常微分方程：1-7可降階的高階方程

1、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束1.7 可降階的高階方程可降階的高階方程n階微分方程的一般形式是階微分方程的一般形式是: : ()( ,)0nFt x xx(1.7.1)(1.7.1) 當當2n時時,統(tǒng)稱為高階微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程.一一 、 可降階的高階方程可降階的高階方程1、不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)x的方程的方程不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)或不顯含未知函數(shù)及其或不顯含未知函數(shù)及其x( )(1)( )( ,)0kknF t xxx(1.7.2)(1.7.2) 直到直到) 1( 1kk階導數(shù)的方程是階導數(shù)的方程是 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束對上式進行對上式進行k k次積分次積分, ,可

2、求出方程可求出方程(1.7.2)(1.7.2)的解的解. .求解方法求解方法: : 若能求得其通解為若能求得其通解為: :令令 yxk)(, ,就可把就可把(1.7.2)(1.7.2)化為關于化為關于 y的的 kn階方程階方程: : 0),()( knyytF即即),(21)(knkccctx),(21kncccty 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束10dyydtt它是一個一階方程它是一個一階方程, ,通解是通解是: :44d xydt, ,則方程可化為則方程可化為: :ctdtxd44即即cty 解解: : 令令545410d xd xdtt dt例、例、 求解方程求解方程 目錄 上頁 下頁 返

3、回 結(jié)束積分上式四次積分上式四次, ,得原方程的通解為得原方程的通解為: : 54233251ctctctctcx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束2 、不顯含自變量、不顯含自變量t t的方程的方程求解方法求解方法: : 方程的一般形式為方程的一般形式為: :yx而把而把x作為新未知函數(shù)作為新未知函數(shù), ,用用作為作為新的自變量新的自變量, , 因為因為, ydtdx,22dxdyydtdxdxdydtdydtxd(1.7.3)(1.7.3)0),()(nxxxF 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束222233)()()(dxydydxdyydtdxdxdxdyyddtdxdyyddtxd由數(shù)學歸納法知

4、由數(shù)學歸納法知, , )(kx可用可用 )(,11nkdxyddxdyykk來表達來表達, ,將這些表達式代入將這些表達式代入 (1.7.3)(1.7.3) 可得可得 0) ,)(,(2222dxdydxdyydxdyyyxFy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束即有新方程即有新方程: : 它比原來的方程降低了一階它比原來的方程降低了一階. . 11( , ,)0nndydyG x ydxdx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束20dyxyydx1yc x所以所以2220d xdxxdtdt例例 求解方程求解方程于是原方程化為于是原方程化為: :xy作為新未知變量作為新未知變量, ,取取x解解: :令令從

5、而可得從而可得0y dydxyx及及 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束12c txc e代入原變量得代入原變量得: :xcdtdx1故原方程的解為故原方程的解為: : 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束3 3、 全微分方程和積分因子全微分方程和積分因子若方程若方程( , ,)0nndxd xF t xdtdt，的左端是某個的左端是某個n-1n-1階微分表達式階微分表達式11( , ,)nndxdxt xdtdt，對對t t的全導數(shù)，即的全導數(shù)，即 11( , ,)( , ,)nnnndxd xddxdxF t xt xdtdtdtdtdt，稱稱(1.7.4)(1.7.4)為為全微分方程全微分方程，顯然有

6、，顯然有 (1.7.4)(1.7.4)111( , ,)nndxdxt xcdtdt，(1.7.5)(1.7.5) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束若求得（若求得（1.7.51.7.5）的全部解）的全部解: : 則它也一定是則它也一定是(1.7.4)(1.7.4)的解的解. .),(11nndtxddtdxxt后就成為全微分方程后就成為全微分方程. . 稱其為方程稱其為方程(1.7.4)(1.7.4)的積分的積分本身不是全微分本身不是全微分有時方程有時方程(1.7.4)(1.7.4)積分因子積分因子: :方程方程, ,但乘以一個合適的因子但乘以一個合適的因子因子因子. .),(21nccctx 目

