一組空氣污染數(shù)據(jù)的主成分分析報告

1、一組空氣污染數(shù)據(jù)的主成分分析【說明】下面的多元統(tǒng)計分析練習(xí)題摘自R.A. Johnson等編寫的應(yīng)用多元統(tǒng)計分析（第五版），原書為：Richard A. Johnson and Dean W. Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis (5th Ed). Pearson Education, Inc. 2003。我看的是中國統(tǒng)計（China Statistics Press）2003年發(fā)行的影印本。第一題為原書第1.6題，即第1章的第6題，第二題為原書第8.12題，即第8章的第12題。第二題用的是第一題的數(shù)據(jù)。1 習(xí)題1.6. The

2、 data in Table 1.5 are 42 measurements on air-pollution variables recorded at 12:00 noon in the Los Angeles area on different days.(a) Plot the marginal dot diagrams for all the variables.(b) Construct the , Sn, and R arrays, and interpret the entries in R. TABLE 1.5 AIR-POLLUTION DATAWind (x1)Solar

3、 radiation (x2)CO (x3)NO (x4)NO2 (x5)O3 (x6)HC (x7)898721282710743953710343563108852815469142810389052121249847412155572642114478251111138645213946715410336914212737727418103107042117310724181039774191038764177387153164496742132396933953106253144498842763880421311453033523683511023488432763678421111

4、387921710366243983103731723871411073752411284548658436754110243103541692885419102586316122586721318277974925377952862668621114384043652Source: Data courtesy of Professor G.C. Tiao.8.12. Consider the air-pollution data listed in Table 1.5. Your job is to summarize these data in fewer than p=7 dimensi

5、ons if possible. Conduct a principal component analysis of the data using both the covariance matrix S and the correlation matrix R. What have you learned? Does it make any difference which matrix is chosen for analysis? Can the data be summarized in three or fewer dimensions? Can you interpret the

6、principal components?2 部分解答2.1 部分統(tǒng)計參數(shù)利用Excel計算的平均值（）和標(biāo)準(zhǔn)差WindSolar radiationCONONO2O3HCAverage7.573.8571434.5476192.190476210.0476199.40476193.0952381Stdev1.581138817.3353881.23372091.08735743.37098375.56583450.6917466Excel給出的協(xié)方差矩陣SWindSolar radiationCONONO2O3HCWind2.4404762Solar radiation-2.71428629

7、3.36054CO-0.3690483.81632651.4858277NO-0.452381-1.3537410.65759641.154195NO2-0.5714296.60204082.25963721.062358311.092971O3-2.17857130.0578232.7545351-0.7913833.052154230.24093HC0.16666670.60884350.1383220.17233561.01927440.58049890.4671202Excel給出相關(guān)系數(shù)矩陣RWindSolar radiationCONONO2O3HCWind1Solar radia

8、tion-0.1014421CO-0.1938030.18279341NO-0.269543-0.0735690.50215251NO2-0.1098250.1157320.55658380.29689811O3-0.2535930.31912370.4109288-0.1339520.16664221HC0.15609790.05201040.16603230.23470430.44776780.15445061從相關(guān)系數(shù)矩陣可以看出，CO與NO、NO2相關(guān)性明顯，O3與Solar radiation、CO相關(guān)性明顯。后面的主成分分析將CO與NO、NO2歸并到一個主成分，將O3與Solar

9、radiation歸并到一個主成分，將HC、Wind歸并到一個主成分。HC與Wind的相關(guān)系數(shù)并不高，但從正相關(guān)的角度看，二者的數(shù)值倒是最高的。方差極大正交旋轉(zhuǎn)之后，HC與CO、NO、NO2歸并到一個因子，因為HC與NO2的相關(guān)系數(shù)較高，與CO、NO的相關(guān)系數(shù)高于其他變量。2.2 主成分分析之一數(shù)據(jù)未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化下面是從相關(guān)矩陣R出發(fā)，SPSS給出的結(jié)果。原始數(shù)據(jù)未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化。所謂從R出發(fā)，就是在SPSS的Factor Analysis: ExtractionAnalysis選項中選中Correlation Matrix。SPSS給出的相關(guān)系數(shù)矩陣（Correlation Matrix），與Exce

10、l計算的結(jié)果一樣。公因子方差（Communalities）表如下。公因子方差變化于0.5440.795之間，相差不是很大。但是，公因子方差值沒有達(dá)到0.8以上的，可見每一個變量體現(xiàn)在三個主成分中的信息都不超過80%。特征根與方差貢獻(xiàn)（Total Variance Explained）如下表?？梢娞崛∪齻€主成分可以解釋原來7格變量的70.384%。主成分載荷矩陣（Component Matrix）見下表。將上表從SPSS中復(fù)制到Excel中，進(jìn)行涂色分類，結(jié)果如下表所示。Component123WIND-0.362020.3278090.706084Solar radiation0.31424-

11、0.619970.24631CO0.842417-0.00803-0.12466NO0.5772430.511736-0.44671NO20.7612940.2351830.215682O30.496126-0.667490.175399HC0.4882570.3624660.593692主成分分類如下：n 第一主成分的主要相關(guān)變量：CO、NO、NO2。n 第二主成分的主要相關(guān)變量：Solar radiation、O3。n 第三主成分的主要相關(guān)變量：Wind、HC。在主成分載荷圖（Component Plot）中，三個變量分別落入三個不同的主成分代表的區(qū)域。主成分得分表如下。最后一欄對幾個典型

