第2章 方差分析

1、第第2章章 方差分析方差分析 方差分析是檢驗多個總體均值間差異方差分析是檢驗多個總體均值間差異是否顯著的一種統(tǒng)計方法。是否顯著的一種統(tǒng)計方法。 主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.1 預(yù)備知識預(yù)備知識2.2 方差分析的基本概念方差分析的基本概念2.3 單因素方差分析單因素方差分析2.4 雙因素方差分析雙因素方差分析2.1 預(yù)備知識2.1.1 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的基本思想統(tǒng)計假設(shè)檢驗的基本思想 對總體參數(shù)值提出假設(shè)對總體參數(shù)值提出假設(shè) 驗證先前提出的假設(shè)驗證先前提出的假設(shè) 樣本樣本出現(xiàn)矛盾出現(xiàn)矛盾不出現(xiàn)矛盾不出現(xiàn)矛盾 拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)接受原假設(shè)接受原假設(shè)基本思路圖：基本思路圖：2.1.2 假設(shè)檢驗的步驟(1) 根

2、據(jù)實際問題的要求，提出零假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。(2) 根據(jù)H0的內(nèi)容，選取適當(dāng)?shù)臋z驗統(tǒng)計量，并能確定出檢驗統(tǒng)計量的分布。(3) 根據(jù)樣本觀測值計算出檢驗統(tǒng)計量的值。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選檢驗統(tǒng)計量服從的分布表，確定臨界值。(5) 確定拒絕域并做出拒絕還是接受H0的統(tǒng)計判斷。2.1.3 正態(tài)總體均值檢驗u 單樣本的t 檢驗 設(shè)總體XN(，2)，2未知；X1，X2，Xn是來自總體X的樣本， 與s2分別為樣本均值和樣本方差。給定顯著性水平，檢驗參數(shù)。X（1）提出假設(shè) H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 （2）選擇檢驗假設(shè)H0的統(tǒng)計量，并確定其分布。0

3、(1)/XTt nsnm-=-2(1)Ttna-(1)Ttna-(1)Ttna-(3) 根據(jù)樣本觀測值計算出該統(tǒng)計量的值t。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選統(tǒng)計量服 從的分布表，確定臨界值。(5) 確定拒絕域并做出判斷。對應(yīng)于3種假設(shè)的拒絕域形 式分別為： 拒絕域為 拒絕域為 拒絕域為別為兩樣本均值和樣本方差。給定顯著性水平，檢驗參數(shù)1與2。 設(shè)總體XN(1，12 )，總體YN(2，22 )， X與Y獨立，且1222未知。 X1，X2， 是來自總體X的樣本， u兩個獨立樣本的t檢驗 兩個獨立樣本t檢驗的目的是利用來自兩個總體的獨立樣本，推斷兩個總體的均值是否存在顯著差異。 1nXX

4、 YY1，Y2，Yn2是來自總體Y的樣本。 、與S2I、S22分檢驗步驟如下(1)提出假設(shè) H0:1=2 H1:12 H0:12 H1:12 H0:12 H1:12 ()1212211WXYTt nnSnn-=+-+:22112212(1)(1)2WnSnSSnn-+-=+-(2) 選擇檢驗假設(shè)H0 的統(tǒng)計量，并確定其分布式中，(3) 根據(jù)樣本觀測值計算出該統(tǒng)計量的值t。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選統(tǒng)計量服從的分布表，確定臨界值。(5) 確定拒絕域并做出判斷。對應(yīng)于3種假設(shè)的拒絕域形式(2)122Ttnna+-12(2)Ttnna-+-12(2)Ttnna+- 拒絕域為 拒絕域

5、為 拒絕域為u兩個配對樣本的t檢驗 兩個配對樣本的t檢驗的目的是利用來自兩個總體的配對樣本，推斷兩個總體的均值是否存在顯著差異。 設(shè)有n對相互獨立的觀測結(jié)果(X1，Y1)，(X2，Y2)，(Xn，Yn)，令D1=X1-Y1，D2=X2-Y2，Dn=Xn-Yn，則D1，D2，Dn相互獨立，DiN(D， D2)。(1) 提出假設(shè) H0:D0， H1:D0 H0:D 0， H1:D0 H0:D0， H1:D0(2) 選擇檢驗假設(shè)H0的統(tǒng)計量，并確定其分布。/DdTsn=t(n-1) (3) 根據(jù)樣本觀測值計算出該統(tǒng)計量的值t。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選統(tǒng)計量 服從的分布表，確定臨界

