平穩(wěn)時(shí)間序列分析王燕

1、西北大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院田洪志本章結(jié)構(gòu)方法性工具 ARMA模型 平穩(wěn)序列建模序列預(yù)測(cè) 3.1 方法性工具 差分運(yùn)算延遲算子線性差分方程差分運(yùn)算一階差分 階差分 步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx延遲算子延遲算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過去撥了一個(gè)時(shí)刻 記B為延遲算子，有 1,pxBxtppt延遲算子的性質(zhì) ， 其中 10B為任意常數(shù)cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0) 1()1 ()!( !ininCin用延遲算子表示差分運(yùn)算 階差分 步差分pkitpiip

2、ptptpxCxBx0) 1()1 (tkkttkxBxx)1 ( 線性差分方程 線性差分方程齊次線性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz齊次線性差分方程的解特征方程特征方程的根稱為特征根，記作齊次線性差分方程的通解不相等實(shí)數(shù)根場(chǎng)合有相等實(shí)根場(chǎng)合復(fù)根場(chǎng)合02211ppppaaap,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz3321)(非齊次線性差分方程的解 非齊次線性差分方程的特解使得非齊次線性差分方程成立的任意一個(gè)解非齊次線性差分方程的通解齊次線性差分方程的通解和非

3、齊次線性差分方程的特解之和tttzzz tz )(2211thzazazazptpttt tz3.2 ARMA模型的性質(zhì) AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階自回歸模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng) 時(shí)，稱為中心化 模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt, 0, 0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR AR(P)序列中心化變換稱 為 的中心化序列 ，令p101ttx

4、ytytx自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化 模型又可以簡(jiǎn)記為 自回歸系數(shù)多項(xiàng)式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(AR模型平穩(wěn)性判別 判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的 判別方法單位根判別法平穩(wěn)域判別法例3.1:考察如下四個(gè)模型的平穩(wěn)性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx 12(3)0.5ttttxxxttttxxx115 . 0)4(例3.1平穩(wěn)序列時(shí)序圖1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx例3.1非平穩(wěn)序列時(shí)序圖1(2)1.1tttxx ttttxxx115 . 0)4(AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別

5、AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個(gè)特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價(jià)判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別 平穩(wěn)域,21單位根都在單位圓內(nèi)pAR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域1AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域2424221122211111,12221，且例3.1平穩(wěn)性判別8 . 010.81 . 111.1 211i212i221210.5,0.5,1.5 23112312221210.5,1.5,0.5 模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)

6、系數(shù)均值 如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有推導(dǎo)出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,tGreen函數(shù)定義AR模型的傳遞形式其中系數(shù) 稱為Green函數(shù), 2 , 1,jGjjtjjjpijtjiipijtjiipitiittGkBkBkBx001101)(1)(Green函數(shù)遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式pkpkjGGGkkkjjkkj, 0, 2 , 1110其中，ttttttBGBBGxxB)()()()(方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得函數(shù)為GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx0例

7、3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1, 1 , 0,1jGjj2122021021)()(jjtjjtVarGxVar協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘 ，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk2211例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為0111kkk212011,12121kkk例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方

8、差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為21)1)(1)(1 (12211201122121220kkkk，自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式0kk1122kkkpkp 常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型0,1kkk2110, 1221121kkkkkkAR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復(fù)指數(shù)衰減1( )pkiiikc不能恒等于零pccc,211( )pkiiikc0例3.5:考察如下AR模型的自相關(guān)圖ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (例3.5自相

9、關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零1(1)0.8tttxx例3.5:1(2)0.8tttxx 例3.5:自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性12(3)0.5ttttxxx例3.5:自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減12(4)0.5ttttxxx 偏自相關(guān)系數(shù)定義對(duì)于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個(gè)隨機(jī)變量 的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后， 對(duì) 影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語言描述就是121,ktttxxxktxtx2,)()(11ktktktktttxxxxxExExExxExEkttktt偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實(shí)際上就等于k階自回歸模型第個(gè)k回歸系數(shù)的值