12、的樣本給出了簡單的解釋。注意解釋的時候看清主成分載荷矩陣中載荷值的正負(fù)號。Casesf1f2f3典型的說明S10.61591-0.8186-0.38418S20.03194-0.36015-0.26343S3-0.34752-0.54481-0.49701S40.2425-0.302931.80367樣本4代表的區(qū)域Wind、HC污染嚴(yán)重S5-0.12729-0.91941-0.4042S60.72612-0.192781.21954S72.036860.899821.4607樣本7和8代表的區(qū)域與CO、NO、NO2污染有明顯的關(guān)系S82.573090.77732-0.34124S90.098

13、02-0.817360.30334S100.506640.788030.88735S110.39040.97744-1.48345S120.14485-0.45848-0.27016S131.924770.88883-0.66029S14-0.506620.631390.91242S15-0.89378-0.170361.19632S16-0.66037-0.398620.93758S17-0.87787-0.36350.3701S180.887331.53060.65731S19-0.429351.092530.48155S20-0.7510.924240.11384S210.428261.

14、961331.18659樣本21代表的區(qū)域Solar radiation、O3污染較小S22-0.69373-0.097470.51522S230.414840.206811.21242S24-1.162631.39047-2.12097S250.86691-1.703350.91799S26-0.91899-0.139150.18106S270.09994-0.51948-0.37202S28-1.32458-0.69110.65186S29-0.104720.39184-1.08681S30-1.85931.379330.6047S31-0.62672-0.083470.47051S32-

15、0.142640.649410.72066S330.674211.56899-2.63096樣本33代表的區(qū)域Wind、HC污染較小S340.24874-1.956810.22088S35-1.714290.39216-0.08554S36-0.80238-1.13269-0.0517S37-1.00653-1.92662-1.17569樣本37和38代表的區(qū)域Solar radiation、O3污染嚴(yán)重S381.29486-1.77265-1.32357S391.68145-1.04272-0.66334S40-0.48079-0.49683-1.07633S410.72122-0.5304

16、2-0.57934S42-1.177760.98919-1.555382.3 主成分分析之二數(shù)據(jù)未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化下面是從協(xié)方差矩陣S出發(fā)，SPSS給出的結(jié)果。原始數(shù)據(jù)未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化。所謂從S出發(fā)，就是在SPSS的Factor Analysis: ExtractionAnalysis選項中選中Covariance Matrix。公因子方差（Communalities）表如下。在未經(jīng)處理的（Raw）公因子方差一欄，其Initial數(shù)值都是原始數(shù)據(jù)的方差。不過與前面Excel給出的協(xié)方差矩陣有所不同，Excel給出的是總體方差，SPSS給出的是抽樣方差。例如以Wind的Initial值為例，2.4404762

17、×42/41=2.5，或者2.5×41/42=2.4404762（對照前面的協(xié)方差矩陣）。重標(biāo)的（Rescaled）結(jié)果是Extraction值與Initial值之比。公因子方差的合計結(jié)果如下：RawRescaledInitialExtractionInitialExtractionWIND2.50.030665110.012266Solar radiation300.51568300.1336710.9987288CO1.52206740.060166610.0395295NO1.18234610.006750210.0057091NO211.3635310.179005

18、910.0157527O330.9785133.845942810.1241487HC0.47851340.001667110.0034839合計348.54065304.2578671.1996188特征根與方差貢獻(xiàn)（Total Variance Explained）如下表。在Raw一欄中顯示，提取一個主成分似乎可以解釋原來7格變量的87.295%。但重標(biāo)之后顯示的數(shù)值卻是17.137%。根據(jù)公因子方差表和合計結(jié)果，重標(biāo)之前，全部的方差解釋為304.25786/348.54065*100=87.295%；重標(biāo)之后，全部的方差解釋為1.1996188/7*10017.137%。主成分載荷矩陣（

19、Component Matrix）見下表?？梢钥磥?，由于變量Solar radiation 的方差很大，它絕對地控制了第一主成分。2.4 主成分分析之三數(shù)據(jù)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化下面是從協(xié)方差矩陣S出發(fā)，SPSS給出的結(jié)果。原始數(shù)據(jù)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化?？梢钥吹剿械慕Y(jié)果重標(biāo)前后一樣，并且與從相關(guān)矩陣R出發(fā)計算的結(jié)果一樣。公因子方差（Communalities）表如下，重標(biāo)前后的結(jié)果一樣。特征根與方差貢獻(xiàn)（Total Variance Explained）如下表。重標(biāo)前后結(jié)果一樣。主成分載荷矩陣（Component Matrix）見下表，重標(biāo)前后一樣?？梢钥吹?，第一主成分的相對重要性受到標(biāo)準(zhǔn)化的極大影響。結(jié)論自然是：如果在極其不同的圍測量變量，或者測量單位的量綱不同，變量必須經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化。否則，應(yīng)該從相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)