圓錐曲線常用解法、常規(guī)題型與性質(zhì)

1、圓錐曲線八種解題方法、七種常規(guī)題型和性質(zhì)總論：常用的八種方法1、定義法2、韋達(dá)定理法3、設(shè)而不求點(diǎn)差法4、弦長(zhǎng)公式法5、數(shù)形結(jié)合法6、參數(shù)法（點(diǎn)參數(shù)、K參數(shù)、角參數(shù)）7、代入法中的順序8、充分利用曲線系方程法七種常規(guī)題型（1）中點(diǎn)弦問(wèn)題 （2）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題 （4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題（5）求曲線的方程問(wèn)題1曲線的形狀已知-這類(lèi)問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。2曲線的形狀未知-求軌跡方程（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 （7）兩線段垂直問(wèn)題 常用的八種方法 1、定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2

2、。 （2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，當(dāng)r1r2時(shí)，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。 （3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問(wèn)題用定義解決更直接簡(jiǎn)明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3、設(shè)而不求法解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不

3、解解出這些量，利用這些量過(guò)渡使問(wèn)題得以解決，這種方法稱(chēng)為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見(jiàn)的“設(shè)而不求”法，具體有： （1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有。(其中K是直線AB的斜率) （2）與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有(其中K是直線AB的斜率)（3）y2=2px（p0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0),則有2y0k=

4、2p,即y0k=p. (其中K是直線AB的斜率)4、弦長(zhǎng)公式法弦長(zhǎng)公式：一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，判別式為，則，若直接用結(jié)論，能減少配方、開(kāi)方等運(yùn)算過(guò)程。5、數(shù)形結(jié)合法 解析幾何是代數(shù)與幾何的一種統(tǒng)一，常要將代數(shù)的運(yùn)算推理與幾何的論證說(shuō)明結(jié)合起來(lái)考慮問(wèn)題，在解題時(shí)要充分利用代數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數(shù)式子利用其結(jié)構(gòu)特征，想象為某些圖形的幾何意義而構(gòu)圖，用圖形的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明代數(shù)性質(zhì)。 如“2x+y”，令2x+y=b，則b表示斜率為-2的直線在y軸上的截距；如“x2+y2”,令，則d表示點(diǎn)P（

5、x，y）到原點(diǎn)的距離；又如“”，令=k，則k表示點(diǎn)P（x、y）與點(diǎn)A（-2，3）這兩點(diǎn)連線的斜率6、參數(shù)法（1）點(diǎn)參數(shù)利用點(diǎn)在某曲線上設(shè)點(diǎn)（常設(shè)“主動(dòng)點(diǎn)”），以此點(diǎn)為參數(shù)，依次求出其他相關(guān)量，再列式求解。如x軸上一動(dòng)點(diǎn)P，常設(shè)P（t，0）；直線x-2y+1=0上一動(dòng)點(diǎn)P。除設(shè)P（x1,y1）外，也可直接設(shè)P（2y1-1,y1）（2）斜率為參數(shù) 當(dāng)直線過(guò)某一定點(diǎn)P(x0,y0)時(shí)，常設(shè)此直線為y-y0=k(x-x0)，即以k為參數(shù)，再按命題要求依次列式求解等。（3）角參數(shù)當(dāng)研究有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，常設(shè)某一個(gè)角為參數(shù)，尤其是圓與橢圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。7、代入法中的順序這里所講的“代入法”，主要是指條件的

6、不同順序的代入方法，如對(duì)于命題：“已知條件P1,P2求（或求證）目標(biāo)Q”，方法1是將條件P1代入條件P2，方法2可將條件P2代入條件P1，方法3可將目標(biāo)Q以待定的形式進(jìn)行假設(shè)，代入P1,P2,這就是待定法。不同的代入方法常會(huì)影響解題的難易程度，因此要學(xué)會(huì)分析，選擇簡(jiǎn)易的代入法。八、充分利用曲線系方程法一、定義法【典型例題】例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為_(kāi) (2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離

7、和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（1）（2，）連PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)AF的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交點(diǎn)為()，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）（2）（）過(guò)Q作QRl交于R，當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，Q()點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。例2、F是橢圓的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑

