第2章 方差分析

1、第第2章章 方差分析方差分析 方差分析是檢驗(yàn)多個(gè)總體均值間差異方差分析是檢驗(yàn)多個(gè)總體均值間差異是否顯著的一種統(tǒng)計(jì)方法。是否顯著的一種統(tǒng)計(jì)方法。 主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)2.2 方差分析的基本概念方差分析的基本概念2.3 單因素方差分析單因素方差分析2.4 雙因素方差分析雙因素方差分析2.1 預(yù)備知識(shí)2.1.1 統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 對(duì)總體參數(shù)值提出假設(shè)對(duì)總體參數(shù)值提出假設(shè) 驗(yàn)證先前提出的假設(shè)驗(yàn)證先前提出的假設(shè) 樣本樣本出現(xiàn)矛盾出現(xiàn)矛盾不出現(xiàn)矛盾不出現(xiàn)矛盾 拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)接受原假設(shè)接受原假設(shè)基本思路圖：基本思路圖：2.1.2 假設(shè)檢驗(yàn)的步驟(1) 根

2、據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，提出零假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。(2) 根據(jù)H0的內(nèi)容，選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并能確定出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布。(3) 根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從的分布表，確定臨界值。(5) 確定拒絕域并做出拒絕還是接受H0的統(tǒng)計(jì)判斷。2.1.3 正態(tài)總體均值檢驗(yàn)u 單樣本的t 檢驗(yàn) 設(shè)總體XN(，2)，2未知；X1，X2，Xn是來(lái)自總體X的樣本， 與s2分別為樣本均值和樣本方差。給定顯著性水平，檢驗(yàn)參數(shù)。X（1）提出假設(shè) H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 （2）選擇檢驗(yàn)假設(shè)H0的統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布。0

3、(1)/XTt nsnm-=-2(1)Ttna-(1)Ttna-(1)Ttna-(3) 根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出該統(tǒng)計(jì)量的值t。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選統(tǒng)計(jì)量服 從的分布表，確定臨界值。(5) 確定拒絕域并做出判斷。對(duì)應(yīng)于3種假設(shè)的拒絕域形 式分別為： 拒絕域?yàn)?拒絕域?yàn)?拒絕域?yàn)閯e為兩樣本均值和樣本方差。給定顯著性水平，檢驗(yàn)參數(shù)1與2。 設(shè)總體XN(1，12 )，總體YN(2，22 )， X與Y獨(dú)立，且1222未知。 X1，X2， 是來(lái)自總體X的樣本， u兩個(gè)獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn) 兩個(gè)獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的目的是利用來(lái)自兩個(gè)總體的獨(dú)立樣本，推斷兩個(gè)總體的均值是否存在顯著差異。 1nXX

4、 YY1，Y2，Yn2是來(lái)自總體Y的樣本。 、與S2I、S22分檢驗(yàn)步驟如下(1)提出假設(shè) H0:1=2 H1:12 H0:12 H1:12 H0:12 H1:12 ()1212211WXYTt nnSnn-=+-+:22112212(1)(1)2WnSnSSnn-+-=+-(2) 選擇檢驗(yàn)假設(shè)H0 的統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布式中，(3) 根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出該統(tǒng)計(jì)量的值t。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選統(tǒng)計(jì)量服從的分布表，確定臨界值。(5) 確定拒絕域并做出判斷。對(duì)應(yīng)于3種假設(shè)的拒絕域形式(2)122Ttnna+-12(2)Ttnna-+-12(2)Ttnna+- 拒絕域?yàn)?拒絕域

5、為 拒絕域?yàn)閡兩個(gè)配對(duì)樣本的t檢驗(yàn) 兩個(gè)配對(duì)樣本的t檢驗(yàn)的目的是利用來(lái)自兩個(gè)總體的配對(duì)樣本，推斷兩個(gè)總體的均值是否存在顯著差異。 設(shè)有n對(duì)相互獨(dú)立的觀測(cè)結(jié)果(X1，Y1)，(X2，Y2)，(Xn，Yn)，令D1=X1-Y1，D2=X2-Y2，Dn=Xn-Yn，則D1，D2，Dn相互獨(dú)立，DiN(D， D2)。(1) 提出假設(shè) H0:D0， H1:D0 H0:D 0， H1:D0 H0:D0， H1:D0(2) 選擇檢驗(yàn)假設(shè)H0的統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布。/DdTsn=t(n-1) (3) 根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出該統(tǒng)計(jì)量的值t。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選統(tǒng)計(jì)量 服從的分布表，確定臨界

