行列式的若干解法

1、行列式的若干解法一、定義法注意到“上下三角形”行列式的值等于對(duì)角線元素的乘積，由行列式的定義可直接計(jì)算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的簡(jiǎn)單行列式例1 .解：不為零的項(xiàng)一般表示為,故.二、行列式在初等變換下的性質(zhì)行列式經(jīng)初等行變換和初等列變換，行列式值的變化有一定規(guī)律：1行列式的行列互換（即方陣轉(zhuǎn)置），行列式不變；2互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號(hào)；3行列式中某行各元同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)等于行列式乘以這個(gè)數(shù)；4行列式中某行（列）各元同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，加到另外一行（列）上，行列式不變；5行列式的某兩行或者某兩列成比例，行列式為零；6行列式的某一列或者某一行可以看成兩列或兩行的和時(shí)，行列式可拆成另

2、兩個(gè)行列式的和；7行列式各行或各列若線性相關(guān)，行列式為零一些特征明顯的行列式可以直接用行列式的性質(zhì)求解例2 一個(gè)階行列式 的元素滿足則稱為反對(duì)稱行列式，證明：奇階數(shù)行列式為零.證明： 由知，即.故行列式可表示為,由行列式的性質(zhì)，.三、高斯消元法由行列式的定義，計(jì)算一般n階行列式的值的復(fù)雜度為，對(duì)n4的非稀疏方陣并不實(shí)用，因此有必要尋找更好的方法用行（列）初等變換將方陣化為上（下）三角形狀，是計(jì)算行列式的基本方法原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式在初等變換下的性質(zhì)化為三角形行列式這個(gè)變換過程可用解線性方程組的算法（高斯消元法）嚴(yán)格描述，其復(fù)雜度為，由原來的指數(shù)階復(fù)雜度降低到了多項(xiàng)式階復(fù)雜度例3 計(jì)

3、算行列式.解： 這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計(jì)算 四、行列初等變換成上下三角形式但對(duì)于階數(shù)高的行列式，高斯消元法仍然有著較高的復(fù)雜度，且僅適用于數(shù)值行列式的計(jì)算，難以推廣到含參數(shù)行列式因此，對(duì)元素排列較有規(guī)律的行列式，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將其變形成三角形行列式，而不是直接使用解線性方程組的高斯消元法例4 計(jì)算n階行列式.解： 這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，列都加到第1列上，行列式不變，得.五、Laplace展開法Laplace展開的四種特殊情形：1） 2）3） 4）應(yīng)用行列式的Laplace展開，把一個(gè)n階行列式表示為

4、具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性遞推關(guān)系式根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法注意用此方法一定要看Laplace展開后的行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法例5 證明如下行列式：分析雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式從行列式的左上方往右下方看，即知與具有相同的結(jié)構(gòu)因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算證明：按第

5、1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有：因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得：證畢例6 計(jì)算行列式 .分析對(duì)一時(shí)看不出從何下手的行列式，可以先對(duì)低階情況求值，利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明解：當(dāng)時(shí)，假設(shè)時(shí)，有 則當(dāng)時(shí)，把按第一列展開，得由此，對(duì)任意的正整數(shù)，有.六、加邊法有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行

6、計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法當(dāng)然，加邊后所得的高一階行列式要較易計(jì)算加邊法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 加邊法能否順利應(yīng)用，關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子例7 計(jì)算n 階行列式：分析 我們先把主對(duì)角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2, xn相乘，第二行為x2與x1,x2, xn相乘，第n行為xn與 x1,x2, xn相乘這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，從而就可考慮此法解：對(duì)行列式各行（列）和相等，且除對(duì)角線外其余元素都相同的行列式，在“

7、加邊法”的框架下，有針對(duì)此種問題的特殊解法1）在行列式D的各元素中加上一個(gè)相同的元素x，使新行列式除主對(duì)角線外，其余元素均為0；2）計(jì)算的主對(duì)角線各元素的代數(shù)余子式;3)例8.求下列n階行列式的值：解：在的各元素上加上后，則有：又，其余的為零點(diǎn)評(píng)諸如此類的特殊行列式稱為“范式”，常見的范式還有“雞爪”（除第一行、第一列、主對(duì)角線外全為零）、反對(duì)稱方陣等，這些范式都有“專用”的解法掌握這些范式，不僅是為了更容易求出滿足這些范式的行列式的值，更是為了給解一般行列式提供變換的目標(biāo)和方向，爭(zhēng)取把一般行列式變換到這些已知容易求解的范式如果不知道這些范式，就只能盲目的尋找各種變成“最終范式”上下三角行列式

