常微分方程：1-7可降階的高階方程

1、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束1.7 可降階的高階方程可降階的高階方程n階微分方程的一般形式是階微分方程的一般形式是: : ()( ,)0nFt x xx(1.7.1)(1.7.1) 當(dāng)當(dāng)2n時(shí)時(shí),統(tǒng)稱為高階微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程.一一 、 可降階的高階方程可降階的高階方程1、不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)x的方程的方程不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)或不顯含未知函數(shù)及其或不顯含未知函數(shù)及其x( )(1)( )( ,)0kknF t xxx(1.7.2)(1.7.2) 直到直到) 1( 1kk階導(dǎo)數(shù)的方程是階導(dǎo)數(shù)的方程是 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束對(duì)上式進(jìn)行對(duì)上式進(jìn)行k k次積分次積分, ,可

2、求出方程可求出方程(1.7.2)(1.7.2)的解的解. .求解方法求解方法: : 若能求得其通解為若能求得其通解為: :令令 yxk)(, ,就可把就可把(1.7.2)(1.7.2)化為關(guān)于化為關(guān)于 y的的 kn階方程階方程: : 0),()( knyytF即即),(21)(knkccctx),(21kncccty 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束10dyydtt它是一個(gè)一階方程它是一個(gè)一階方程, ,通解是通解是: :44d xydt, ,則方程可化為則方程可化為: :ctdtxd44即即cty 解解: : 令令545410d xd xdtt dt例、例、 求解方程求解方程 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

3、回 結(jié)束積分上式四次積分上式四次, ,得原方程的通解為得原方程的通解為: : 54233251ctctctctcx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束2 、不顯含自變量、不顯含自變量t t的方程的方程求解方法求解方法: : 方程的一般形式為方程的一般形式為: :yx而把而把x作為新未知函數(shù)作為新未知函數(shù), ,用用作為作為新的自變量新的自變量, , 因?yàn)橐驗(yàn)? ydtdx,22dxdyydtdxdxdydtdydtxd(1.7.3)(1.7.3)0),()(nxxxF 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束222233)()()(dxydydxdyydtdxdxdxdyyddtdxdyyddtxd由數(shù)學(xué)歸納法知

4、由數(shù)學(xué)歸納法知, , )(kx可用可用 )(,11nkdxyddxdyykk來(lái)表達(dá)來(lái)表達(dá), ,將這些表達(dá)式代入將這些表達(dá)式代入 (1.7.3)(1.7.3) 可得可得 0) ,)(,(2222dxdydxdyydxdyyyxFy 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束即有新方程即有新方程: : 它比原來(lái)的方程降低了一階它比原來(lái)的方程降低了一階. . 11( , ,)0nndydyG x ydxdx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束20dyxyydx1yc x所以所以2220d xdxxdtdt例例 求解方程求解方程于是原方程化為于是原方程化為: :xy作為新未知變量作為新未知變量, ,取取x解解: :令令從

5、而可得從而可得0y dydxyx及及 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束12c txc e代入原變量得代入原變量得: :xcdtdx1故原方程的解為故原方程的解為: : 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束3 3、 全微分方程和積分因子全微分方程和積分因子若方程若方程( , ,)0nndxd xF t xdtdt，的左端是某個(gè)的左端是某個(gè)n-1n-1階微分表達(dá)式階微分表達(dá)式11( , ,)nndxdxt xdtdt，對(duì)對(duì)t t的全導(dǎo)數(shù)，即的全導(dǎo)數(shù)，即 11( , ,)( , ,)nnnndxd xddxdxF t xt xdtdtdtdtdt，稱稱(1.7.4)(1.7.4)為為全微分方程全微分方程，顯然有

6、，顯然有 (1.7.4)(1.7.4)111( , ,)nndxdxt xcdtdt，(1.7.5)(1.7.5) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束若求得（若求得（1.7.51.7.5）的全部解）的全部解: : 則它也一定是則它也一定是(1.7.4)(1.7.4)的解的解. .),(11nndtxddtdxxt后就成為全微分方程后就成為全微分方程. . 稱其為方程稱其為方程(1.7.4)(1.7.4)的積分的積分本身不是全微分本身不是全微分有時(shí)方程有時(shí)方程(1.7.4)(1.7.4)積分因子積分因子: :方程方程, ,但乘以一個(gè)合適的因子但乘以一個(gè)合適的因子因子因子. .),(21nccctx 目

7、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束例例 求解方程求解方程解：解：原方程可以寫成原方程可以寫成222()0d xdxxdtdt()0d xxdt即即1xdxc dt212xctc積分后得通解為積分后得通解為故有故有1cxx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束例例 求解方程求解方程解解: : 方程兩邊乘以因子方程兩邊乘以因子(0)x 方程化為方程化為: : 22221( .)11()0dxdd xdxx dtx dtxdtdt故有故有 11 dxcx dt222()0d xdxxdtdt解得解得 122(0)c txc ec故原方程的解為故原方程的解為 12c txc e21x顯然顯然0 x 也是原方程的解也是