8、，常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來(lái)考慮問(wèn)題。解：（1）4- 設(shè)另一焦點(diǎn)為，則(-1,0)連A,P 當(dāng)P是A的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí), 取得最小值為4-。（2）作出右準(zhǔn)線l，作PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為例3、動(dòng)圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。分析：作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“圖形特征”：兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線（如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動(dòng)圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。解：如圖， （*）點(diǎn)M的軌跡為橢圓，2a=8，a

9、=4，c=1，b2=15軌跡方程為點(diǎn)評(píng)：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫(xiě)出方程，而無(wú)需再用距離公式列式求解，即列出，再移項(xiàng)，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！例4、ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求點(diǎn)A的軌跡方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系。解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 （*）點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為 （x3）點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解

10、題，這里由（*）式直接用定義說(shuō)明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(x1,x12)，B(x2，X22)，又設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0y0)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點(diǎn)M(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2

11、x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 當(dāng)4x02+1=3 即 時(shí)，此時(shí)法二：如圖， 即， 當(dāng)AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。M到x軸的最短距離為點(diǎn)評(píng)：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡(jiǎn)捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒(méi)有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，而

12、且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。二、韋達(dá)定理法【典型例題】例6、已知橢圓過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次交于A、B、C、D、設(shè)f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對(duì)f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因A、B來(lái)源于“不同系統(tǒng)”，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見(jiàn)直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防 此時(shí)問(wèn)題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點(diǎn)F1(-1,0)則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)

13、2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=-（2）當(dāng)m=5時(shí)， 當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)評(píng)：此題因最終需求，而B(niǎo)C斜率已知為1，故可也用“點(diǎn)差法”設(shè)BC中點(diǎn)為M(x0,y0),通過(guò)將B、C坐標(biāo)代入作差，得，將y0=x0+1，k=1代入得，可見(jiàn)當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對(duì)的認(rèn)識(shí)，通過(guò)線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)是解此題的要點(diǎn)。三、點(diǎn)差法與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，我們稱(chēng)之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線與圓錐曲

14、線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。1.以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程例1、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn) 又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。例2、已知雙曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問(wèn)題

15、，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、則，兩式相減，得故直線由消去，得這說(shuō)明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問(wèn)題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線外，則被點(diǎn)平分的弦可能不存在。2.過(guò)定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則 ， 又 ，兩式相減得即 ，即點(diǎn)的坐標(biāo)為。例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡

16、方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， 又 ，兩式相減得即，即 ，即由，得點(diǎn)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為例1已知橢圓，求斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.解設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為.則，（1），（2）得：，.又，.弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，所求弦中點(diǎn)的軌跡方程為（在已知橢圓內(nèi)）.例2 直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點(diǎn)軌跡方程是 .解設(shè)，中點(diǎn)，則.，過(guò)定點(diǎn)，.又，（1），（2）得：，.于是，即.弦中點(diǎn)軌跡在已知拋物線內(nèi)，所求弦中點(diǎn)的軌跡方程為（在已知拋物線內(nèi)）.3.求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程

17、。解：設(shè)橢圓的方程為，則設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， ，又，兩式相減得即 聯(lián)立解得，所求橢圓的方程是例3已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中，且的重心是拋物線的焦點(diǎn)，求直線的方程.解由已知拋物線方程得.設(shè)的中點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線，且，分所成比為，于是，解得，.設(shè)，則.又，（1），（2）得：，.所在直線方程為，即.例4已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，有一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求橢圓方程.解設(shè)，則，且，（1），（2）得：，（3）又，（4）而，（5）由（3），（4），（5）可得， 所求橢圓方程為.4.圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上總有不同的

18、兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱(chēng)。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，即，這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立，得則必須滿足，即，解得5. 求直線的斜率例5已知橢圓上不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列.（1）求證：；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率.（1）證略.（2）解，設(shè)線段的中點(diǎn)為.又在橢圓上，（1），（2）得：，.直線的斜率，直線的方程為.令，得，即，直線的斜率.6. 確定參數(shù)的范圍例6 若拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解 當(dāng)時(shí)，顯然滿足.當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)分別為，且的中點(diǎn)為，則，（1），（2）得：，又