6、值。(5) 確定拒絕域并做出判斷。對(duì)應(yīng)于3種假設(shè)的拒絕域 形式分別為2T(1)tna-T(1)tna-T(1)tna- u兩個(gè)獨(dú)立樣本的F檢驗(yàn) 兩個(gè)獨(dú)立樣本的F檢驗(yàn)的目的是利用來(lái)自兩個(gè)總體的獨(dú)立樣本，推斷兩個(gè)總體的方差是否存在顯著差異。 設(shè)總體XN(1，12 )，總體YN(2，22 )， X與Y獨(dú)立，且1與 2未知。 X1，X2， 是來(lái)自總體X的樣本，Y1，Y2， 是來(lái)自總體 Y 的樣本，S12、S22分別為兩樣本方差。給定顯著性水平，檢驗(yàn)參數(shù)12與22。2nY1nX(1) 提出假設(shè) H0:12=22 H1:1222 H0:12 22 H1:1222 (2) 選擇檢驗(yàn)假設(shè)H0的統(tǒng)計(jì)量，并確定其

7、分布。222/121222/122SSSFS=F(n1-1，n2-1) (3) 據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出該統(tǒng)計(jì)量的值F。(4) 在給定的顯著性水平(01)下，查所選統(tǒng)計(jì)量 服從的分布表，確定臨界值。(5) 確定拒絕域并做出判斷。對(duì)應(yīng)于3種假設(shè)的拒絕域 形式分別為： 拒絕域?yàn)镕F/2 (n-1，n2-1)或 FF 1-/2 (n-1，n2-1) 拒絕域?yàn)镕F1- (n-1，n2-1) 拒絕域?yàn)镕F (n1-1，n2-1)2.1.4 用SPSS進(jìn)行統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)1. One-Samples T Test過(guò)程2. Independent-Samples T Test過(guò)程3. Paired-Samples T

8、 Test過(guò)程4. One-Way ANOVA 過(guò)程1. One-Samples T Test過(guò)程 (1) 選擇菜單AnalyzeCompare means One-Sample T Test，彈出One-Sample T Test對(duì)話框。(2) 將需要檢驗(yàn)的變量從左側(cè)列表框通過(guò)中間的移動(dòng)按鈕選入到右側(cè)的Test Variables框中。(3) 在Test Value框內(nèi)輸入已知的總平均數(shù)，默認(rèn)值為0。(4) 單擊“Options”按鈕，彈出One-Sample T Test： Options對(duì)話框，用于定義相關(guān)的選項(xiàng)。(5) 單擊“OK”按鈕，即可完成單樣本均值檢驗(yàn)的操作。2. Indepe

9、ndent-Samples T Test過(guò)程 (1) 選擇菜單AnalyzeCompare means Independent-Samples T Test (2) 將需要檢驗(yàn)的變量從左側(cè)列表框通過(guò)中間的移動(dòng)按鈕選入到右側(cè)的Test Variable(s)框中。(3) 將分組變量從左側(cè)列表框通過(guò)中間的移動(dòng)按鈕選入到右側(cè)的Grouping Variable框中。(4) 單擊Define Groups按鈕，彈出Define Groups話框(5) 單擊“Options”按鈕(6) 單擊“OK”按鈕，即可完成獨(dú)立樣本均值檢驗(yàn)的操作。3. Paired-Samples T Test過(guò)程(1) 選擇菜單

10、AnalyzeCompare means Paired-Samples T Test，彈出Paired-Samples T Test框。(2) 從左側(cè)列表框中同時(shí)選兩個(gè)成對(duì)變量，將其移入到右側(cè)的Paired Variables框內(nèi)。(3) Current Selections項(xiàng)：顯示被選中的成對(duì)變量。(4) 單擊“Options”按鈕，彈出Paired-Samples T Test：Options對(duì)話框，其內(nèi)容設(shè)置與One-Samples T Test完全相同，此處不再重復(fù)。(5) 單擊“OK”按鈕4. One-Way ANOVA 過(guò)程(1) 選擇菜單AnalyzeCompare means

11、One-Way ANOVA，彈出One-Way ANOVA對(duì)話框。(2) 從左側(cè)列表框中選擇觀測(cè)變量，移入到右側(cè)的Dependent List框內(nèi)。(3) 從左側(cè)列表框中選擇因素變量，移入到Factor框內(nèi)(4) “Contrasts”按鈕和“Post Hoc”按鈕少用，略。(5) 單擊“Options”按鈕，彈出One-Way ANOVA : Options對(duì)話框。(6) 單擊“OK”按鈕 2.3 單因素方差分析2.3.1 方差分析的基本概念 在實(shí)際應(yīng)用中常常要探討不同實(shí)驗(yàn)條件或處理方法對(duì)結(jié)果的影響。通常是比較不同實(shí)驗(yàn)條件下總體均值間差異。方差分析是檢驗(yàn)多個(gè)總體均值間差異是否顯著的一種統(tǒng)計(jì)方