8、原方程的解. . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束4 、可降階的高階方程的應(yīng)用舉例可降階的高階方程的應(yīng)用舉例速度速度V V運(yùn)動(dòng)，方向永遠(yuǎn)指向運(yùn)動(dòng)，方向永遠(yuǎn)指向P P點(diǎn)點(diǎn), ,求求M M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)在在軸上有一點(diǎn)軸上有一點(diǎn)P P以以常速度常速度a a沿著沿著軸軸xOxO例、例、 追線問(wèn)題追線問(wèn)題平面上另有一點(diǎn)平面上另有一點(diǎn)M,M,它以常它以常正向移動(dòng)正向移動(dòng); ;在在xoy軌跡軌跡. .解解: : 首先我們建立點(diǎn)首先我們建立點(diǎn)M M運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的微分運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的微分方程模型方程模型. . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束標(biāo)標(biāo), ,根據(jù)條件有根據(jù)條件有 （1.7.71.7.7）222()()dxdy

9、vdtdt以以( , )x y記點(diǎn)記點(diǎn)M M在時(shí)刻在時(shí)刻t t的坐標(biāo)，以的坐標(biāo)，以X X記記圖圖1.71.7點(diǎn)點(diǎn)P P在時(shí)刻在時(shí)刻t t的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)， 表示表示P P點(diǎn)在點(diǎn)在t=0t=0的橫坐的橫坐0X（1.7.61.7.6）atXX0),(yxM),(000yxM0PPOyxXaa 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束把（把（1.7.61.7.6）代入（）代入（1.7.81.7.8），并記），并記dyydx221dtyyyadxy （1.7.81.7.8）得得: :上式兩邊關(guān)于上式兩邊關(guān)于作為自變量，作為自變量，把把xx求導(dǎo)得求導(dǎo)得（1.7.91.7.9）即即2yayydxdt xXydxdy

10、yyatxX0 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束由（由（1.7.91.7.9）和（）和（1.7.101.7.10）得到）得到M M的追線方程的追線方程 221ayyyvy于是（于是（1.7.111.7.11）變?yōu)椋┳優(yōu)?dtdxdxdydtdy又由又由得得: :211yvdxdt（1.7.101.7.10）（1.7.111.7.11）令令dypdxdpypdy則則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束由此得由此得 221dpapppdyvy0,12ppvyapdydp（1.7.121.7.12）從從 0p得解得解0y, ,即點(diǎn)即點(diǎn)M M沿沿OxOx軸移動(dòng)軸移動(dòng). . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束討論方程討

11、論方程221dpapppdyvy由圖由圖1.71.7知知, ,在點(diǎn)在點(diǎn)M M未追上點(diǎn)未追上點(diǎn)P P之前之前, ,點(diǎn)點(diǎn)P P的橫的橫坐標(biāo)總大于點(diǎn)坐標(biāo)總大于點(diǎn)M M 的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo), ,即當(dāng)即當(dāng)0y0p時(shí)時(shí)所以積分上式得所以積分上式得: :)ln(ln)1(11ln(2cyvapp即即vacypp)()1(112 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束假設(shè)開(kāi)始追逐是假設(shè)開(kāi)始追逐是, ,點(diǎn)點(diǎn)P P和和M M同在一條平行于同在一條平行于y軸的直線上軸的直線上, ,并記它們的位置為并記它們的位置為0P),(000yxM及及顯然有顯然有01p, ,由此得由此得01yc , ,從而得從而得: :vayypp)()1

12、(1102由上式得由上式得: :vayypp)()1(1102（1.7.131.7.13）（1.7.141.7.14）(1.7.13)(1.7.13)減去減去(1.7.14)(1.7.14)得得: : 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束vavayyyyp)()(200即即vavayyyydydx)()(200為了使點(diǎn)為了使點(diǎn)M M有可能追上點(diǎn)有可能追上點(diǎn)P,P,我們假設(shè)我們假設(shè)av （1.7.151.7.15）此時(shí)此時(shí), ,由由(1.7.15)(1.7.15)得到追線方程為得到追線方程為: :1100100)(1)(12cyyvayyyvayxvava 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束由于初始點(diǎn)由于初始

13、點(diǎn)),(000yxM在追線上在追線上, ,即當(dāng)即當(dāng)0yy 0 xx 時(shí)時(shí), , ,因此得因此得: :11112001vavayxc從而得追線方程從而得追線方程: :0100100 1)()1 (2 1)()1 (2xyyvayyyvayxvava當(dāng)當(dāng)0y時(shí)時(shí), ,就得到相遇點(diǎn)的坐標(biāo)是就得到相遇點(diǎn)的坐標(biāo)是 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束220022001)1 (avavyxvavayxx追上所需的時(shí)間是追上所需的時(shí)間是22001avvyaxxT 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束例例 、 懸鏈線問(wèn)題懸鏈線問(wèn)題有一繩索懸掛在有一繩索懸掛在A A和和B B兩點(diǎn)兩點(diǎn)( (不一定是在同一不一定是在同一水平線水平