19、，.中點(diǎn)在直線上，于是.中點(diǎn)在拋物線區(qū)域內(nèi)，即，解得.綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.7. 證明定值問(wèn)題例7已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點(diǎn)，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值.證明設(shè)且，則，（1），（2）得：，.又，（定值）.8. 其它?？瓷先ゲ皇侵悬c(diǎn)弦問(wèn)題，但與之有關(guān)，也可應(yīng)用。例9，過(guò)拋物線上一定點(diǎn)P（）（），作兩條直線分別交拋物線于A（），B（）（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).解(1)略(2)：設(shè)A（y12,y1）,B(y22,y2)，則 kAB= kPA= 由題意

20、，kAB=-kAC, 則：kAB=為定值。例10、 （1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn) （2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。（1）證明：拋物線的準(zhǔn)線為 由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)（t，0）在準(zhǔn)線右邊，得 故直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。 （2）解：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2) 【同步練習(xí)】1、已知：F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1作直線交雙曲線左支于點(diǎn)A、B，若，ABF2的周長(zhǎng)為（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則P點(diǎn)的軌跡方程是 （ ）

21、A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC的三邊AB、BC、AC的長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，且，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（ ）A、 B、 C、 D、4、過(guò)原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1，0)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則橢圓中心的軌跡方程是 （ ）A、 B、C、 D、5、已知雙曲線上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離是 6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是 7、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)p(-2，0)，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 8、過(guò)雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦

22、長(zhǎng)為 9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則k= 10、設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求sinF1PF2的最大值。11、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為(-2，1)，求直線l的方程和橢圓方程。12、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為A、B、C、D。求證：。參考答案 1、C，選C2、C點(diǎn)P到F與到x+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線 p=8開(kāi)口向右，則方程為y2=16x，選C3、D，且點(diǎn)A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點(diǎn)

23、不共線，即y0，故選D。4、A設(shè)中心為(x，y)，則另一焦點(diǎn)為(2x-1，2y)，則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4得， 又ca,(x-1)2+y2)7、y2=x+2(x2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)M(x，y)，則，即y2=x+2又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)P，即y22x，即x+228、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=2，弦長(zhǎng)為49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=110、解：a2=25，b2=9，c2=16設(shè)F1、F2為左、右焦點(diǎn)，則F1(-4，0)F2(4，0)設(shè)

24、則 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值為a21+cos的最小值為，即1+coscos， 則當(dāng)時(shí)，sin取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值為1。11、設(shè)橢圓方程為由題意：C、2C、成等差數(shù)列，a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),a2=2b2橢圓方程為，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則 -得2222222即 k=1直線AB方程為y-1=x+2即y=x+3， 代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0， 解得b2=12， 橢圓方程為，直線l方

25、程為x-y+3=012、證明：設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中點(diǎn)為M(x0，y0)直線l的斜率為k，則 -得 設(shè)，則 -得 由、知M、均在直線上，而M、又在直線l上 ，若l過(guò)原點(diǎn)，則B、C重合于原點(diǎn)，命題成立若l與x軸垂直，則由對(duì)稱(chēng)性知命題成立若l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸不垂直，則M與重合四、弦長(zhǎng)公式法若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則 弦長(zhǎng) 同理：|AB|=特殊的，在如果直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則|AB|=?一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，判別式為，則，若直接用結(jié)論，能減少配方、開(kāi)方等運(yùn)算過(guò)程。 例 求直線被橢

26、圓所截得的線段AB的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例題1：已知直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，求AB的弦長(zhǎng)解：設(shè)由得得則有 得，練習(xí)1：已知橢圓方程為與直線方程相交于A、B兩點(diǎn)，求AB的弦長(zhǎng)練習(xí)2：設(shè)拋物線截直線所得的弦長(zhǎng)長(zhǎng)為，求的值 分析：聯(lián)立直線與拋物線的方程，化簡(jiǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求弦長(zhǎng)解：設(shè) 聯(lián)立方程得則 解: 設(shè)聯(lián)立方程:得則 例題2：已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)相異的兩點(diǎn)A、B，求弦長(zhǎng)分析：A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線的斜率與已知直線斜率的積為且的中點(diǎn)在已知直線上解：關(guān)于