6、值。(5) 確定拒絕域并做出判斷。對應(yīng)于3種假設(shè)的拒絕域 形式分別為2T(1)tna-T(1)tna-T(1)tna- u兩個獨立樣本的F檢驗 兩個獨立樣本的F檢驗的目的是利用來自兩個總體的獨立樣本，推斷兩個總體的方差是否存在顯著差異。 設(shè)總體XN(1，12 )，總體YN(2，22 )， X與Y獨立，且1與 2未知。 X1，X2， 是來自總體X的樣本，Y1，Y2， 是來自總體 Y 的樣本，S12、S22分別為兩樣本方差。給定顯著性水平，檢驗參數(shù)12與22。2nY1nX(1) 提出假設(shè) H0:12=22 H1:1222 H0:12 22 H1:1222 (2) 選擇檢驗假設(shè)H0的統(tǒng)計量，并確定其

7、分布。222/121222/122SSSFS=F(n1-1，n2-1) (3) 據(jù)樣本觀測值計算出該統(tǒng)計量的值F。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選統(tǒng)計量 服從的分布表，確定臨界值。(5) 確定拒絕域并做出判斷。對應(yīng)于3種假設(shè)的拒絕域 形式分別為： 拒絕域為FF/2 (n-1，n2-1)或 FF 1-/2 (n-1，n2-1) 拒絕域為FF1- (n-1，n2-1) 拒絕域為FF (n1-1，n2-1)2.1.4 用SPSS進(jìn)行統(tǒng)計假設(shè)檢驗1. One-Samples T Test過程2. Independent-Samples T Test過程3. Paired-Samples T

8、 Test過程4. One-Way ANOVA 過程1. One-Samples T Test過程 (1) 選擇菜單AnalyzeCompare means One-Sample T Test，彈出One-Sample T Test對話框。(2) 將需要檢驗的變量從左側(cè)列表框通過中間的移動按鈕選入到右側(cè)的Test Variables框中。(3) 在Test Value框內(nèi)輸入已知的總平均數(shù)，默認(rèn)值為0。(4) 單擊“Options”按鈕，彈出One-Sample T Test： Options對話框，用于定義相關(guān)的選項。(5) 單擊“OK”按鈕，即可完成單樣本均值檢驗的操作。2. Indepe

9、ndent-Samples T Test過程 (1) 選擇菜單AnalyzeCompare means Independent-Samples T Test (2) 將需要檢驗的變量從左側(cè)列表框通過中間的移動按鈕選入到右側(cè)的Test Variable(s)框中。(3) 將分組變量從左側(cè)列表框通過中間的移動按鈕選入到右側(cè)的Grouping Variable框中。(4) 單擊Define Groups按鈕，彈出Define Groups話框(5) 單擊“Options”按鈕(6) 單擊“OK”按鈕，即可完成獨立樣本均值檢驗的操作。3. Paired-Samples T Test過程(1) 選擇菜單

10、AnalyzeCompare means Paired-Samples T Test，彈出Paired-Samples T Test框。(2) 從左側(cè)列表框中同時選兩個成對變量，將其移入到右側(cè)的Paired Variables框內(nèi)。(3) Current Selections項：顯示被選中的成對變量。(4) 單擊“Options”按鈕，彈出Paired-Samples T Test：Options對話框，其內(nèi)容設(shè)置與One-Samples T Test完全相同，此處不再重復(fù)。(5) 單擊“OK”按鈕4. One-Way ANOVA 過程(1) 選擇菜單AnalyzeCompare means