12、法。 簡(jiǎn)言之，方差分析是k個(gè)總體均值相等性的檢驗(yàn) 。方差分析中常用的術(shù)語(yǔ)有：(1) 實(shí)驗(yàn)指標(biāo)：將要考察的結(jié)果，用大寫字母X、Y等表示。(2) 實(shí)驗(yàn)因素：影響實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的條件，常用大寫字母A、B、 C等表示。(3) 因素水平：因素所處的某種特定狀態(tài)，常用代表該因素 的字母加下標(biāo)表示，如A1、A2、B1、B 2等表示。(4) 方差分析：對(duì)于影響一個(gè)指標(biāo)的眾多因素，若僅使一 個(gè)(或一個(gè)以上)因素發(fā)生變化，而其他因素均保持不變 (或控制在一定范圍內(nèi))，分析這一個(gè)(或一個(gè)以上)因素對(duì) 指標(biāo)的影響是否顯著，稱為單因素(或多因素)方差分析。例：為了比較四種不同肥料對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌

13、溉條件差不多的土地，分成16塊?；势贩N記為A1 ，A2 ，A3 ，A4，每種肥料分別施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：肥料品種A畝產(chǎn)量A1981，964，917，669A2607，693，506，358A3791，642，810，705A4901，703，792，883問(wèn)施肥品種對(duì)小麥產(chǎn)量有無(wú)影響。實(shí)驗(yàn)指標(biāo)實(shí)驗(yàn)因素因素水平單因素方差分析例：為了比較四種不同肥料、三種土壤對(duì)小麥畝產(chǎn)量的例：為了比較四種不同肥料、三種土壤對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響，化肥品種為影響，化肥品種為A1 ，A2 ，A3 ，A4，土壤記為土壤記為B1，B2，B3每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下

14、： 土壤種類土壤種類肥料品種肥料品種B1B2B3A1693，506607，358810，705A2810，705981，964792，883A3791，642810，705843，766A4917，669657，703901，703問(wèn)施肥品種、土壤種類對(duì)小麥產(chǎn)量有無(wú)影響。問(wèn)施肥品種、土壤種類對(duì)小麥產(chǎn)量有無(wú)影響。實(shí)驗(yàn)指標(biāo)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)實(shí)驗(yàn)因素實(shí)驗(yàn)因素因素水平因素水平兩因素方差兩因素方差分析分析2.3.2 單因素方差分析的基本原理單因素方差分析的基本原理1單因素方差分析的基本思路單因素方差分析的基本思路【例5.6】 一位教師采用3種不同的教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，現(xiàn)在想要檢查3種不同的教學(xué)方法的效果，為此隨機(jī)地

15、選取了水平相當(dāng)?shù)?5位學(xué)生。把他們分成3組，每組5個(gè)人，每一組用一種方法教學(xué)，一段時(shí)間后，這位教師給這15位學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)考，統(tǒng)考成績(jī)(單位：分)見表5-2。方法統(tǒng)考成績(jī)175627158732818568929037379607581試檢驗(yàn)這3種教學(xué)方法的效果有沒(méi)有顯著差異。A1A2A3實(shí)驗(yàn)指標(biāo)X1) 提出假設(shè)提出假設(shè)在不同的教學(xué)方法下，統(tǒng)考成績(jī)XiN(i，2)(i=1，2，3)且各Xi相互獨(dú)立。 H0:1= 2 =3 = H1:1， 2，3不全相等2) 平方和及自由度的分解平方和及自由度的分解全部數(shù)據(jù)之間存在差異全部數(shù)據(jù)之間存在差異 35211()TijijSxx=-邋ST 總誤差平方和 隨機(jī)

16、波動(dòng)引起的誤差 SE因素A的不同水平所產(chǎn)生的誤差SA35211()TijijSxx=-邋3511()()ijiiijxxxx=-=邋.3511()()iijiijxxxx鬃=-邋352ii11(.)( .)ijijxxxx=-+-邋0=隨機(jī)誤差平方和隨機(jī)誤差平方和SE 效應(yīng)誤差平方和效應(yīng)誤差平方和 SA 3535221111()()ijiiijijxxxx鬃=-+-邋邋35112()()ijijxxxx=+-邋ii.平方和分解公式平方和分解公式 ST = SE + SA自由度的分解自由度的分解 35211()TijijSxx=-邋求和項(xiàng)數(shù)共有求和項(xiàng)數(shù)共有35=15項(xiàng)，而存在項(xiàng)，而存在3511(

