信號與系統教案第2章(吳大正)

1、信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-1頁電子教案精選版課件ppt1第二章第二章 連續(xù)系統的時域分析連續(xù)系統的時域分析2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應 一、微分方程的經典解一、微分方程的經典解 二、關于二、關于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零輸入響應和零狀態(tài)響應三、零輸入響應和零狀態(tài)響應2.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應 一、沖激響應一、沖激響應 二、階躍響應二、階躍響應2.3 2.3 卷積積分卷積積分 一、信號時域分解與卷積一、信號時域分解與卷積 二、卷積的圖解二、卷積的圖解2.4 2.4 卷積積分的性質卷積積分的性質

2、一、卷積代數一、卷積代數 二、奇異函數的卷積特性二、奇異函數的卷積特性 三、卷積的微積分性質三、卷積的微積分性質 四、卷積的時移特性四、卷積的時移特性點擊目錄點擊目錄 ，進入相關章節(jié)，進入相關章節(jié)信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-2頁電子教案精選版課件ppt2 LTI連續(xù)系統的時域分析，歸結為：連續(xù)系統的時域分析，歸結為：建立并求解線建立并求解線性微分方程性微分方程。 由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間t，故，故稱為稱為時域分析法時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析

3、法的基礎。是學習各種變換域分析法的基礎。 第二章第二章 連續(xù)系統的時域分析連續(xù)系統的時域分析2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應一、微分方程的經典解一、微分方程的經典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-3頁電子教案精選版課件ppt32.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應微分方程

4、的經典解：微分方程的經典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解）齊次解齊次解是齊次微分方程是齊次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。yh(t)的函數形式的函數形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根確定。確定。例例 描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）當）當f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1時的全解；時的全解； （2）當）當f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1

5、，y(0)=0時的全解。時的全解。 特解特解的函數形式與激勵函數的形式有關。的函數形式與激勵函數的形式有關。P43表表2-1、2-2齊次解齊次解的函數形式僅與系統本身的特性有關，而與激勵的函數形式僅與系統本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數形式無關，稱為系統的的函數形式無關，稱為系統的固有響應固有響應或或自由響應自由響應；特解特解的函數形式由激勵確定，稱為的函數形式由激勵確定，稱為強迫響應強迫響應。信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-4頁電子教案精選版課件ppt42.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應解解: (1) 特征方程為特征方程為2 + 5+

6、6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齊次解為。齊次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t由表由表2-2可知，當可知，當f(t) = 2e t時，其特解可設為時，其特解可設為 yp(t) = Pe t將其代入微分方程得將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1于是特解為于是特解為 yp(t) = e t全解為：全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常數待定常數C1,C2由初始條件確定。由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，

7、y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-5頁電子教案精選版課件ppt5（2）齊次解同上。當激勵）齊次解同上。當激勵f(t)=e2t時，其指數與特征根時，其指數與特征根之一相重。由表知：其特解為之一相重。由表知：其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。全解為不能求得。全解為 y(t)= C1e2t + C

8、2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t將初始條件代入，得將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一項的系數上式第一項的系數C1+P0= 2，不能區(qū)分，不能區(qū)分C1和和P0，因而也，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。不能區(qū)分自由響應和強迫響應。 2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應信號與系統信號與系統西

9、安電子科技大學電路與系統教研中心第2-6頁電子教案精選版課件ppt62.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應二、關于二、關于0-和和0+初始值初始值 若輸入若輸入f(t)是在是在t=0時接入系統，則確定待定系數時接入系統，則確定待定系數Ci時用時用t = 0+時刻的時刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統包含了輸入信號的作用，不便于描述系統的歷史信息。的歷史信息。 在在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映反映了了系統的歷史情況系統的歷史情況而

10、與激勵無關。稱這些值為而與激勵無關。稱這些值為初始狀初始狀態(tài)態(tài)或或起始值起始值。 通常，對于具體的系統，初始狀態(tài)一般容易求得。通常，對于具體的系統，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設法求得設法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。下列舉例說明。 信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-7頁電子教案精選版課件ppt7例例：描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)

11、=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：將輸入將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用利用系數匹配法系數匹配法分析：上式對于分析：上式對于t=0-也成立，在也成立，在0-t 0 信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-11頁電子教案精選版課件ppt112.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應（2）零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應yf(t) 滿足滿足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(

12、0-) = 0由于上式等號右端含有由于上式等號右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，從而，從而yf(t)躍變，即躍變，即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0連續(xù)，連續(xù)，即即yf(0+) = yf(0-) = 0，積分得，積分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+2 0000d)(62d)(ttttyf因此，因此，yf(0+)= 2 yf(0-)=2 對對t0時，有時，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6不難求得其齊次解為不難求得其齊次解為Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解為常數，其特解為常數3，于是有于

13、是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-12頁電子教案精選版課件ppt122.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應2.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應一、沖激響應一、沖激響應 由單位沖激函數由單位沖激函數(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應稱為稱為單位沖單位沖激響應激響應，簡稱沖激響應，記為，簡稱沖激響應，記為h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”

14、(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應求其沖激響應h(t)。 解解 根據根據h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-13頁電子教案精選版課件ppt132.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數平衡法。，故利用系數平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得。積分

15、得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考慮考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對對t0時，有時，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統的沖激響應為一齊次解。故系統的沖激響應為一齊次解。 微分方程的特征根為微分方程的特征根為-2，-3。故系統的沖激響應為。故系統的沖激響應為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)