11、One-Way ANOVA，彈出One-Way ANOVA對話框。(2) 從左側(cè)列表框中選擇觀測變量，移入到右側(cè)的Dependent List框內(nèi)。(3) 從左側(cè)列表框中選擇因素變量，移入到Factor框內(nèi)(4) “Contrasts”按鈕和“Post Hoc”按鈕少用，略。(5) 單擊“Options”按鈕，彈出One-Way ANOVA : Options對話框。(6) 單擊“OK”按鈕 2.3 單因素方差分析2.3.1 方差分析的基本概念 在實際應(yīng)用中常常要探討不同實驗條件或處理方法對結(jié)果的影響。通常是比較不同實驗條件下總體均值間差異。方差分析是檢驗多個總體均值間差異是否顯著的一種統(tǒng)計方

12、法。 簡言之，方差分析是k個總體均值相等性的檢驗 。方差分析中常用的術(shù)語有：(1) 實驗指標(biāo)：將要考察的結(jié)果，用大寫字母X、Y等表示。(2) 實驗因素：影響實驗指標(biāo)的條件，常用大寫字母A、B、 C等表示。(3) 因素水平：因素所處的某種特定狀態(tài)，常用代表該因素 的字母加下標(biāo)表示，如A1、A2、B1、B 2等表示。(4) 方差分析：對于影響一個指標(biāo)的眾多因素，若僅使一 個(或一個以上)因素發(fā)生變化，而其他因素均保持不變 (或控制在一定范圍內(nèi))，分析這一個(或一個以上)因素對 指標(biāo)的影響是否顯著，稱為單因素(或多因素)方差分析。例：為了比較四種不同肥料對小麥畝產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌

13、溉條件差不多的土地，分成16塊。化肥品種記為A1 ，A2 ，A3 ，A4，每種肥料分別施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：肥料品種A畝產(chǎn)量A1981，964，917，669A2607，693，506，358A3791，642，810，705A4901，703，792，883問施肥品種對小麥產(chǎn)量有無影響。實驗指標(biāo)實驗因素因素水平單因素方差分析例：為了比較四種不同肥料、三種土壤對小麥畝產(chǎn)量的例：為了比較四種不同肥料、三種土壤對小麥畝產(chǎn)量的影響，化肥品種為影響，化肥品種為A1 ，A2 ，A3 ，A4，土壤記為土壤記為B1，B2，B3每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下

14、： 土壤種類土壤種類肥料品種肥料品種B1B2B3A1693，506607，358810，705A2810，705981，964792，883A3791，642810，705843，766A4917，669657，703901，703問施肥品種、土壤種類對小麥產(chǎn)量有無影響。問施肥品種、土壤種類對小麥產(chǎn)量有無影響。實驗指標(biāo)實驗指標(biāo)實驗因素實驗因素因素水平因素水平兩因素方差兩因素方差分析分析2.3.2 單因素方差分析的基本原理單因素方差分析的基本原理1單因素方差分析的基本思路單因素方差分析的基本思路【例5.6】 一位教師采用3種不同的教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，現(xiàn)在想要檢查3種不同的教學(xué)方法的效果，為此隨機(jī)地

15、選取了水平相當(dāng)?shù)?5位學(xué)生。把他們分成3組，每組5個人，每一組用一種方法教學(xué)，一段時間后，這位教師給這15位學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)考，統(tǒng)考成績(單位：分)見表5-2。方法統(tǒng)考成績175627158732818568929037379607581試檢驗這3種教學(xué)方法的效果有沒有顯著差異。A1A2A3實驗指標(biāo)X1) 提出假設(shè)提出假設(shè)在不同的教學(xué)方法下，統(tǒng)考成績XiN(i，2)(i=1，2，3)且各Xi相互獨立。 H0:1= 2 =3 = H1:1， 2，3不全相等2) 平方和及自由度的分解平方和及自由度的分解全部數(shù)據(jù)之間存在差異全部數(shù)據(jù)之間存在差異 35211()TijijSxx=-邋ST 總誤差平方和 隨機(jī)

16、波動引起的誤差 SE因素A的不同水平所產(chǎn)生的誤差SA35211()TijijSxx=-邋3511()()ijiiijxxxx=-=邋.3511()()iijiijxxxx鬃=-邋352ii11(.)( .)ijijxxxx=-+-邋0=隨機(jī)誤差平方和隨機(jī)誤差平方和SE 效應(yīng)誤差平方和效應(yīng)誤差平方和 SA 3535221111()()ijiiijijxxxx鬃=-+-邋邋35112()()ijijxxxx=+-邋ii.平方和分解公式平方和分解公式 ST = SE + SA自由度的分解自由度的分解 35211()TijijSxx=-邋求和項數(shù)共有求和項數(shù)共有35=15項，而存在項，而存在3511(

