兒童麻疹流行蔓延的數(shù)學模型

1、實驗報告1 實驗題目兒童麻疹流行蔓延的數(shù)學模型2 實驗問題陳述試組建一個能描述兒童麻疹流行蔓延的數(shù)學模型，我們將考慮在接種疫苗成為有效的防疫手段之前的麻疹的流行。下表一給出了英國倫敦在1647年-1660年間每年麻疹病的死亡人數(shù)。表一：倫敦每年麻疹死亡人數(shù)（1647-1660）年代4748495051525354555657585960人數(shù)5923333362852111531580674可以看出，它是以2年為周期的周期性流行。已知麻疹的潛伏期是0.5周，在這段時期內(nèi)一個被感染的孩子表面看來是正常的，但卻會傳染給別人。過了這段時間后，患病的孩子一直被隔離到痊愈為止。痊愈后孩子是免疫的。假設每個

2、感染者隨機地與他人接觸。證明你的模型有某種周期性質(zhì)。如果不然，就修改你的模型。因為麻疹的流行肯定是趨于周期式地出現(xiàn)的。估計你組建的模型中的參數(shù)，以擬合0.5周的潛伏期及2年周期性流行的觀測結果。判斷估計出的參數(shù)是否實際。3 實驗目的通過表中數(shù)據(jù)，建立麻疹流行蔓延模型，以擬合0.5周的潛伏期及2年周期性流行的觀測結果，判斷估計出的參數(shù)是否實際。4 實驗內(nèi)容模型假設：（1）除感病特征外，人群中的個體間沒有差異，感病者與易感者的個體在人群中混合是均勻的。（2）人群的數(shù)量足夠大，只考慮傳染過程的平均效應。（3）易感者感病的機會與他接觸感病者的機會成正比。（4）疾病的傳染率為常數(shù)。（5）一般的麻疹爆發(fā)在

3、幾十天，我們不考慮在一次麻疹爆發(fā)時間內(nèi)某地區(qū)的出生人口和死亡人口，以及人口的遷入和遷出。（6）感病痊愈者（即移出者）移出模型，而不再成為易感者人群中的成員。變量說明：S(t)：易感者在人群中所占的比例I(t)：感病者在人群中所占的比例R(t)：移出者在人群中所占的比例 K：疾病的傳染率 h：單位時間內(nèi)痊愈的百分數(shù)一個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸易感者的平均人數(shù)，成為接觸數(shù)-初始時刻問題分析:對麻疹流行蔓延的周期性質(zhì)進行說明。通過對SIR模型及麻疹流行的機理分析，在一次麻疹爆發(fā)以后絕大多數(shù)人體內(nèi)具有了麻疹免疫抗體，因此絕大多數(shù)新生嬰兒體內(nèi)具有抗體，考慮到引起流行周期的原因是易感人群的積累，易感人群來

4、源于新生兒因母體抗體逐漸消失而易感、既往沒有患過麻疹的兒童和成人。通常認為在自然感染狀態(tài)下，這些易感者積累到一個以上出生隊列時，就達到爆發(fā)的“臨界”。若將同一年出生的人群組定義為一個出生隊列，出生隊列出現(xiàn)的周期性在一定程度上可以說明麻疹流行的周期性。所以我們用積累一個出生隊列的時間來表示一次爆發(fā)的臨界。模型建立通過對問題的分析，模型可以表示為：，其中考慮到初始條件，可知上述三個方程是相容的，因此可以化簡為：由于方程組無法求出解析解，故可以在S-I的像平面上討論解的性質(zhì)，相軌線的定義域為：由以上方程可知軌線的方程為：，其解為：。5 實驗結果分析與討論由題目中表格給出的麻疹死亡人數(shù)與年份的對應關系

5、，用MATLAB編程畫出的曲線圖如圖一所示：【圖一】 由于對S(t)和I(t)的求1解非常困難，所以先用數(shù)值計算的方法來預估計S(t)和I(t)的一般變化規(guī)律。在方程（1）中設k=1，h=0.3，I(0)=0.02，S(0)=0.98。編寫MATLAB程序并運行得到如圖二， 【圖二】【注】圖中藍色曲線為I(t)，即病人比例；綠色曲線為S(t),即健康人比例。從時間流程圖中可以看出，隨著時間的增加，S(t)單調(diào)遞減，I(t)在時達到峰值以后會隨時間減小，當時，S(t)值很小，而I(t)=0。說明在一次麻疹疫情爆發(fā)以后絕大多數(shù)的人體內(nèi)已經(jīng)具有麻疹免疫抗體，被移出除傳染系統(tǒng)。c. 對結果的分析參數(shù)中

6、取h為0.3，則潛伏期為1/h=3.33天，約等于0.5周。同時我們可以看到把h取為0.3得到的曲線符合實際情況，說明潛伏期為麻疹病毒的潛伏期是0.5周是正確的觀點。另外，當時，說明在一次麻疹疫情爆發(fā)以后絕大多數(shù)的人體內(nèi)已經(jīng)具有麻疹免疫抗體，被移出除傳染系統(tǒng)。查資料知，絕大多數(shù)的嬰兒在9個月時血內(nèi)的母親抗體已測不出，有些嬰兒體內(nèi)的抗體存在時間可以長達15個月，所以可以取1年為一個出生隊列產(chǎn)生的時間，用時間坐標來表示出生隊列與麻疹流行周期的關系如圖三： 【圖三】【注】：表示第一年的年初；表示第一年年末；表示第二年年初；表示第二年年末；在時刻出生的嬰兒到時刻抗體消失，時刻出生的嬰兒到時刻抗體消失。

7、易感人群從時刻開始積累，在時刻易感人群剛好積累一個出生隊列，因此易感人群積累一個出生隊列的時間為2年。當易感人群積累到一個出生隊列時，就是第二次麻疹爆發(fā)的“臨界”，因此可以說麻疹流行的周期為2年。綜上所述，兒童麻疹流行蔓延的模型具有周期性，且以0.5周的潛伏期和2年的周期性流行。故模型所得結果與題目要求是一致的。6 實驗程序（Matlab或者其它軟件語言陳述）用MATLAB編寫程序如下：（1） 畫圖一：x=47:60;y=5 92 3 33 33 62 8 52 11 153 15 80 6 74;plot(x,y,rp-.)xlabel(年份); ylabel(倫敦每年麻疹病死亡人數(shù));（2） S(t)和I(t)的變化規(guī)律及畫圖三M文件為：(chuanran.m)function y=chuanran(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);命令框中輸入： ts=0