27、對(duì)稱(chēng) 設(shè)直線的方程為 ， 聯(lián)立方程 化簡(jiǎn)得 中點(diǎn)在直線上 則 小結(jié)：在求直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)時(shí)一般采用韋達(dá)定理設(shè)而不求的方法，在求解過(guò)程中一般采取步驟為：設(shè)點(diǎn)聯(lián)立方程消元韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式作業(yè)：（1） 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且，求的值（2） 已知橢圓方程及點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)與的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求的面積?！镜湫屠}】五、數(shù)形結(jié)合法例1：已知P(a,b)是直線x+2y-1=0上任一點(diǎn)，求S=的最小值。分析：由此根式結(jié)構(gòu)聯(lián)想到距離公式，解：S=設(shè)Q(-2,3),則S=|PQ|,它的最小值即Q到此直線的距離Smin點(diǎn)評(píng)：此題也可用代入消元的方法轉(zhuǎn)化為二次

28、函數(shù)的最小值問(wèn)題（注：可令根式內(nèi)為t消元后，它是一個(gè)一元二次函數(shù)）例2：已知點(diǎn)P(x,y)是圓x2+y2-6x-4y+12=0上一動(dòng)點(diǎn)，求的最值。解：設(shè)O（0，0），則表示直線OP的斜率，由圖可知，當(dāng)直線OP與圓相切時(shí)，取得最值，設(shè)最值為k，則切線：y=kx,即kx-y=0圓(x-3)2+(y-2)2=1,由圓心（3，2）到直線kx-y=0的距離為1得,例3：直線l：ax+y+2=0平分雙曲線的斜率為1的弦，求a的取值范圍.分析：由題意，直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(0,-2)，平分弦即過(guò)弦中點(diǎn)，可先求出弦中點(diǎn)的軌跡，再求軌跡上的點(diǎn)M與點(diǎn)P的連線的斜率即-a的范圍。解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)

29、是雙曲線上的點(diǎn)，且AB的斜率為1，AB的中點(diǎn)為M(x0,y0)則： -得即M(X0,y0)在直線9x-16y=0上。由 9x-16y=0 得C,D 點(diǎn)M的軌跡方程為9x-16y=0(x)kPD=由圖知，當(dāng)動(dòng)直線l的斜率k時(shí)，l過(guò)斜率為1的弦AB的中點(diǎn)M，而k=-aa的取值范圍為：點(diǎn)評(píng)：此題是利用代數(shù)運(yùn)算與幾何特征相結(jié)合的方法而解得的，由圖得知，弦AB中點(diǎn)軌跡并不是一條直線（9x-16y=0），而是這條直線上的兩條射線（無(wú)端點(diǎn)）。再利用圖形中的特殊點(diǎn)（射線的端點(diǎn)C、D）的屬性（斜率）說(shuō)明所求變量a的取值范圍。六、參數(shù)法例4（k參數(shù)）：過(guò)y2=x上一點(diǎn)A（4，2）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB、AC交

30、拋物線于B、C兩點(diǎn)。求證：直線BC的斜率是定值。分析：（1）點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B、C為動(dòng)點(diǎn)，因直線AB、AC的傾斜角互補(bǔ)，所以kAB與kAC相反，故可用“k參數(shù)”法，設(shè)AB的斜率為k，寫(xiě)出直線AB的方程，將AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，因A為已知交點(diǎn)，則方程有一根已知故用韋達(dá)定理容易解出點(diǎn)B坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)C坐標(biāo)，再求BC斜率。（2）因點(diǎn)B、C在拋物線上移動(dòng)，也可用“點(diǎn)參數(shù)”法，設(shè)B（x1,y1）,C(x2,y2),因x1=y12,x2=y22,即可設(shè)B（y12,y1）,C(y22,y2)。再考慮kAB=-kAC得參數(shù)y1,y2的關(guān)系。解法1：設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k AB：y-2=k(