8、的變換方式，從而加大了解題的難度七、拆行（列）法由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對(duì)應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時(shí)較容易求得行列式的值例9 設(shè)n階行列式：且滿足對(duì)任意數(shù)b，求n階行列式分析該行列式的每個(gè)元素都是由兩個(gè)數(shù)的和組成，且其中有一個(gè)數(shù)是常數(shù)b，顯然用拆行（列）法可以首先舉一些例子進(jìn)行試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)待求行列式總是等于1，因此求值問題轉(zhuǎn)化為證明問題，對(duì)解題過程更有啟發(fā)注意到條件中給出了一個(gè)反對(duì)稱方陣的行列式，但暫時(shí)不知道該如何應(yīng)用

9、，在解題過程中要時(shí)刻注意題目條件解： 也為反對(duì)稱矩陣又為的元素從而知：點(diǎn)評(píng)求解到中途時(shí)，發(fā)現(xiàn)待解行列式的一部分變成了一個(gè)新行列式的代數(shù)余子式之和的形式，很容易聯(lián)想到伴隨方陣與逆矩陣行列式的關(guān)系，此時(shí)應(yīng)用題目中反對(duì)稱方陣的條件、轉(zhuǎn)置方陣的性質(zhì)，易得結(jié)論此題也提醒我們?cè)诮庑辛惺綍r(shí)，應(yīng)注意與后續(xù)章節(jié)（如矩陣）的關(guān)聯(lián)八、多項(xiàng)式法如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個(gè)參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式f(x)，然后對(duì)行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個(gè)常數(shù)因子C，比較f(x)與g(x)的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出C值，便可求得D=Cg

10、(x)具體地說，若行列式中存在兩個(gè)同時(shí)含變量x的行（列），若x等于某一數(shù)a1時(shí)，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可得D=0那么xa1便是一個(gè)一次因式由此便可找出行列式（多項(xiàng)式）的若干因式如果行列式的最高次數(shù)與這些因式乘積的次數(shù)相等，那么行列式與這些因式的乘積便成比例（只差一個(gè)常數(shù)因子）例10求如下行列式的值：分析 根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有但大家認(rèn)真看一下，該行列式Dn+1是一個(gè)n+1次多項(xiàng)式，而這時(shí)我們只找出了n個(gè)一次因式,那么能否用多項(xiàng)式法呢？我們?cè)僮屑?xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次解：令：

11、顯然當(dāng)：時(shí)，又為n次多項(xiàng)式又中的最高次項(xiàng)為，系數(shù)為1，C=1因此得：九、Vandermonde行列式法范德蒙行列式：例11 計(jì)算n階行列式解 顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對(duì)換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得： 分析從某種意義上說，范德蒙行列式也是上文中提到的一種“范式

12、”，很多類似多項(xiàng)式乘積的行列式都與范德蒙行列式存在某種關(guān)聯(lián)例12 計(jì)算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了解：?jiǎn)栴}推廣本題中，顯然是1,2，n-1,n這n個(gè)數(shù)在循環(huán)，那么如果是a0,a1,an-2,an-1這n個(gè)無規(guī)律的數(shù)在循環(huán)，行列式該怎么計(jì)算呢？把這種行列式稱為“循環(huán)行列式”從而推廣到一般，求下列行列式

13、：解：令 首先注意，若u為n次單位根（即un=1），則有：為范德蒙行列式又例12中，循環(huán)的方向與該推廣在方向上相反所以例12與相對(duì)應(yīng)與例12的答案一致點(diǎn)評(píng)例12本身并不困難，但在“循環(huán)行列式”的推廣中，運(yùn)用了多項(xiàng)式單位根的相關(guān)理論，是比較難以想到的由上述問題的求解可知，行列式的求值有時(shí)需要綜合利用多種方法，上例就用到了Vandermonde行列式和多項(xiàng)式理論十、矩陣?yán)碚摲ㄓ行┬辛惺酵ㄟ^“矩陣”一章與行列式相關(guān)的某些等式，可以快速求解引理：設(shè)A為型矩陣，B為型矩陣，分別表示n階，m階單位矩陣，則有證明：兩邊取行列式得：又同樣兩邊取行列式有： 得證那么對(duì)于分別是和矩陣，能否得到：答案是肯定的證： 有：又 即得：對(duì)分別為和矩陣，時(shí)，有：則當(dāng)時(shí)，有：引理得證例13 計(jì)算如下行列式的值：解：令矩陣則可得： 其中 那么根據(jù)上面所提到的引理可得：又 可得：點(diǎn)評(píng)例13還可用加邊法解決，不過這里的解法顯然更簡(jiǎn)潔，且其中蘊(yùn)含的理論更深刻十一、高等數(shù)學(xué)法有些行列式可以看成函數(shù)，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的求導(dǎo)、積分等方法解決例14 求下列行列式的值：解：把看作是x的函數(shù)（即x的n次多項(xiàng)式），記作，按Taylor公式在z處展開：，則將第一列減去第二列，第二列減去第三列，第n-1列減去第n列，則有故有， （*）將對(duì)x求導(dǎo)，結(jié)果是n個(gè)行列式之和，而每個(gè)行列式是由對(duì)每一行求導(dǎo)而其余各行不變得到的例