14、線),),如圖如圖3.23.2所示所示. .設(shè)繩索是均勻的設(shè)繩索是均勻的, ,柔柔軟的軟的, ,僅受繩本身的重量作用僅受繩本身的重量作用, ,它彎曲如圖中的它彎曲如圖中的形狀形狀, ,試確定該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)的形狀試確定該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)的形狀. .解解: : 設(shè)設(shè)C C是其最低點(diǎn)是其最低點(diǎn), ,選取坐標(biāo)系選取坐標(biāo)系xOy如圖中所示如圖中所示, ,且且y軸通過(guò)軸通過(guò)C C點(diǎn)點(diǎn). . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束A AB BC CO O),(yxPxy圖圖3.23.2考慮繩索在最低點(diǎn)考慮繩索在最低點(diǎn)C C與點(diǎn)與點(diǎn)),(yxP之間的一段之間的一段, ,這一段在下面三個(gè)力的作用下平衡這一段在下面三個(gè)

15、力的作用下平衡: :(1)(1)在點(diǎn)在點(diǎn)P P的張力的張力T,T,方向沿著方向沿著P P點(diǎn)的切線方向點(diǎn)的切線方向; ;(2)(2)在點(diǎn)在點(diǎn)C C的水平張力的水平張力H;H;(3)CP(3)CP段的垂直的重量段的垂直的重量, ,記為記為)(xW, ,設(shè)它作用設(shè)它作用 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束在某一點(diǎn)在某一點(diǎn)Q Q處處, ,不一定是不一定是CPCP的中心的中心, ,見(jiàn)圖見(jiàn)圖3.33.3由于由于平衡關(guān)系平衡關(guān)系, ,這些力在這些力在x軸軸( (水平水平) )方向的代數(shù)和方向的代數(shù)和y為為0,0,在在軸軸( (垂直垂直) )方向的代數(shù)和也必須為方向的代數(shù)和也必須為0.0.T TQ QC CH H)

16、,(yxP)(xW圖圖3.33.3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束現(xiàn)將張力分解為兩個(gè)分力：水平方向分現(xiàn)將張力分解為兩個(gè)分力：水平方向分cosT，垂直方向分力為，垂直方向分力為sinT此時(shí)，在此時(shí)，在力為力為x軸方向向左而軸方向向左而cosT向右；在向右；在y軸方向，軸方向，)(xW向下而向下而sinT向上，按平衡關(guān)系有：向上，按平衡關(guān)系有：HTxWTcos),(sin兩式相除，并利用關(guān)系式兩式相除，并利用關(guān)系式dxdytan（為點(diǎn)的切（為點(diǎn)的切線斜率）得：線斜率）得：HxWdxdy)( 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束是在最低點(diǎn)處的張力，是常數(shù)，但是在最低點(diǎn)處的張力，是常數(shù)，但)(xW依賴于依賴于x

17、，將上式兩邊對(duì)，將上式兩邊對(duì)x微分得微分得dxdWHdxyd122其中其中dxdW表示在水平方向上，表示在水平方向上，x每增加單位每增加單位距離時(shí)，段弧所增加的重量設(shè)繩索的密度距離時(shí)，段弧所增加的重量設(shè)繩索的密度wdSdW為為w，則有，則有其中表示從點(diǎn)算起的弧其中表示從點(diǎn)算起的弧dxdW長(zhǎng)，我們需要求出長(zhǎng)，我們需要求出，因?yàn)?，因?yàn)椋?.7.11.7.1） 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束wdSdxdxdWdSdW或或dxdSwdxdW又由于又由于2)(1dxdydxdS故故2)(1dxdywdxdW從而方程從而方程（1.7.161.7.16）化為：化為：222)(1dxdyHwdxyd（1.7.1

18、1.7.1） 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束記記b為繩索最低點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，為繩索最低點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，則有：則有：0)0(,)0(yby（1.7.11.7.1）是一個(gè)不顯含自變量）是一個(gè)不顯含自變量x的方的方dxdyp 程，令程，令則方程則方程（1.7.11.7.1）化為化為2)(1pHwdxdp分離變量，積分得：分離變量，積分得：121cdxHwpdp 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束即即12)(1ln(caxpp式中式中wHa 把初始條件把初始條件0)0( y代入代入（1.7.11.7.1）上式得：上式得：01c（1.7.11.7.1）上式兩端同時(shí)乘以上式兩端同時(shí)乘以，故（，故（1.7.11.7.1）變?yōu)椋┳優(yōu)閍xepp2)(12)(1pp得：得：axepp2)(1兩式相加得：兩式相加得： 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束)()(21axsheepaxax即即)()(21axsheeyaxax積分上式，得：積分上式，得：22)()(2caxachceeayaxax把初始條件把