31、x-4),與y2=x聯(lián)立得： y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0 y=2是此方程的一解， 2yB= xB=yB2= B kAC=-k,以-k代替k代入B點(diǎn)坐標(biāo)得C kBC=為定值解法2：設(shè)B（y12,y1）,C(y22,y2)，則 kBC= kAB= 由題意，kAB=-kAC, 則：kBC=為定值。點(diǎn)評(píng)：解法1運(yùn)算量較大，但其方法是一種基本方法，因k的變化而造成了一系列的變化，最終求出BC的斜率為定值；解法2利用點(diǎn)B，C在拋物線上設(shè)點(diǎn)，形成含兩個(gè)參數(shù)y1,y2的問(wèn)題，用整體思想解題，運(yùn)算量較小。例5（角參數(shù)）：在圓x2+y2=4上，有一定點(diǎn)A（2，0）和兩動(dòng)點(diǎn)B，C（A，B，C

32、按逆時(shí)針排列），當(dāng)B，C兩點(diǎn)保持BAC=時(shí)，求ABC的重心的軌跡。分析：圓周角BAC=可轉(zhuǎn)化為圓心角BOC=，選用“角參數(shù)”， 令B（2cos，2sin）則C(2cos(+),2sin(+)則重心可用表示出來(lái)。解：連OB，OC，BAC=，BOC= 設(shè)B（2cos,2sin）(0),則C(2cos(+),2sin(+) 設(shè)重心G（x，y），則： x= y=即： x= y= +。（x0)有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍 分析:將直線方程代入橢圓方程消元得一元二次方程應(yīng)有解,用判別式0可求得a的取值范圍。也可考慮另一代入順序，從橢圓方程出發(fā)設(shè)公共點(diǎn)P（用參數(shù)形式），代入直線方程，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題：asinx+b

33、cosx=c何時(shí)有解。解法一：由直線方程3x-4y+10=0得代入橢圓方程得 0，得解得，又a0, 解法二：設(shè)有公共點(diǎn)為P，因公共點(diǎn)P在橢圓上，利用橢圓方程設(shè)P（acos，sin）再代入直線方程得3acos-4sin+10=0 4sin-3acos=10。 令sin=，cos=，則sin(-)= ，由 即sin2(-)1得 9a284，a2(a0)a點(diǎn)評(píng)：解法1，2給出了兩種不同的條件代入順序，其解法1的思路清晰，是常用方法，但運(yùn)算量較大，對(duì)運(yùn)算能力提出較高的要求，解法2先考慮橢圓，設(shè)公共點(diǎn)再代入直線，技巧性強(qiáng)，但運(yùn)算較易，考慮一般關(guān)系：“設(shè)直線l：Ax+By+C=0與橢圓有公共點(diǎn),求應(yīng)滿足的

34、條件”此時(shí)，若用解法一則難于運(yùn)算，而用解法二，設(shè)有公共點(diǎn)P，利用橢圓，設(shè)P（acos，bsin）代入直線方程得Aacos+Bbsin=-C。時(shí)上式有解。 C2A2a2+B2b2因此，從此題我們可以體會(huì)到條件的代入順序的重要性。八、充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題 求經(jīng)過(guò)兩已知圓和0的交點(diǎn)，且圓心在直線：上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為： 即， 其圓心為C（） 又C在直線上，解得，代入所設(shè)圓的方程得為所求。 評(píng)注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡(jiǎn)化了計(jì)算?！就骄毩?xí)】1、若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2-2x+4y=0，則x-2y的最大值

35、是（ ）A、5 B、10 C、9 D、5+22、若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （ ）A、B、C、D、3、方程表示的圖形是（ ）A、橢圓 B、雙曲線 C、拋物線 D、以上都不對(duì)4、已知P、Q分別在射線y=x(x0)和y=-x(x0)上，且POQ的面積為1，（0為原點(diǎn)），則線段PQ中點(diǎn)M的軌跡為（ ）A、雙曲線x2-y2=1 B、雙曲線x2-y2=1的右支 C、半圓x2+y2=1(x)5、一個(gè)等邊三角形有兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=20x上，第三個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積為 6、設(shè)P(a,b)是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)Q(a2-b2,ab)的軌跡方程是 7、實(shí)數(shù)x、y