10、。02211202112112011kkkkkkkkkkkkkkkkk)()(2ktktktktttkkxExExExxExE偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾pkkk,0例3.5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (例3.5理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖1(1)0.8tttxx0.8,10,2kkkk例3.5:理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖1(2)0.8tttxx 0.8,10,2kkkk例3.5:理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖12(3)0.5tttt

11、xxx2,130.5,20,3kkkkk 例3.5:理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖12(4)0.5ttttxxx 2,130.5,20,3kkkkk MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階自回歸模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng) 時(shí)，稱為中心化 模型q)(qMA0)(qMA112220( )0( ),()0,ttttqt qqtttsxEVarEst ，移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化 模型又可以簡(jiǎn)記為 階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式)(qMAttBx)(qqqBBBB2211)(MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)方差）（qtqttttEEx221122212211)1 ()()(qqtqttttVarxVar

12、MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)自協(xié)方差函數(shù)P階截尾自相關(guān)系數(shù)P階截尾q kqkkkqiikikqk , 01 ,)(0 ,)1 (212221qkqkkqkqiikikk , 01 ,10 , 12211常用MA模型的自相關(guān)系數(shù)MA(1)模型MA(2)模型2, 01, 10, 1211kkkk3, 02, 11, 10, 1222122221211kkkkkMA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)拖尾)(11111qktqktqtqtkk零不會(huì)在有限階之后恒為不恒為零kkq,1例3.6:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (tttttttttttttt

13、xxxxMA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾 112tttx（）120.5tttx（ ）MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾 124163525ttttx（ ）125254416ttttx（ ）MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾 112tttx（）120.5tttx（ ）MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾 124163525ttttx（ ）125254416ttttx（ ）MA模型的可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx可逆的定義可逆MA模型定義若一個(gè)MA模型能夠表

14、示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型可逆概念的重要性一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA模型?？赡鍹A(1)模型 1tttx11tttx21ttBx1ttBx11可逆, 1可逆, 1MA模型的可逆條件MA(q)模型的可逆條件是：MA(q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)等價(jià)條件是移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外11i1i逆函數(shù)的遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式qkqkjIIIkkkjjkkj, 0, 2 , 1110其中，ttttttxxBIBxBIBx)()()()(例3.6續(xù):考察如下MA模型的可逆性212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1

15、(ttttttttttttttxxxx(1)(2) 逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式不可逆1221tttx可逆15 . 05 . 01tttx05 . 0kktktx1,5 . 01kIkk(3)(4) 逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式可逆1, 125165412221ttttx, 1 , 0,23, 0133,) 1(1nnknnkIknk或013130338 . 0) 1(8 . 0) 1(nntnnnntnntxx不可逆11625162545221ttttxARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng) 時(shí)，稱為中心化 模型),(qpARMAtsExtsEVarExxxtsstttqpqtqttp

16、tptt, 0, 0)(,)(0)(00211110，00),(qpARMA系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化 模型又可以簡(jiǎn)記為 階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式),(qpARMAttBxB)()(qqqBBBB2211)(pppBBBB2211)(平穩(wěn)條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件P階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定ARMA(p,q)模型的可逆條件q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式 的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動(dòng)平滑部分的可逆性決定0)( B0)( B傳遞形式與逆轉(zhuǎn)形式傳遞形式逆轉(zhuǎn)形式11)

17、()(jjtjtttGBBx1,110kGGGkjjjkjk11)()(jjtjtttxIxxBB1,110kIIIkjjjkjkARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)ptEx101 )(02ikiiGGk020)0()()(jjjkjjGGGkkARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾例3.7:考察ARMA模型的相關(guān)性擬合模型ARMA(1,1): 并直觀地考察該模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。 10.50.8ttttxx自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性樣本自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖ARMA模型相關(guān)性特征模型自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖

18、尾ARMA(p,q)拖尾拖尾3.3平穩(wěn)序列建模 建模步驟模型識(shí)別參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測(cè)建模步驟平平穩(wěn)穩(wěn)非非白白噪噪聲聲序序列列計(jì)計(jì)算算樣樣本本相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)模型模型識(shí)別識(shí)別參數(shù)參數(shù)估計(jì)估計(jì)模型模型檢驗(yàn)檢驗(yàn)?zāi)ＤＰ托蛢?yōu)優(yōu)化化序序列列預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)YN計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)nttkntkttkxxxxxx121)()(DDkkk模型識(shí)別基本原則選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)kkk模型定階的困難因?yàn)橛捎跇颖镜碾S機(jī)性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會(huì)呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的 或 仍會(huì)呈現(xiàn)出小值振蕩的情況由于平穩(wěn)時(shí)間序列通常都具有

19、短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù) ， 與 都會(huì)衰減至零值附近作小值波動(dòng)? 當(dāng) 或 在延遲若干階之后衰減為小值波動(dòng)時(shí)，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動(dòng)呢？ kkkkkkkkkk樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布BarlettQuenouillennNk,)1, 0(nnNkk,)1, 0(模型定階經(jīng)驗(yàn)方法95的置信區(qū)間模型定階的經(jīng)驗(yàn)方法如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，而后幾乎95的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過程非常突然。這時(shí)，通常視為(偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d

20、。22Pr0.9522Pr0.95kkknnnn例2.5續(xù)選擇合適的模型ARMA擬合1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列。序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識(shí)別自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動(dòng)，這表明序列明顯地短期相關(guān)。但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過程相當(dāng)連續(xù)，相當(dāng)緩慢，該自相關(guān)系數(shù)可視為不截尾 偏自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)作小值隨機(jī)波動(dòng)，而且由非零相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過程非常突然，所以該偏自相關(guān)系數(shù)可視為一階截尾 所以可以考慮擬合模型為AR(1)例3.8

21、美國(guó)科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列 序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識(shí)別自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動(dòng)。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)可以判斷該序列具有短期相關(guān)性，進(jìn)一步確定序列平穩(wěn)。同時(shí)，可以認(rèn)為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為MA(1) 例3.91880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列 序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識(shí)別自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的

22、性質(zhì)，可以嘗試使用ARMA(1,1?)模型擬合該序列參數(shù)估計(jì)待估參數(shù) 個(gè)未知參數(shù)常用估計(jì)方法矩估計(jì)極大似然估計(jì)最小二乘估計(jì)2pq211, ,pq 矩估計(jì)原理樣本自相關(guān)系數(shù)估計(jì)總體自相關(guān)系數(shù)樣本一階均值估計(jì)總體均值，樣本方差估計(jì)總體方差111111( ,)( ,)pqp qpqp q 1niixxn2221221211xqp例3.10:求AR(2)模型系數(shù)的矩估計(jì)AR(2)模型Yule-Walker方程矩估計(jì)（Yule-Walker方程的解）ttttxxx22112112121112121112121221例3.11:求MA(1)模型系數(shù)的矩估計(jì)MA(1)模型方程矩估計(jì)11tttx2201111

23、220111(1)1 12112411例3.12:求ARMA(1,1)模型系數(shù)的矩估計(jì)ARMA(1,1)模型方程矩估計(jì)1111ttttxx1111 112011 1211()(1)12 1122122112121,2,242,24,ccccccc對(duì)矩估計(jì)的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)估計(jì)思想簡(jiǎn)單直觀不需要假設(shè)總體分布計(jì)算量?。ǖ碗A模型場(chǎng)合）缺點(diǎn)信息浪費(fèi)嚴(yán)重只用到了p+q個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)信息，其他信息都被忽略估計(jì)精度差通常矩估計(jì)方法被用作極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)迭代計(jì)算的初始值 極大似然估計(jì)原理在極大似然準(zhǔn)則下，認(rèn)為樣本來自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。因此未知參數(shù)的極大似然估計(jì)就是使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達(dá)