16、(t) 信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-14頁電子教案精選版課件ppt142.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應 例例2 描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應求其沖激響應h(t)。 解解 根據根據h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) =

17、a(t) + p1(t) pi(t) 為不含為不含(t) 的某函數的某函數 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，有信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-15頁電子教案精選版課件ppt152.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)

18、(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系數匹配，得系數匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）對式對式(3)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) = 3對式對式(4)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12信號與系統信號與系統西安電子科技

19、大學電路與系統教研中心第2-16頁電子教案精選版課件ppt162.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應微分方程的特征根為微分方程的特征根為 2， 3。故系統的沖激響應為。故系統的沖激響應為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始條件代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0結合式結合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)對對t0時，有時，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0二、階躍響應二、階躍響應g(t)= T (t) ，0t

20、tgthhtgtd)(d)(,d)()(由于由于(t) 與與(t) 為微積分關系，故為微積分關系，故信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-17頁電子教案精選版課件ppt172.3 2.3 卷積積分卷積積分2.3 2.3 卷積積分卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1 . .信號的時域分解信號的時域分解(1) (1) 預備知識預備知識p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)問問 f1(t) = ? p(t)直觀看出直觀看出)(A)(1tptf信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-18頁電子教案精選版課件ppt182

21、.3 2.3 卷積積分卷積積分(2) (2) 任意信號分解任意信號分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”號脈沖高度號脈沖高度f(0) ,寬度為寬度為，用用p(t)表示為表示為：f(0) p(t)“1”號脈沖高度號脈沖高度f() ,寬度為寬度為，用，用p(t - - )表示為：表示為： f() p(t - - )“- -1”號脈沖高度號脈沖高度f(- -) 、寬度為、寬度為，用，用p(t + +)表示為表示為： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統

22、教研中心第2-19頁電子教案精選版課件ppt192.3 2.3 卷積積分卷積積分2 . .任意任意信號作用下的零狀態(tài)響應信號作用下的零狀態(tài)響應L LT TI I系系統統零零狀狀態(tài)態(tài)yf(t)f (t)根據根據h(t)的定義：的定義：(t) h(t) 由時不變性：由時不變性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齊次性：由齊次性：f () h(t - -)由疊加性：由疊加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷積積分卷積積分信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-20頁電子教案精選版課件ppt202.3 2.3 卷積積

23、分卷積積分3 . .卷積積分的定義卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數）上的兩個函數f1(t)和和f2(t)，則定義積分則定義積分 dtfftf)()()(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設的變量：積分是在虛設的變量下進行的，下進行的，為積分變量，為積分變量，t為參變量。結果仍為為參變量。結果仍為t 的函數。的函數。 )(*)(d)()()(thtfthftyf信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-21頁電子教案精選版課件ppt212.3

24、 2.3 卷積積分卷積積分例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求，求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt當當t t時，時，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-22頁電子教案精選版課件ppt222.3 2.3 卷積積分卷積積分二、卷積的圖解法二、卷積的圖解法dtfftftf)()()(*)(2121卷積過程可分解為四步卷積過程可分解為四

25、步：（1）換元換元： t換為換為得得 f1()， f2()（2）反轉平移反轉平移：由：由f2()反轉反轉 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘積乘積： f1() f2(t-) （4）積分積分： 從從 到到對乘積項積分。對乘積項積分。注意：注意：t為參變量。為參變量。下面舉例說明。下面舉例說明。信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-23頁電子教案精選版課件ppt232.3 2.3 卷積積分卷積積分例f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用圖形卷積 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時時

26、, f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故，故 yf(t) = 0 0t 1 時時, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2時時4121d21)(1ttyttf 3t 時時f ( t - -) h() = 0，故，故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函數形式復雜函數形式復雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 時時432141d21)(221tttytf0h

27、( )f (t - )2013信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-24頁電子教案精選版課件ppt242.3 2.3 卷積積分卷積積分圖解法圖解法一般比較繁瑣，但一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。還是比較方便的。確定積確定積分的上下限是關鍵。分的上下限是關鍵。例例：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已知如圖所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12

28、fff（1）換元）換元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積為（面積為0）信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-25頁電子教案精選版課件ppt252.4 2.4 卷積積分的性質卷積積分的性質2.4 2.4 卷積積分的性質卷積積分的性質 卷積積分是一種數學運算，它有許多重要的性質卷積積分是一種數學運算，它有許多重要的性質（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。下（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。下面討論均設卷積積分是收斂的（或存在的）。面討論均設卷積積

29、分是收斂的（或存在的）。 一、卷積代數一、卷積代數滿足乘法的三律：滿足乘法的三律：交換律交換律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)1. 3. 結合律結合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-26頁電子教案精選版課件ppt262.4 2.4 卷積積分的性質卷積積分的性質二、奇異函數的卷積特性二、奇異函數的卷積特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t)

30、= f(t) 證：證：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 證：證：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-27頁電子教案精選版課件ppt272.4 2.4 卷積積分的性質卷積積分的性質三、卷積的微積分性質三、卷積的微積分性質1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121證：上式證：

31、上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff證：上式證：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-28頁電子教案精選版課件ppt282.4 2.4 卷積積

32、分的性質卷積積分的性質例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常復雜函數放前面，代入定義式得：通常復雜函數放前面，代入定義式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 顯然是錯誤的顯然是錯誤的。例例2：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信號與系統信號與系統西安電子科技大學電路與系統教研中心第2-29頁電子教案精選版