行列式課程回顧

1、行列式行列式主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：1. 1. 二階行列式二階行列式. .2. 2. 三階行列式三階行列式. .3. n3. n階行列式階行列式. .4. 4. 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì). .一、一、 二階行列式二階行列式 我們先從解二元線性方程組引入二階行列我們先從解二元線性方程組引入二階行列式的概念及計(jì)算考慮二元線性方程組式的概念及計(jì)算考慮二元線性方程組 22221211212111bxaxabxaxa如果如果 那么方程組的解為那么方程組的解為 021122211 aaaa 211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx 如果對(duì)于方程組的系數(shù)如

2、果對(duì)于方程組的系數(shù),按其在方程組中出現(xiàn)的位置按其在方程組中出現(xiàn)的位置相應(yīng)地排列成一個(gè)方形表相應(yīng)地排列成一個(gè)方形表 引入記號(hào)引入記號(hào)| |22211211aaaa2112221122211211aaaaaaaa 那么就可以得到一個(gè)二階行列式，并規(guī)定為那么就可以得到一個(gè)二階行列式，并規(guī)定為 此式的右端稱為二階行列式的展開式此式的右端稱為二階行列式的展開式 aij(i=1,2;j=1,2)稱為二階行列式的元素，橫排的稱為行，稱為二階行列式的元素，橫排的稱為行，豎排的稱為列豎排的稱為列5253)1( 2222cossinsincos)2(52531 ）解：（解：（ 442222sincoscossin

3、sincos)2( 2cos)sin)(cossin(cos2222 例例1 1 計(jì)算下列各行列式計(jì)算下列各行列式-5=(-2)5 (-3) 類似地，三元線性方程組類似地，三元線性方程組 二、二、 三階行列式三階行列式 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)所構(gòu)成的行列式規(guī)定為的系數(shù)所構(gòu)成的行列式規(guī)定為 333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa 312213332112322311aaaaaaaaa 三階行列式的計(jì)算方法可用圖示記憶法，凡是實(shí)線上三階行列式的

4、計(jì)算方法可用圖示記憶法，凡是實(shí)線上三個(gè)元素相乘所得到的項(xiàng)帶正號(hào)，凡是虛線上三個(gè)元素相三個(gè)元素相乘所得到的項(xiàng)帶正號(hào)，凡是虛線上三個(gè)元素相乘所得到的項(xiàng)帶負(fù)號(hào)這種展開法稱為對(duì)角線展開法乘所得到的項(xiàng)帶負(fù)號(hào)這種展開法稱為對(duì)角線展開法 這種展開法稱為對(duì)角線展開法這種展開法稱為對(duì)角線展開法例例2 2 計(jì)算下列三階行列式：計(jì)算下列三階行列式：211121112)1(333231222111000)2(aaaaaa2111211121）解：（解：（211121112 4 111111222 333222113332312221110000)2(aaaaaaaaaa 332211aaa 三、三、n n階行列式階行

5、列式 一個(gè)三階行列式可以用三個(gè)二階行列式來表示，一個(gè)三階行列式可以用三個(gè)二階行列式來表示，所以可以用二階行列式來定義三階行列式，可以用三所以可以用二階行列式來定義三階行列式，可以用三階行列式來定義四階行列式，階行列式來定義四階行列式，依此類推，一般，依此類推，一般地，可以用地，可以用n n個(gè)個(gè)n n-1-1階行列式來定義階行列式來定義n n階行列式，下面給階行列式，下面給出出n n階行列式的定義：階行列式的定義：定義定義 設(shè)設(shè)n-1階行列式已經(jīng)定義，規(guī)定階行列式已經(jīng)定義，規(guī)定n階行列式階行列式nnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaD1112121111212222111211. 其中其

6、中 A A1j1j=(-1)=(-1)1+j1+jM M1j 1j nnn,jn,j-nn,j,j-n,j,j-ijaaaaaaaaaaaaM11131313312121221 ( ( j=1,2,=1,2,n ) ) 這里這里M1j為元素為元素a1j的余子式，即為劃掉的余子式，即為劃掉A的第的第1行第行第j列列后所得的后所得的n-1階行列式，階行列式，A1j稱為稱為a1j的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式由定義可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素由定義可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘積構(gòu)成的和式這種定義方法稱為歸納定義，通常，把的乘積構(gòu)成的和式這種定義方法稱為歸納定義，通常

7、，把上述定義簡(jiǎn)稱為按行列式的第上述定義簡(jiǎn)稱為按行列式的第1行展開行展開53480162501740024 D計(jì)算計(jì)算例例解解 因?yàn)橐驗(yàn)閍12=a13=0 所以由定義所以由定義14141111AaAaD 348162017)1(4534016501)1(24111 3416(-1)55301(-1)213111 8)-(6-4)-4(7(18-4)-5(1825 250 3812(-1)13416(-1)7 42111 行列式行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式DT的值相等的值相等 如果行列式的某一行（列）的每一個(gè)元素都是二如果行列式的某一行（列）的每一個(gè)元素都是二項(xiàng)式，則此行列式等于把這些

8、二項(xiàng)式各取一項(xiàng)作成相應(yīng)的項(xiàng)式，則此行列式等于把這些二項(xiàng)式各取一項(xiàng)作成相應(yīng)的行（列），其余的行（列）不變的兩各行列式的和行（列），其余的行（列）不變的兩各行列式的和nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211 四、行列式的性質(zhì)四、行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2 如果把行列式如果把行列式D的某一列（行）的每一個(gè)元素同乘的某一列（行）的每一個(gè)元素同乘以一個(gè)常數(shù)以一個(gè)常數(shù)k則此行列式的值等于則此行列式的值等于kD也就是說，行列式中也就是說，行列式中某一列（行

9、）所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面面 如果把行列式的某兩列（或兩行）對(duì)調(diào)，則所得如果把行列式的某兩列（或兩行）對(duì)調(diào)，則所得的行列式與原行列式的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的行列式與原行列式的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反 如果行列式的某兩列（或兩行）的對(duì)應(yīng)元素相同，如果行列式的某兩列（或兩行）的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零則此行列式的值等于零 如果行列式的某兩列（或兩行）的對(duì)應(yīng)元素成比如果行列式的某兩列（或兩行）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零例，則此行列式的值等于零 “行列式的兩列對(duì)應(yīng)元素成比例行列式的兩列對(duì)應(yīng)元素成比例”就是指存在一個(gè)常就

10、是指存在一個(gè)常數(shù)數(shù)k，使使ali=kalj(l=1,2n) 性質(zhì)性質(zhì)3 3性質(zhì)性質(zhì)4 4推論推論性質(zhì)性質(zhì)5 5 如果把行列式的某一列（行）的每一個(gè)元素加上如果把行列式的某一列（行）的每一個(gè)元素加上另一列（行）的對(duì)應(yīng)元素的另一列（行）的對(duì)應(yīng)元素的k倍，則所得行列式與原行列式的倍，則所得行列式與原行列式的值相等值相等性質(zhì)性質(zhì)6 692111-121-41112-231-7計(jì)計(jì)算算例例92111-121-41112-231-解：解：744011-1-023402-231-)()()()()()(141312rrrrrr 04320-1-1104471100061-0011-1-02-231-)(4)()(4)(2423 rrrr7440234011-1-02-231-)()(32 rr11 00-1600011baaaa