24、到最大的參數(shù)值 ,);(max),;,(21121kkxpxxL似然方程由于 和 都不是 的顯式表達(dá)式。因而似然方程組實(shí)際上是由p+q+1個(gè)超越方程構(gòu)成，通常需要經(jīng)過復(fù)雜的迭代算法才能求出未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值 ( )Sln 0)(21ln21);(02)(2);(2422SxlSnxl對(duì)極大似然估計(jì)的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)極大似然估計(jì)充分應(yīng)用了每一個(gè)觀察值所提供的信息，因而它的估計(jì)精度高同時(shí)還具有估計(jì)的一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性等許多優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)缺點(diǎn)需要假定總體分布最小二乘估計(jì)原理使殘差平方和達(dá)到最小的那組參數(shù)值即為最小二乘估計(jì)值 211111)(min)(min)(ntqtqtptpttxxxQ

25、Q條件最小二乘估計(jì)實(shí)際中最常用的參數(shù)估計(jì)方法假設(shè)條件殘差平方和方程解法迭代法0,0txtnitititnitxxQ121112)(對(duì)最小二乘估計(jì)的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)最小二乘估計(jì)充分應(yīng)用了每一個(gè)觀察值所提供的信息，因而它的估計(jì)精度高條件最小二乘估計(jì)方法使用率最高缺點(diǎn)需要假定總體分布例2.5續(xù)確定1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列擬合模型的口徑 擬合模型：AR(1)估計(jì)方法：極大似然估計(jì)模型口徑tttxx169. 017.2517.16)(2Var例3.8續(xù)確定美國(guó)科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑 擬合模型：MA(1)估計(jì)方法：條件最小二乘估計(jì)模型口徑t

26、tBx)82303. 01 (40351. 4929.2178)(2Var例3.9續(xù)確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑 擬合模型：ARMA(1,1)估計(jì)方法：條件最小二乘估計(jì)模型口徑119 . 0407. 0003. 0ttttxx016. 0)(2Var模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗(yàn)整個(gè)模型對(duì)信息的提取是否充分參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡(jiǎn)模型的顯著性檢驗(yàn)?zāi)康臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行裕▽?duì)信息的提取是否充分）檢驗(yàn)對(duì)象殘差序列判定原則一個(gè)好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列 反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列

27、中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列0120,1mHm：mkmHk，：至少存在某個(gè)1, 01檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LB統(tǒng)計(jì)量221(2)() ( )mkkLBn nmnk例2.5續(xù)檢驗(yàn)1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列擬合模型的顯著性 殘差白噪聲序列檢驗(yàn)結(jié)果延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值檢驗(yàn)結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.8361參數(shù)顯著性檢驗(yàn)?zāi)康臋z驗(yàn)每一個(gè)未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡(jiǎn) 假設(shè)條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量mjHHjj10:0:10)()(

28、mntQamnTjjjj例2.5續(xù)檢驗(yàn)1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列極大似然估計(jì)模型的參數(shù)是否顯著 參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)參數(shù)t統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論均值46.120.0001顯著6.720.0001顯著1例3.8續(xù):對(duì)OVERSHORTS序列的擬合模型進(jìn)行檢驗(yàn) 殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)參數(shù)t統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論均值3.750.0004顯著10.600.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論63.150.6772模型顯著有效129.050.61711例3.9續(xù):對(duì)1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型進(jìn)行檢驗(yàn) 殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)參數(shù)t統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論16.

29、340.0001顯著3.50.0007顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論65.280.2595模型顯著有效1210.300.424711模型優(yōu)化問題提出當(dāng)一個(gè)擬合模型通過了檢驗(yàn)，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地?cái)M合觀察值序列的波動(dòng)，但這種有效模型并不是唯一的。優(yōu)化的目的選擇相對(duì)最優(yōu)模型 例3.13:擬合某一化學(xué)序列序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型一根據(jù)自相關(guān)系數(shù)2階截尾，擬合MA(2)模型參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著有效 三參數(shù)均顯著 ttBByield)31009. 032286. 01 (17301.512擬合模型二根據(jù)偏自相關(guān)系數(shù)1階截尾，擬合MA(1)模型參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著有效

