使用了15小時未壞，問該元件還能用小時未壞，問該元件還能用10小時的概率小時的概率0.10.10 ( )00 xexXf xx0.10.111010 1(10)0.1()xxP Xedxee 解：（ ）1()(10)P AP X

30、ep1(3,)YBe111 23(1)(1)P YC ee1(3)(15 1015)(10)P XXP Xe（2）設(shè)A=“任取一只元件其壽命大于任取一只元件其壽命大于10小時小時”Y表示任取三只元件中壽命大于任取三只元件中壽命大于10小時的元件只數(shù)小時的元件只數(shù)331,0( ),00,01(510),(20)4xexXf xxPXP X例：已知未知，求51011(510)4105xPXedxee解：5521()4ee即：512=e201(20)20 xP Xedxe541()16e34 正態(tài)分布定義：設(shè)定義：設(shè)X X的概率密度為的概率密度為其中其中 為常數(shù)，稱為常數(shù)，稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)

31、為 的正態(tài)分布的正態(tài)分布(GaussGauss分布分布)，記為記為可以驗證：可以驗證：22()21( ) 2xf xex ，2(,)XN ( )1f x dx+ ( )f x dx22 tIedt記2212xttedt令2212tedt22()22xyIedxdy22200rdredr2I( )1f x dx2, 2, x0 f x35稱為位置參數(shù)(決定對稱軸位置)max1 ( )12 ( )23 ( )0 xf xxfflimf x關(guān)于對稱0 f x1x5522()221( ) 2( ,)xf xexXN ，為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)0.51.0 f xx1.50.7980.3990.26

32、6036X X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。 當固定當固定時，時，越大，曲線的峰越低，落越大，曲線的峰越低，落在在附近的概率越小，取值就越分散，附近的概率越小，取值就越分散， 是反映是反映X X的取值分散性的一個指標。的取值分散性的一個指標。 在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機變量在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布。服從或近似服從正態(tài)分布。37 (0 1) ZNZ記， ，稱 服從標準正態(tài)分布2( ,) ,()()()baXNP aXb ( )()F xPX x tz作變換： 221 2xZxe的概率密度：221 ( )2txZxe

33、dt的分布函數(shù)： 1( )()xxxx 22()212txedt221( )2xzF xedz( )yx( )x()x 0yxxx()x 2-( ,),(0,1)XXNN 則-()1(),()()abP XaP Xb 當然也有：38 例：2( ,)XN ()() (1)( 1)2(1) 10.6826P XPX (2 )2(2) 10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 查書后附表99.74%3268.26%2395.44%3法則39 例：一批鋼材例：一批鋼材( (線材線材) )長度長度(1)(1)若若=100=100，=2=2，求這批鋼材長度小于求這批鋼材長度小于97.

34、8cm97.8cm的概率；的概率；(2)(2)若若=100=100，要使這批鋼材的長度至少要使這批鋼材的長度至少有有90%90%落在區(qū)間落在區(qū)間(97,103)(97,103)內(nèi)，問內(nèi)，問至多取何值？至多取何值？2( ,)XN (97.8)P X 解：(1)97.8 100()2 1(1.1) 1 0.86430.1357查附表= 9710390%PX(2) 令：103 100971003 ()()2()190% 即3()0.95 31.6451.8237()cm40 例：設(shè)某地區(qū)男子身高例：設(shè)某地區(qū)男子身高(1) 從該地區(qū)隨機找一男子測身高，求他的身高大于從該地區(qū)隨機找一男子測身高，求他的身

35、高大于175cm175cm的概率；的概率；(2) 若從中隨機找若從中隨機找5個男子測身高個男子測身高,問至問至少有一人身高大于少有一人身高大于175cm175cm的概率是多少？恰有一人身的概率是多少？恰有一人身高高大于大于175cm175cm的概率為多少？的概率為多少？2()(169.7,4.1 )X cmN (175)P X 解： (1) 5175(5, ), 0.0985cmbpp(2) 設(shè) 人中有Y人身高大于，則Y其中175 169.71()4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表5(1)1(0)1 (1)0.4045P YP Yp 1145(1)(1)0.3253P

36、 YC pp41例：設(shè)從甲地到乙地有兩條路，所需時間（分鐘）例：設(shè)從甲地到乙地有兩條路，所需時間（分鐘）分別是分別是 和和 ，若某人，若某人有有70分鐘時間從甲地趕往乙地，為及時參加重要分鐘時間從甲地趕往乙地，為及時參加重要會議，應(yīng)該選哪條路？如果時間只有會議，應(yīng)該選哪條路？如果時間只有65分鐘又該分鐘又該選哪條路？選哪條路？2(50,10 )XN2(60,4 )YN(70)P X 解：7050()(2)10 (70)P Y 7060()(2.5)4 (65)P X 6550()(1.5)10 (65)P Y 6560()(1.25)4 所以，有所以，有70分鐘時選第二條路，有分鐘時選第二條路

37、，有65分鐘時選第一條路分鐘時選第一條路425 5 隨機變量的函數(shù)分布隨機變量的函數(shù)分布問題：已知隨機變量問題：已知隨機變量X X的概率分布，且已知的概率分布，且已知Y=g(X)Y=g(X)， 求求Y Y的概率分布。的概率分布。2(,)XN ，(0)P Y (0)0.4P X(1)P Y (1)(1)PXX (1)(1)0.6P XP X 例如，若要測量一個圓的面積，總是測量其半徑，半徑的例如，若要測量一個圓的面積，總是測量其半徑，半徑的測量值可看作隨機變量測量值可看作隨機變量X X，若，若 則則Y Y服從什么分布？服從什么分布？例例1 1：已知：已知X X具有概率分布具有概率分布 且設(shè)且設(shè)Y