7、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束例例 求解方程求解方程解：解：原方程可以寫成原方程可以寫成222()0d xdxxdtdt()0d xxdt即即1xdxc dt212xctc積分后得通解為積分后得通解為故有故有1cxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束例例 求解方程求解方程解解: : 方程兩邊乘以因子方程兩邊乘以因子(0)x 方程化為方程化為: : 22221( .)11()0dxdd xdxx dtx dtxdtdt故有故有 11 dxcx dt222()0d xdxxdtdt解得解得 122(0)c txc ec故原方程的解為故原方程的解為 12c txc e21x顯然顯然0 x 也是原方程的解也是

8、原方程的解. . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束4 、可降階的高階方程的應用舉例可降階的高階方程的應用舉例速度速度V V運動，方向永遠指向運動，方向永遠指向P P點點, ,求求M M點的運動點的運動在在軸上有一點軸上有一點P P以以常速度常速度a a沿著沿著軸軸xOxO例、例、 追線問題追線問題平面上另有一點平面上另有一點M,M,它以常它以常正向移動正向移動; ;在在xoy軌跡軌跡. .解解: : 首先我們建立點首先我們建立點M M運動時所滿足的微分運動時所滿足的微分方程模型方程模型. . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束標標, ,根據(jù)條件有根據(jù)條件有 （1.7.71.7.7）222()()dxdy

9、vdtdt以以( , )x y記點記點M M在時刻在時刻t t的坐標，以的坐標，以X X記記圖圖1.71.7點點P P在時刻在時刻t t的橫坐標，的橫坐標， 表示表示P P點在點在t=0t=0的橫坐的橫坐0X（1.7.61.7.6）atXX0),(yxM),(000yxM0PPOyxXaa 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束把（把（1.7.61.7.6）代入（）代入（1.7.81.7.8），并記），并記dyydx221dtyyyadxy （1.7.81.7.8）得得: :上式兩邊關于上式兩邊關于作為自變量，作為自變量，把把xx求導得求導得（1.7.91.7.9）即即2yayydxdt xXydxdy

10、yyatxX0 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束由（由（1.7.91.7.9）和（）和（1.7.101.7.10）得到）得到M M的追線方程的追線方程 221ayyyvy于是（于是（1.7.111.7.11）變?yōu)椋┳優(yōu)?dtdxdxdydtdy又由又由得得: :211yvdxdt（1.7.101.7.10）（1.7.111.7.11）令令dypdxdpypdy則則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束由此得由此得 221dpapppdyvy0,12ppvyapdydp（1.7.121.7.12）從從 0p得解得解0y, ,即點即點M M沿沿OxOx軸移動軸移動. . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束討論方程討

11、論方程221dpapppdyvy由圖由圖1.71.7知知, ,在點在點M M未追上點未追上點P P之前之前, ,點點P P的橫的橫坐標總大于點坐標總大于點M M 的橫坐標的橫坐標, ,即當即當0y0p時時所以積分上式得所以積分上式得: :)ln(ln)1(11ln(2cyvapp即即vacypp)()1(112 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束假設開始追逐是假設開始追逐是, ,點點P P和和M M同在一條平行于同在一條平行于y軸的直線上軸的直線上, ,并記它們的位置為并記它們的位置為0P),(000yxM及及顯然有顯然有01p, ,由此得由此得01yc , ,從而得從而得: :vayypp)()1

12、(1102由上式得由上式得: :vayypp)()1(1102（1.7.131.7.13）（1.7.141.7.14）(1.7.13)(1.7.13)減去減去(1.7.14)(1.7.14)得得: : 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束vavayyyyp)()(200即即vavayyyydydx)()(200為了使點為了使點M M有可能追上點有可能追上點P,P,我們假設我們假設av （1.7.151.7.15）此時此時, ,由由(1.7.15)(1.7.15)得到追線方程為得到追線方程為: :1100100)(1)(12cyyvayyyvayxvava 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束由于初始點由于初始

13、點),(000yxM在追線上在追線上, ,即當即當0yy 0 xx 時時, , ,因此得因此得: :11112001vavayxc從而得追線方程從而得追線方程: :0100100 1)()1 (2 1)()1 (2xyyvayyyvayxvava當當0y時時, ,就得到相遇點的坐標是就得到相遇點的坐標是 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束220022001)1 (avavyxvavayxx追上所需的時間是追上所需的時間是22001avvyaxxT 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束例例 、 懸鏈線問題懸鏈線問題有一繩索懸掛在有一繩索懸掛在A A和和B B兩點兩點( (不一定是在同一不一定是在同一水平線水平