17、)0ijijxx=-=邋因此總誤差平方和因此總誤差平方和ST的自由度的自由度fT=15-1=14。35211()EijiijSxx=-邋求和項數(shù)共有求和項數(shù)共有35=15項，而存在項，而存在5(-)0(1,2,3)1xxiij ij=因此隨機(jī)誤差平方和因此隨機(jī)誤差平方和SE的自由度的自由度fE=15-3=12。35211()AiijSxx=-邋求和項數(shù)共有求和項數(shù)共有3項，而存在項，而存在31()0iixx=-因此效應(yīng)誤差平方和因此效應(yīng)誤差平方和ST的自由度的自由度 fA=3-1=2。自由度分解公式自由度分解公式 fT=fE+fA3) 顯著性檢驗顯著性檢驗ST = SE + SA /AAAEE

18、ESfSFSfS=F(fA，fE) 拒絕域為拒絕域為 WFF(fA，fE)2. 單素方差分析的一般計算步驟單素方差分析的一般計算步驟例：為了比較四種不同肥料對小麥畝產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉條件差不多的土地，分成16塊?；势贩N記為A1 ，A2 ，A3 ，A4，每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：肥料品種肥料品種A畝產(chǎn)量畝產(chǎn)量A1981，964，917，669A2607，693，506，358A3791，642，810，705A4901，703，792，883問施肥品種對小麥產(chǎn)量有無影響。第一步：提出假設(shè)：第一步：提出假設(shè)：H0：1= 2 =3 = 4 = H1：1，2 ，3

19、， 4不全相等第二步：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量及其分布第二步：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量及其分布/(1)(1,s)/(s)AAEESsSFF snsSnsS-=-:第三步：計算誤差平方和第三步：計算誤差平方和23535221111.()433557.8TijijijijXSxxXsn=-=-=邋邋223532111.()264970.3515iAiijiXXSXX=-=-=邋SE=ST-SA=168587.5第四步：列出方差分析表第四步：列出方差分析表第五步：做出統(tǒng)計決策第五步：做出統(tǒng)計決策計算知統(tǒng)計量取值F=6.287，臨界值F0.01(3，12)=5.96。由于 F0.01(3，12) F，因此拒絕H0，認(rèn)為不

20、同的肥料品種對小麥產(chǎn)量的影響有顯著性差異。3 3. . 單素方差分析的單素方差分析的SPSSSPSS實現(xiàn)過程實現(xiàn)過程(1) 選擇菜單AnalyzeCompare means One-Way ANOVA，彈出One-Way ANOVA對話框。(2) 從左側(cè)列表框中選擇觀測變量，移入到右側(cè)的Dependent List框內(nèi)。(3) 從左側(cè)列表框中選擇因素變量，移入到Factor框內(nèi)(4) “Contrasts”按鈕和“Post Hoc”按鈕少用，略。(5) 單擊“Options”按鈕，彈出One-Way ANOVA : Options對話框。(6) 單擊“OK”按鈕 2.4 雙因素方差分析 設(shè)有因

21、素A 與因素B，因素A 有r個水平 因素B有s個水平 因素A、B的水平的每對組合( ， ) (i = 1 ,2 ,r；j = 1 ,2 ,s) 的樣本含量設(shè)為m，樣本為 。 無交互作用的雙因素方差分析模型： 有交互作用的雙因素方差分析模型：2.4.1 雙因素方差分析的模型雙因素方差分析的模型1,A2,A .rA1,B.sBiAjB12,ijijijmyyy2,B ijkijijkyABijkijijkijyABAB符號說明：其中總樣本容量 。2.4.2 雙因素方差分析的平方和分解雙因素方差分析的平方和分解11111111111,2,.,11,2,.,1rsmijkijksmiijkjkrmjijkikmijijkkyyNyyirsmyyjsrmyymnrs m 總偏差