36、滿足3x2+2y2=6x，則x+y的最大值為 8、已知直線l：2x+4y+3=0，P是l上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q分為1：2，則點(diǎn)Q的軌跡方程為 9、橢圓在第一象限上一動(dòng)點(diǎn)P，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，則的最大值為 10、已知實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=4，求證：11、ABC中,A(3,0)，BC在y軸上，且在-3,3間滑動(dòng)，求ABC外心的軌跡方程。12、設(shè)A、B是拋物線y2=2Px(p0)上的點(diǎn),且AOB=90（O為原點(diǎn)）。求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。參考答案 1、Bx-2y=b，圓(x-1)2+(y+2)2=5，由(1，2)到x-2y-b=0的距離等于得，b=0或b=10則b的最大

37、值為10，選B?；蛴脜?shù)法，令代入得 最大值為10。選B2、C作圖，知當(dāng)時(shí)，直線y=k(x-2)與半圓有兩交點(diǎn)，選C3、B方程即令F(-3,1) P(x,y), l: x-y+3=0, PHl于H 則，由雙曲線第二定義知選B。4、B用“點(diǎn)參數(shù)”法，設(shè)P(x1,x1)(x10)，Q(x2,-x2)(x20)則，x1x2=1，設(shè)M(x，y)，則2x=x1+x2，2y=x1-x2，(2x)2-(2y)2=4x1x2則x2-y2=1(x0)。選B5、1200。設(shè)此三角形為OAB，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)由得， (x1-x2)(x1+x2+20)=0，x10，x20 x1=x2則，y1=-y

38、2，A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，A、B在y=上將代入y2=20x得A(60,20)，B(60,-20)邊長(zhǎng)為40面積為6、x2+4y2=1令a=cos，bsin，則Q(cos2,sin2)，設(shè)Q(x，y)則x2+4y2=17、+13(x-1)2+2y2=3, (x-1)2+令x-1=cos，y=sin，則x+y=cos+sin+1最大值為8、2x+4y+1=0設(shè)Q(x，y)，P(x1，y1)，則x1=3x，y1=3y ， 2x1+4y1+3=023x+43y+3=0即2x+4y+1=09、設(shè)P(4cos,3sin)(0) 當(dāng)=時(shí),的最大值為10、證明：設(shè)P(x,y)，A(-2，1)則過(guò)A作AHl交于H

39、，其中l(wèi)：x+y=4則 ，則當(dāng)P在H()時(shí)取等號(hào)11、解：設(shè)C在B的上方，設(shè)B(0,t)， 則C(0,t+2)，-3t1設(shè)外心為M(x,y)，因BC的中垂線為y=t+1 AB中點(diǎn)為 ，AB的中垂線為 由、消去t得這就是點(diǎn)M的軌跡方程。12、解：設(shè)OA：y=kx，代入y2=2px得k2x2=2px則 同理由OB：y=-x 可得B(2pk2,-2pk)令x=2p得y=0，說(shuō)明AB恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）解析幾何七種常規(guī)題型及方法常規(guī)題型及解題的技巧方法A:常規(guī)題型方面（1）中點(diǎn)弦問(wèn)題 具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消

40、去四個(gè)參數(shù)。 典型例題 給定雙曲線。過(guò)A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) 及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。 分析：設(shè)，代入方程得，。 兩式相減得 。 又設(shè)中點(diǎn)P（x,y），將，代入，當(dāng)時(shí)得 。 又， 代入得。當(dāng)弦斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)P（2，0）的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是 說(shuō)明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。（2）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，。 （1）求證離心率； （2）求的最值。 分析：（1）設(shè)，由正弦定理得。 得 ， （2）。 當(dāng)時(shí)，最小值是；

41、當(dāng)時(shí)，最大值是。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn) （2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。（1）證明：拋物線的準(zhǔn)線為 由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)（t，0）在準(zhǔn)線右邊，得 故直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。 （2）解：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2) （4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)，過(guò)M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線