數(shù)學(xué)中的符號(hào)化思想方法

1、 第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)符號(hào)概述數(shù)學(xué)符號(hào)概述1 1、符號(hào)、符號(hào)的產(chǎn)生源于的產(chǎn)生源于“給予意義給予意義”的行為。的行為。 例如例如“葉落知秋葉落知秋”，于是飄落的一片黃葉成為秋天的，于是飄落的一片黃葉成為秋天的 符號(hào)。符號(hào)。2、符號(hào)已深入到人類生活的方方面面。 著名語(yǔ)言學(xué)家皮埃爾.吉羅說(shuō)“我們生活在符號(hào)之 間”。3、符號(hào)包括“符號(hào)形式”（能指）和“符號(hào)內(nèi)容”（所 指）兩個(gè)方面。 例如：形式：、； 內(nèi)容：圓、全等于和三角形。 “沒有形式的內(nèi)容或”沒有“內(nèi)容的形式”都不是符號(hào)。一、符號(hào)是人們約定用來(lái)指稱一定對(duì)象的標(biāo)志物，是 用以表達(dá)和交換思想的工具。二、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)符號(hào)是傳播數(shù)學(xué)思想的媒介符號(hào)是傳播數(shù)學(xué)

2、思想的媒介。數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)符號(hào)化系統(tǒng)符號(hào)化系統(tǒng)=數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)學(xué)符號(hào)的特征：1 1、物質(zhì)性、物質(zhì)性：以一定的物質(zhì)形式為背景，可感知。2 2、抽象性：、抽象性：數(shù)學(xué)符號(hào)是一種抽象化了的的思想材料。3 3、精確性：、精確性：數(shù)學(xué)主要依靠嚴(yán)格的推理來(lái)演繹證明”， 意義不能含糊不清。4、規(guī)范性：規(guī)范性：具有相對(duì)的穩(wěn)定性，便于交流。5 5、開放性：、開放性：數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)展不斷 完善。第二節(jié)、數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)史第二節(jié)、數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)史 關(guān)關(guān)數(shù)學(xué)發(fā)展史可以追溯到古希臘時(shí)代，至今已有數(shù)學(xué)發(fā)展史可以追溯到古希臘時(shí)代，至今已有3000年歷史，數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展時(shí)間只有年歷史，數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展時(shí)間只有400余

3、年，而大余年，而大多數(shù)數(shù)學(xué)符號(hào)的歷史甚至不到多數(shù)數(shù)學(xué)符號(hào)的歷史甚至不到400年。年。 數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展的數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展的400余年，大致可以分為五個(gè)階段。余年，大致可以分為五個(gè)階段。一、建立一、建立自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的符號(hào)體系。自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的符號(hào)體系。1 1、人類、人類早期的記數(shù)方法。實(shí)物記數(shù)、結(jié)繩記數(shù)、刻痕記數(shù)、用身體某個(gè)部分來(lái)表示數(shù)。2、早期、早期的文明產(chǎn)生了各自的記數(shù)符號(hào)。如：數(shù)字符號(hào)09用的是印度.阿拉伯?dāng)?shù)碼； 古埃及人用象形文字記數(shù)，但不知道位值記數(shù)； 古巴比倫人有位值思想，但沒有適當(dāng)?shù)牧闾?hào)； 古代中國(guó)人用算籌記數(shù)，形成了較完善的記數(shù)方法；3、1450年，年，活版印刷的發(fā)明促進(jìn)了記數(shù)符號(hào)的規(guī)范化

4、。 現(xiàn)行的10進(jìn)制記數(shù)法和數(shù)字符號(hào)才于16世紀(jì)以后的歐洲通行。4 4、位值、位值制記數(shù)法是人類智慧的結(jié)晶。 中美洲的瑪雅人用二十進(jìn)制； 古代中國(guó)人用過(guò)十六進(jìn)制，最早用十進(jìn)制； 古巴比倫人用六十進(jìn)制； 5 5、“0”“0”表示“零，最早于公元4世紀(jì)左右產(chǎn)生于中印邊界一帶”。完善的“0”符號(hào)的出現(xiàn)。形成了完整的位值記數(shù)法；完成了自然數(shù)的符號(hào)系統(tǒng)6 6、分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)是在運(yùn)算過(guò)程中產(chǎn)生的，表示兩個(gè)整數(shù)的商。二、建立代數(shù)符號(hào)體系。二、建立代數(shù)符號(hào)體系。 代數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵是要建立一套有效的符號(hào)系統(tǒng)。代數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵是要建立一套有效的符號(hào)系統(tǒng)。1 1、古代、古代的代數(shù)基本上都用文辭或縮寫的形式表示。 如：“x