38、=XY=X2 2，求，求Y Y的概率分布。的概率分布。解：解：Y Y的所有可能取值為的所有可能取值為0,10,1即找出即找出(Y=0)(Y=0)的等價事件的等價事件(X=0)(X=0)； (Y=1)(Y=1)的等價事件的等價事件(X=1)(X=1)或或(X=-1)(X=-1)2YX110或把或把Y值列在表的下面，合并同值項，對應(yīng)概率相加。值列在表的下面，合并同值項，對應(yīng)概率相加。0YkP10.60.4X101kP43例例2：設(shè)隨機變量：設(shè)隨機變量X具有概率密度具有概率密度 求求Y=X2的概率密度。的概率密度。, 04( )80, Xxxfx其他2( )YFyP YyP Xy

39、0( )0YyFy當時，； 16 ( )()YyFyPyXy當時， 016 y當時,( ) ( )XYF x F y，解：分別記X,Y的分布函數(shù)為( )0YFyPXy0816ytydt1, 016( )160, Yyfy其他Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。144 例2設(shè)隨機變量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。, 04( )80, Xxxfx其他2( )YFyP YyP Xy 0( )0;YyFy當時， 0 y 當時,( ) ( )XYF x F y，解：分別記X,Y的分布函數(shù)為( )YFyPyXy()()XXFyFy1()(), 02( )0, 0 XXYfyfyyyfyy( )( )Y

40、YfyFy11()()22XXfyfyyy1(), 020, 0 Xfyyyy0, 011, 01681620,16yyyyy1, 0 16160, y其他45一般，若已知一般，若已知X X的概率分布，的概率分布，Y=g(X)Y=g(X)，求，求Y Y的的 概率分布的過程為：概率分布的過程為：12 ,(),()();jjiYYy yyYyXDP YyP XD1. 若 為離散量，則先寫出 的可能取值：再找出的等價事件得2. ( )() (), ( )()( )YYYYYFyP YyYyXDFyP XDYfy若為連續(xù)量，則先寫出 的概率分布函數(shù)：，找出的等價事件得；再求出 的概率密度函數(shù)；不管哪種

41、類型，關(guān)鍵是找出等價事件?；虬裏值列在表的下面，合并同值項，對應(yīng)概率相加。46 例3：設(shè) Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。13X-110p131323Z01p13解：Y的可能取值為-2,0,2 Z的可能取值為0,1(Y=-2)的等價事件為(X=-1)(Z=1)的等價事件為(X=1)(X=-1)故得：13X-110p13132YX2ZX20210113Y-220p131347 例4：2( ) ( ).YXf xxYXYfy 設(shè) 的概率密度為，求 的概率密度( )YYFy解：設(shè) 的概率分布函數(shù)為 0( )YyFy當時，()P Yy2()P Xy( )yyf t dt00( )( )yyf

42、t dtf t dt( )( )YYfyFy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy( )( )( )( ) ( )( ( ) ( )xau xadf xf t dtf xdxdf t dtf u x u xdx連續(xù)時，2( )()()()()YXXFyP XyPyXyFyFy或4825( 1,0)(1,2),( )( )XYXYXfxfy例 ：若，求 及11,( 1,0)(1,2)( )1 120,Xxfx 解：其他2( )()()YFyP YyP Xy0,( )0YyFy20,( )()()()YyF yPYyP XyPyXy()()XXFyFy1()() ,02( )0,0XXYf

43、yfyyyfyy0)(0yfyY時，當yyyfyY4121021)(10時，當yyyfyY4102121)(41時，當00021)(4yyfyY時，當1,0,1,20,1,1,4-0)xy 當時，考慮區(qū)間（，（0,1)1,4)4,+1,044( )0,Yyyfy綜上，其他49例例6：設(shè)某紡紗機在任一時間間隔：設(shè)某紡紗機在任一時間間隔t（分鐘）內(nèi)出現(xiàn)的斷頭（分鐘）內(nèi)出現(xiàn)的斷頭次數(shù)次數(shù) ，求，求( ) ()N tt ()( ( ),0,1,2,!ktt eP N tkkk解：泊松分布分布律公式：01010(10 )(1)(10)0)0!eP Ne（1）首次斷頭在）首次斷頭在10分鐘以后出現(xiàn)的概率分

44、鐘以后出現(xiàn)的概率（2）兩次斷頭之間的間隔時間）兩次斷頭之間的間隔時間Y（分鐘）的概率密度（分鐘）的概率密度(2)0( )()YyF yP Yy，1()PYy 1( )0)P N y 0()110!yyy ee 1,0( )0,0yYeyFyy ,0( )( )0,0yYYeyfyF yy50 0 (), 2tttN tttPoissonTT 例：某大型設(shè)備在任何長度為的區(qū)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)即 服從參數(shù)為的分布，記設(shè)備無故障運行時間為 1 求 的概率分布函數(shù)； 已知設(shè)備無故障運行 個小時，求再無故障運行個小時的概率。 , 0,1,2,!ktteP N tkkk解： 1 00TtFtP Tt當時， 0TtFtP Tt當時， 0000t2t|tttP TtP Tt TeP TtP T0000()()0000=1()1 (1)=1( )1 (1)ttttttP TttF tteeP TtF tee 其中：1,0()0,0tTetF tt 1P Tt 101tP N te 51( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY 定理：設(shè)，或。， 則 具有概率密度為：( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他(), () ( )0() ()( )( )gggxggh yxyg x其中， 當時，( )0,g x 證明：不妨設(shè)( )0h y 且：( )(