17、)0ijijxx=-=邋因此總誤差平方和因此總誤差平方和ST的自由度的自由度f(wàn)T=15-1=14。35211()EijiijSxx=-邋求和項(xiàng)數(shù)共有求和項(xiàng)數(shù)共有35=15項(xiàng)，而存在項(xiàng)，而存在5(-)0(1,2,3)1xxiij ij=因此隨機(jī)誤差平方和因此隨機(jī)誤差平方和SE的自由度的自由度f(wàn)E=15-3=12。35211()AiijSxx=-邋求和項(xiàng)數(shù)共有求和項(xiàng)數(shù)共有3項(xiàng)，而存在項(xiàng)，而存在31()0iixx=-因此效應(yīng)誤差平方和因此效應(yīng)誤差平方和ST的自由度的自由度 fA=3-1=2。自由度分解公式自由度分解公式 fT=fE+fA3) 顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)ST = SE + SA /AAAEE

18、ESfSFSfS=F(fA，fE) 拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)?WFF(fA，fE)2. 單素方差分析的一般計(jì)算步驟單素方差分析的一般計(jì)算步驟例：為了比較四種不同肥料對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉條件差不多的土地，分成16塊?；势贩N記為A1 ，A2 ，A3 ，A4，每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：肥料品種肥料品種A畝產(chǎn)量畝產(chǎn)量A1981，964，917，669A2607，693，506，358A3791，642，810，705A4901，703，792，883問(wèn)施肥品種對(duì)小麥產(chǎn)量有無(wú)影響。第一步：提出假設(shè)：第一步：提出假設(shè)：H0：1= 2 =3 = 4 = H1：1，2 ，3

19、， 4不全相等第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布/(1)(1,s)/(s)AAEESsSFF snsSnsS-=-:第三步：計(jì)算誤差平方和第三步：計(jì)算誤差平方和23535221111.()433557.8TijijijijXSxxXsn=-=-=邋邋223532111.()264970.3515iAiijiXXSXX=-=-=邋SE=ST-SA=168587.5第四步：列出方差分析表第四步：列出方差分析表第五步：做出統(tǒng)計(jì)決策第五步：做出統(tǒng)計(jì)決策計(jì)算知統(tǒng)計(jì)量取值F=6.287，臨界值F0.01(3，12)=5.96。由于 F0.01(3，12) F，因此拒絕H0，認(rèn)為不

20、同的肥料品種對(duì)小麥產(chǎn)量的影響有顯著性差異。3 3. . 單素方差分析的單素方差分析的SPSSSPSS實(shí)現(xiàn)過(guò)程實(shí)現(xiàn)過(guò)程(1) 選擇菜單AnalyzeCompare means One-Way ANOVA，彈出One-Way ANOVA對(duì)話框。(2) 從左側(cè)列表框中選擇觀測(cè)變量，移入到右側(cè)的Dependent List框內(nèi)。(3) 從左側(cè)列表框中選擇因素變量，移入到Factor框內(nèi)(4) “Contrasts”按鈕和“Post Hoc”按鈕少用，略。(5) 單擊“Options”按鈕，彈出One-Way ANOVA : Options對(duì)話框。(6) 單擊“OK”按鈕 2.4 雙因素方差分析 設(shè)有因

21、素A 與因素B，因素A 有r個(gè)水平 因素B有s個(gè)水平 因素A、B的水平的每對(duì)組合( ， ) (i = 1 ,2 ,r；j = 1 ,2 ,s) 的樣本含量設(shè)為m，樣本為 。 無(wú)交互作用的雙因素方差分析模型： 有交互作用的雙因素方差分析模型：2.4.1 雙因素方差分析的模型雙因素方差分析的模型1,A2,A .rA1,B.sBiAjB12,ijijijmyyy2,B ijkijijkyABijkijijkijyABAB符號(hào)說(shuō)明：其中總樣本容量 。2.4.2 雙因素方差分析的平方和分解雙因素方差分析的平方和分解11111111111,2,.,11,2,.,1rsmijkijksmiijkjkrmjijkikmijijkkyyNyyirsmyyjsrmyymnrs m 總偏差