5、2+10 x=39”在阿拉伯人阿爾.花拉子模的代 數(shù)學(xué)中說(shuō)成“一個(gè)數(shù)的平方及其根的十倍等于39”2 2、符號(hào)、符號(hào)代數(shù)到16世紀(jì)才開始在西歐出現(xiàn)，17世紀(jì)開 始流行。3 3、韋達(dá)、韋達(dá)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行了改進(jìn)。 在韋達(dá)那里，“A cubus+A planum in A3 aequatur D solido ”就是現(xiàn)在的“A3+3BA=D”4 4、笛卡爾、笛卡爾是提出用字母表后面的字母“x、y、z”表示已知數(shù)，用前面的字母“a、b、c”表示已知數(shù)。、萊布尼茲、萊布尼茲創(chuàng)造了點(diǎn)乘號(hào)“.”；拉恩使用了除號(hào)“”；奧特里德用了“”，加號(hào)“”和減號(hào) “”開始是作為“超過(guò)”和“不足”引入的；代數(shù)符號(hào)到世紀(jì)基本完善

6、代數(shù)符號(hào)到世紀(jì)基本完善三、與微積分學(xué)的產(chǎn)生相聯(lián)系的符號(hào)的三、與微積分學(xué)的產(chǎn)生相聯(lián)系的符號(hào)的發(fā)展。發(fā)展。微積分是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的微積分是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的是人類精是人類精神上的偉大勝利。神上的偉大勝利。、牛頓、牛頓和萊布尼茲最偉大的功績(jī)是將兩上看似貌不相關(guān)和萊布尼茲最偉大的功績(jī)是將兩上看似貌不相關(guān)的的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，一個(gè)是求積問(wèn)題，一個(gè)切線問(wèn)題，的的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，一個(gè)是求積問(wèn)題，一個(gè)切線問(wèn)題，形成了形成了“牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式”、牛頓、牛頓和萊布尼各茲引進(jìn)了一些導(dǎo)數(shù)、微分、積分等有關(guān)符號(hào)。如：牛頓把“d”拉長(zhǎng)，用作微分符號(hào)；萊布尼茲把“s”拉長(zhǎng)為 ，用作只分記號(hào)；

7、、微積分、微積分符號(hào)的建立克服了對(duì)極限、連續(xù)等一系列重要概念描述的含糊不清，大力推動(dòng)了微積分的發(fā)展。 三、集合論和數(shù)理邏輯符號(hào)在數(shù)學(xué)中三、集合論和數(shù)理邏輯符號(hào)在數(shù)學(xué)中的發(fā)展和滲透。的發(fā)展和滲透。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合論已構(gòu)成全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它的概念和方現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合論已構(gòu)成全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它的概念和方法幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支乃到其它學(xué)科。法幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支乃到其它學(xué)科。、集合論、集合論和數(shù)理邏輯符號(hào)逐步向數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展和滲透。 如:集合符號(hào)A、B、C；并集;交集;屬于;2 2、集合論、集合論和數(shù)理邏輯符號(hào)的引入使數(shù)學(xué)語(yǔ)言更加簡(jiǎn)便; 第三節(jié)、符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。第三節(jié)、符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影

8、響。 數(shù)學(xué)的發(fā)展推動(dòng)了數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展，同時(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展又促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 “數(shù)學(xué)的一切進(jìn)步都是對(duì)引入符號(hào)的反應(yīng)”； 數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)方法論有密切關(guān)系所以數(shù)學(xué)中的符號(hào)化思想受到數(shù)學(xué)方法論研究的格外重視。一、符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。一、符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。、歐洲、歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字輸入以前，使用羅馬數(shù)碼，由于不 是進(jìn)位制的，一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)要寫成一長(zhǎng)串，使得做加減 法已經(jīng)困難，會(huì)乘除就可稱專家了。 如：“2354”要寫成 CC CC CC CC XXX XXX XXX XXX Y Y Y Y D C C D C X X X X 再進(jìn)一步合并為“DCCCCXL”2 2、中國(guó)、中國(guó)長(zhǎng)期不用阿拉伯?dāng)?shù)字，是因

