公平的席位分配

1、公平的席位分配姓名：仇嘉程 班級：數(shù)學與應用數(shù)學（2）班 學號：0907022010摘要：席位分配是日常生活中經(jīng)常遇到的問題，對于企業(yè)、公司、學校政府部門都能解決實際的問題。席位可以是代表大會、股東會議、公司企業(yè)員工大會、等的具體座位。本文討論了席位公平分配問題以使席位分配方案達到最公平狀態(tài)。我主要根據(jù)各系人數(shù)因素對席位獲得的影響，首先定義了公平的定義及相對不公平度的定義，采用了最大剩余法模型和Q值法模型，通過檢驗2種模型的相對不公平度來制定比較合理的分配方案。關鍵詞：不公平度指標、Q值法、最大剩余法一、問題的提出：某學校有3個系共200名學生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。問題一

2、：若學生代表會議設20個席位，如何公平席位分配？問題二：丙系有6名學生轉入甲乙兩系，其中甲系轉入3人，乙系轉入3人，又將如何公平的分配20個學生代表會議席位？ 二、合理的假設與變量說明符號符號說明學生總人數(shù)i系的學生人數(shù) i=1,2,3總的學生代表會議席位i系所占的學生代表會議席位 i=1,2,3i方與j方的絕對不公平度對i的相對不公平度三、模型的建立：模型1比例分配法，若使得公平席位分配，最公平簡單且常用的席位分配辦法是按學生人數(shù)比例分配： 某單位席位分配數(shù) = 某單位總人數(shù)比例´總席位 即： ，其中 但是在實際生活中，若按模型1來計算，由于席位數(shù)不同，很難使得到的結果為整數(shù)，因此

3、模型1難以成立，即絕對公平難以成立，我們需要尋求可能相對公平的分配方案。模型2最大剩余法，如果按上述公式參與分配的一些單位席位分配數(shù)出現(xiàn)小數(shù),則先按席位分配數(shù)的整數(shù)分配席位,余下席位按所有參與席位分配單位中小數(shù)的大小依次分配之。這種分配方法公平嗎？由書上給出的案例，我們可以很清楚的知道該方法是有缺陷的，是不公平的。某學院按有甲乙丙三個系并設20個學生代表席位。它的最初學生人數(shù)及學生代表席位為 系名 甲 乙 丙 總數(shù) 學生數(shù) 100 60 40 200 學生人數(shù)比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20后來由于一些原因，出現(xiàn)學生轉系情況，各系學生人數(shù)及學生代表

4、席位變?yōu)?系名 甲 乙 丙 總數(shù) 學生數(shù) 103 63 34 200 學生人數(shù)比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20 按慣例席位分配 10 6 4 20 由于總代表席位為偶數(shù)，使得在解決問題的表決中有時出現(xiàn)表決平局現(xiàn)象而達不成一致意見。為改變這一情況，學院決定再增加一個代表席位，總代表席位變?yōu)?1個。重新按慣例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 總數(shù) 學生數(shù) 103 63 34 200 學生人數(shù)比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按慣例席位分配 11 7 3 21這個分

5、配結果出現(xiàn)增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情況，這使人覺得席位分配明顯不公平。這個結果也說明按慣例分配席位的方法有缺陷，我們需要建立更合理的分配席位方法解決上面代表席位分配中出現(xiàn)的不公平問題。模型3Q值法先討論由兩個單位公平分配席位的情況，設 單位 人數(shù) 席位數(shù) 每席代表人數(shù)單位A p1 n1 單位B p2 n2 要公平，應該有=， 但這一般不成立。注意到等式不成立時有 若 >，則說明單位A 吃虧(即對單位A不公平 ) 若<，則說明單位B 吃虧 (即對單位B不公平 )因此可以考慮用算式 來作為衡量分配不公平程度，不過此公式有不足之處（絕對數(shù)的特點），如：某兩個單位的人數(shù)和席位為

6、 n1 =n2 =10 ， p1 =120， p2=100， 算得 p=2另兩個單位的人數(shù)和席位為 n1 =n2 =10 ， p1 =1020，p2=1000, 算得 p=2雖然在兩種情況下都有p=2，但顯然第二種情況比第一種公平。下面采用相對標準，對公式給予改進，定義席位分配的相對不公平標準公式：若 則稱 為對A的相對不公平值， 記為 若 則稱 為對B的相對不公平值 ，記為 由定義有對某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值盡量小的分配方案來減少分配中的不公平。確定分配方案： 使用不公平值的大小來確定分配方案，不妨設>，即對單位A不公平，再分配一個席位時，關于,

7、的關系可能有 1.        > ,說明此一席給A后,對A還不公平;2.        < ,說明此一席給A后,對B還不公平,3.        > ,說明此一席給B后,對A不公平,4.< ,不可能 上面的分配方法在第1和第3種情況可以確定新席位的分配，但在第2種情況時不好確定新席位的分配。用不公平值的公式來決定席位的分配，對于新的席位分配，若有則增加的一席應

8、給A ，反之應給B。對不等式進行簡單處理，可以得出對應不等式引入公式于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值決定，且它可以推廣到多個組的一般情況。用Qk的最大值決定席位分配的方法稱為Q值法。對多個組（m個組）的席位分配Q值法可以描述為： 1先計算每個組的Q值： Qk , k=1,2,m 2求出其中最大的Q值Qi（若有多個最大值任選其中一個即可） 3將席位分配給最大Q值Qi對應的第i組。四、模型的求解用Q值法分配，很容易編寫出MATLAB程序，以n1=n2=n3 =1逐次增加一席的方法，求每一次的Q值，可得到最后的席位分配方案（MATLAB程序見附錄）第20席的分配，計算Q值Q1=1032/(1

9、0´11) = 96.45 ; Q2=632/(6´7)= 94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33因為Q1最大，因此第20席應該給甲系; 對第21席的分配，計算Q值Q1=1032/(11´12)=80.37 ; Q2 =632/(6´7)=94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33因為Q3最大，因此第21席應該給丙系最后的席位分配為：甲11席乙6席 丙4席五、模型的優(yōu)缺點分析5.1、優(yōu)點：模型比較簡單卻較合理的解決了實際問題，用比例模型和Q值法模型就解決了席位的公平分配問題。由相對不公平值的計算可知兩種模型的公平程度都還比較符合要求。模型1的計算過程簡單卻是公平度比較高的一種模型，操作起來比較方便。模型2可以避免所得席位名額含有小數(shù)點的情況。5.2、缺點：模型1的建立比較簡單，計算的結果含有小數(shù)點，通過四舍五入所得的結果會使公平性變差。模型2的建立相對比較復雜，計算過程比較繁瑣