30、兩參數(shù)均顯著 Byieldtt42481. 0126169.51問題同一個(gè)序列可以構(gòu)造兩個(gè)擬合模型，兩個(gè)模型都顯著有效，那么到底該選擇哪個(gè)模型用于統(tǒng)計(jì)推斷呢？ 解決辦法確定適當(dāng)?shù)谋容^準(zhǔn)則，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，確定相對(duì)最優(yōu)AIC準(zhǔn)則最小信息量準(zhǔn)則（An Information Criterion） 指導(dǎo)思想似然函數(shù)值越大越好 未知參數(shù)的個(gè)數(shù)越少越好 AIC統(tǒng)計(jì)量)(2)ln(2未知參數(shù)個(gè)數(shù)nAICSBC準(zhǔn)則AIC準(zhǔn)則的缺陷在樣本容量趨于無窮大時(shí)，由AIC準(zhǔn)則選擇的模型不收斂于真實(shí)模型，它通常比真實(shí)模型所含的未知參數(shù)個(gè)數(shù)要多 SBC統(tǒng)計(jì)量)(ln()ln(2未知參數(shù)nnSBC例3.13續(xù)用AIC準(zhǔn)則

31、和SBC準(zhǔn)則評(píng)判例3.13中兩個(gè)擬合模型的相對(duì)優(yōu)劣 結(jié)果AR(1)優(yōu)于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866序列預(yù)測(cè)線性預(yù)測(cè)函數(shù)預(yù)測(cè)方差最小原則10titiixC x ( )( )min( )t lxttVare lVar e l序列分解 111111( )( )t lt lt lltltltttxGGGGe lx l 預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)值)(),()( ),(11leVarxxxVarlxxxxEtttltttlt誤差分析估計(jì)誤差期望方差1111)(tlltlttGGle1022)(liitGleVar0)(le

32、EtAR(p)序列的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)方差95置信區(qū)間)() 1()( 1plxlxlxtpt22121)1 ()(ltGGleVar12221112 ( )1tlx lzGG例3.14已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型（單位：萬元/每月）今年第一季度該超市月銷售額分別為：101，96，97.2萬元請(qǐng)確定該超市第二季度每月銷售額的95的置信區(qū)間 12100.60.3,(0,36)tttttxxxN例3.14解：預(yù)測(cè)值計(jì)算四月份五月份六月份12.973 . 06 . 010) 1 (233xxx432.973 . 0) 1 (6 . 010)2(333xxx5952.97) 1 (3 . 0)

33、2(6 . 010)3(333xxx例3.14解：預(yù)測(cè)方差的計(jì)算GREEN函數(shù)方差01102112010.60.360.30.66GGGGGG6416.64)()3(96.48)()2(36)1 (222212032212032203GGGeVarGGeVarGeVar例3.14解：置信區(qū)間公式估計(jì)結(jié)果)(96. 1)(,)(96. 1)(3333leVarlxleVarlx預(yù)測(cè)時(shí)期95置信區(qū)間四月份（85.36，108.88） 五月份（83.72，111.15） 六月份（81.84，113.35） 例2.5:北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列擬合與預(yù)測(cè)圖 MA(q)序列的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)方差qlq

34、llxqliiltit,)(qlqlleVarqlt,)1 (,)1 ()(222122121例3.15已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬）：最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預(yù)測(cè)數(shù)量如下：預(yù)測(cè)未來5年該地區(qū)常住人口的95置信區(qū)間1212 . 06 . 08 . 0100tttttx年份統(tǒng)計(jì)人數(shù)預(yù)測(cè)人數(shù)200210411020031081002004105109例3.15解：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的計(jì)算4109105) 1 (8100108) 1 (6110104) 1 (20032004200220031200120022xxxxxxttt例3.15解：估計(jì)值的計(jì)算100)5(100)4(8 .1002 . 0100) 3(962 . 06 . 0100)2(2 .1092 . 06 . 08 . 0100) 1 (121tttttttttttxxxxx例3.15解：預(yù)測(cè)方差的計(jì)算51)1 ()5(51)1 ()4(50)1 ()3(41)1 ()2(25)1 (22322212232221222212212ttttteVareVareVareVareVar例3.15解：置