9、為與算籌式數(shù)碼計(jì)數(shù)法相比，阿拉伯?dāng)?shù)定并無(wú)明顯優(yōu)勢(shì)。 但是，遲遲不用阿拉伯?dāng)?shù)字，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)但是，遲遲不用阿拉伯?dāng)?shù)字，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展有一定影響。展有一定影響。3 3、微積分、微積分的發(fā)展史也是數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展史；“數(shù)學(xué)分析的語(yǔ)言，是所有數(shù)學(xué)語(yǔ)言中最完善的語(yǔ)言”。4 4、牛頓、牛頓是微積分發(fā)明的先行者（早萊布尼茲10年），但萊布尼茲較早（3年）公布成果，其原因是萊布尼茲使用的符號(hào)更為優(yōu)越。 以上例子說(shuō)明：數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)本身發(fā)展的推動(dòng)作用形式對(duì)本質(zhì)的反作用。一、數(shù)學(xué)符號(hào)導(dǎo)致新數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。一、數(shù)學(xué)符號(hào)導(dǎo)致新數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。 數(shù)學(xué)符號(hào)不僅影響了數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，同時(shí)也導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。1 1

10、、韋達(dá)、韋達(dá)用字母表示數(shù)，使得代數(shù)能夠逐漸成為一門正式的學(xué)科而獨(dú)立出來(lái)。2 2、坐標(biāo)、坐標(biāo)體系的建立和用“x”“y”表示變?cè)苯哟龠M(jìn)了解析幾何學(xué)的發(fā)展。3 3、數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)符號(hào)與傳統(tǒng)邏輯相結(jié)合，促使了數(shù)理邏輯的誕生。4 4、布爾、布爾試圖把初等代數(shù)與形式邏輯相結(jié)合，通過(guò)語(yǔ)言的符號(hào)化來(lái)達(dá)到邏輯的嚴(yán)格化，即邏輯的代數(shù)化；龐加萊試圖使數(shù)學(xué)邏輯化，把數(shù)學(xué)大廈建立在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)之上。但是，羅素悖論的發(fā)現(xiàn)終止了這兩項(xiàng)努力和希望。但是，羅素悖論的發(fā)現(xiàn)終止了這兩項(xiàng)努力和希望。5 5、意大利、意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾提出：（1）不采用自然語(yǔ)言，采用符號(hào)語(yǔ)言；（2）把數(shù)學(xué)推理寫成符號(hào)公式；其實(shí)質(zhì)是：其實(shí)質(zhì)是：（1）每

11、一數(shù)學(xué)理論只包含少數(shù)幾個(gè)原始概念，可以用原始符號(hào)來(lái)代表；（2）每一數(shù)學(xué)理論只包含少數(shù)幾條原始命題，可以用符號(hào)寫出的公式來(lái)表述；（3）數(shù)學(xué)理論的邏輯展開，完全變成符號(hào)公式的數(shù)學(xué)推演?，F(xiàn)今所沿用的數(shù)理邏輯記號(hào)大體上是由皮亞諾確定的?，F(xiàn)今所沿用的數(shù)理邏輯記號(hào)大體上是由皮亞諾確定的。符號(hào)化思想符號(hào)化思想數(shù)學(xué)是符號(hào)加邏輯掌握系統(tǒng)、完整的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言掌握系統(tǒng)、完整的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言定律定律法則法則公式公式符號(hào)符號(hào)構(gòu)成了數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)成了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基本語(yǔ)法規(guī)則的基本語(yǔ)法規(guī)則文字文字圖式圖式符號(hào)符號(hào)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)語(yǔ)語(yǔ)言言數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型文字語(yǔ)言：文字語(yǔ)言：有時(shí)無(wú)法準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)概念。有時(shí)無(wú)法準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)概念。有時(shí)因漢語(yǔ)語(yǔ)義的