14、線),),如圖如圖3.23.2所示所示. .設繩索是均勻的設繩索是均勻的, ,柔柔軟的軟的, ,僅受繩本身的重量作用僅受繩本身的重量作用, ,它彎曲如圖中的它彎曲如圖中的形狀形狀, ,試確定該繩索在平衡狀態(tài)時的形狀試確定該繩索在平衡狀態(tài)時的形狀. .解解: : 設設C C是其最低點是其最低點, ,選取坐標系選取坐標系xOy如圖中所示如圖中所示, ,且且y軸通過軸通過C C點點. . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束A AB BC CO O),(yxPxy圖圖3.23.2考慮繩索在最低點考慮繩索在最低點C C與點與點),(yxP之間的一段之間的一段, ,這一段在下面三個力的作用下平衡這一段在下面三個

15、力的作用下平衡: :(1)(1)在點在點P P的張力的張力T,T,方向沿著方向沿著P P點的切線方向點的切線方向; ;(2)(2)在點在點C C的水平張力的水平張力H;H;(3)CP(3)CP段的垂直的重量段的垂直的重量, ,記為記為)(xW, ,設它作用設它作用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束在某一點在某一點Q Q處處, ,不一定是不一定是CPCP的中心的中心, ,見圖見圖3.33.3由于由于平衡關系平衡關系, ,這些力在這些力在x軸軸( (水平水平) )方向的代數(shù)和方向的代數(shù)和y為為0,0,在在軸軸( (垂直垂直) )方向的代數(shù)和也必須為方向的代數(shù)和也必須為0.0.T TQ QC CH H)

16、,(yxP)(xW圖圖3.33.3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束現(xiàn)將張力分解為兩個分力：水平方向分現(xiàn)將張力分解為兩個分力：水平方向分cosT，垂直方向分力為，垂直方向分力為sinT此時，在此時，在力為力為x軸方向向左而軸方向向左而cosT向右；在向右；在y軸方向，軸方向，)(xW向下而向下而sinT向上，按平衡關系有：向上，按平衡關系有：HTxWTcos),(sin兩式相除，并利用關系式兩式相除，并利用關系式dxdytan（為點的切（為點的切線斜率）得：線斜率）得：HxWdxdy)( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束是在最低點處的張力，是常數(shù)，但是在最低點處的張力，是常數(shù)，但)(xW依賴于依賴于x

17、，將上式兩邊對，將上式兩邊對x微分得微分得dxdWHdxyd122其中其中dxdW表示在水平方向上，表示在水平方向上，x每增加單位每增加單位距離時，段弧所增加的重量設繩索的密度距離時，段弧所增加的重量設繩索的密度wdSdW為為w，則有，則有其中表示從點算起的弧其中表示從點算起的弧dxdW長，我們需要求出長，我們需要求出，因為，因為（1.7.11.7.1） 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束wdSdxdxdWdSdW或或dxdSwdxdW又由于又由于2)(1dxdydxdS故故2)(1dxdywdxdW從而方程從而方程（1.7.161.7.16）化為：化為：222)(1dxdyHwdxyd（1.7.1

18、1.7.1） 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束記記b為繩索最低點到坐標原點的距離，為繩索最低點到坐標原點的距離，則有：則有：0)0(,)0(yby（1.7.11.7.1）是一個不顯含自變量）是一個不顯含自變量x的方的方dxdyp 程，令程，令則方程則方程（1.7.11.7.1）化為化為2)(1pHwdxdp分離變量，積分得：分離變量，積分得：121cdxHwpdp 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束即即12)(1ln(caxpp式中式中wHa 把初始條件把初始條件0)0( y代入代入（1.7.11.7.1）上式得：上式得：01c（1.7.11.7.1）上式兩端同時乘以上式兩端同時乘以，故（，故（1.7.11.7.1）變?yōu)椋┳優(yōu)閍xepp2)(12)(1pp得：得：axepp2)(1兩式相加得：兩式相加得： 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束)()(21axsheepaxax即即)()(21axsheeyaxax積分上式，得：積分上式，得：22)()(2caxachceeayaxax把初始條件把