12、豐富性，容易有時(shí)因漢語(yǔ)語(yǔ)義的豐富性，容易產(chǎn)生岐義。產(chǎn)生岐義。有時(shí)因翻譯的原因，在漢語(yǔ)中找有時(shí)因翻譯的原因，在漢語(yǔ)中找不到合適的字詞進(jìn)行表述。不到合適的字詞進(jìn)行表述。有時(shí)因缺乏形象支持，更使概念有時(shí)因缺乏形象支持，更使概念變得抽象難懂。且用詞量較大，缺變得抽象難懂。且用詞量較大，缺乏簡(jiǎn)潔性。乏簡(jiǎn)潔性。符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：當(dāng)給予符號(hào)特定的、統(tǒng)一的含義后，當(dāng)給予符號(hào)特定的、統(tǒng)一的含義后，使得其更具簡(jiǎn)潔性，也更便于表述使得其更具簡(jiǎn)潔性，也更便于表述與交流。與交流。圖式語(yǔ)言：圖式語(yǔ)言：既是圖形，也是符號(hào)。故同時(shí)具備既是圖形，也是符號(hào)。故同時(shí)具備了形象性與抽象性的特點(diǎn)，更具有了形象性與抽象性的特點(diǎn)，更具有

13、簡(jiǎn)潔性。簡(jiǎn)潔性。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展更傾向于圖式與符號(hào)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展更傾向于圖式與符號(hào)符號(hào)化思想對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起的作用符號(hào)化思想對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起的作用 以約定的語(yǔ)言規(guī)范的形式表達(dá)與交流促進(jìn)發(fā)展以濃縮形式進(jìn)行數(shù)學(xué)思維速度加快,排除語(yǔ)言含糊不清,更清晰準(zhǔn)確.在數(shù)學(xué)發(fā)展中質(zhì)的作用，建立新理論符號(hào)化在教材中體現(xiàn)符號(hào)化在教材中體現(xiàn) 符號(hào)化對(duì)教師的要求 重視符號(hào)教學(xué)搞懂教材中數(shù)學(xué)符號(hào)含義和實(shí)質(zhì)。常用符號(hào)：元素符號(hào)，運(yùn)算符號(hào)，關(guān)系符號(hào)，結(jié)合符號(hào)，約定符號(hào)。數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)應(yīng)注意：使學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)符號(hào)含義和性質(zhì) 重視規(guī)范書寫符號(hào)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透符號(hào)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透 變?cè)枷耄ǎ┐孀冊(cè)?hào)x，有一定的取值范圍

14、。用字母表示數(shù)的思想：更深刻的發(fā)掘規(guī)律，更準(zhǔn)確簡(jiǎn)捷地表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律。字母可以表示任何數(shù)，無(wú)窮多個(gè)數(shù)。列方程解應(yīng)用題思想：代數(shù)設(shè)想：未知數(shù)與已知數(shù)同時(shí)參與計(jì)算 代數(shù)翻譯：解代數(shù)方程： 常用數(shù)學(xué)符號(hào)的分類常用數(shù)學(xué)符號(hào)的分類 1.元素符號(hào)。 （1）阿拉伯?dāng)?shù)字：1、2、3、4、（2）表示數(shù)的字母：一般是用拉丁字母前面的字母表示已知數(shù)，如a、b、c、用后面的字母表示未知數(shù)，如x、y、（3）表示常數(shù)的字母。如。（4）表示幾何形體的。如線段用AB，表示角用，2.運(yùn)算符號(hào)。常用的運(yùn)算符號(hào)有“+”、“-”、“”、“” 。 3.關(guān)系符號(hào)。表示數(shù)、式、圖形等之間的關(guān)系的符號(hào)叫做關(guān)系符號(hào)。常用的關(guān)系符號(hào)有：“=”等號(hào)，“”近似等號(hào)；不等號(hào)“”（小于號(hào)）、“”（大于號(hào)）；表示直線、平面之間的平行或垂直關(guān)系的符號(hào)有“”、“” 4.結(jié)合符號(hào)。表示某些數(shù)先結(jié)合而后運(yùn)算的。如圓括號(hào)（），方括號(hào)，花括號(hào)，括線等。5.約定符號(hào)。規(guī)定某種符號(hào)表示某種特定含義的符號(hào)為約定符號(hào)。比如“”表示因?yàn)?，“”表示所以?.性質(zhì)符號(hào)。表示數(shù)或形的性質(zhì)的符號(hào)叫性質(zhì)符號(hào)。比如“+”是正號(hào)，“-”是負(fù)