河海大學(xué)材料力學(xué)第五章彎曲應(yīng)力

1、橫力彎曲橫力彎曲：如圖如圖AC段段和和BD段。段。純彎曲純彎曲：如圖如圖CD段。段。ABCDFaaFMFaFSFF畫剪力圖、彎矩圖。畫剪力圖、彎矩圖。一一幾何方面幾何方面y基本假設(shè)基本假設(shè) 1.1.平面假設(shè)：平面假設(shè)： 橫截面變形后仍為橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線平面，與彎曲后的縱線正交；正交；2.2.單向受力假設(shè)：?jiǎn)蜗蚴芰僭O(shè)：各縱向纖維之間無擠壓。各縱向纖維之間無擠壓。 MM中性層中性層中性軸中性軸5 -2 梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力z1 2y中性層中性層1122ab1o2odo1o2abba1212o1o2ydddy)(yyz二二. .物理方面物理方面:EyEMyzOx

2、yzEIz:彎曲剛度彎曲剛度0AyEFCN三三. .靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面: :0AyyzdAEMMIEMzZ zEIM1zIMy Iyz =0梁發(fā)生平面彎曲的條件梁發(fā)生平面彎曲的條件。yC= 0中性軸通過橫截面的形心中性軸通過橫截面的形心。ydAyzEyMyzOxz說明：說明：(2)(2)符號(hào)：符號(hào)： 由由M與與y的符號(hào)確定的符號(hào)確定的符號(hào)；的符號(hào)； 由彎曲變形確定。由彎曲變形確定。 線彈性，線彈性， 與材料無關(guān)。與材料無關(guān)。MMzIMy ydAyzzMyzOxMyzOx z軸為對(duì)稱軸時(shí)：軸為對(duì)稱軸時(shí)： z軸為非對(duì)稱軸時(shí)軸為非對(duì)稱軸時(shí): :zWMcmaxtmax zIMyt1 max zIMy

3、c2 max 彎曲截面系數(shù)彎曲截面系數(shù)WZ=ymaxIzzWMzIyMmaxmax(3)(3) zIMy zEIM 1(4)(4)對(duì)純彎曲梁對(duì)純彎曲梁, ,在兩個(gè)假設(shè)前提在兩個(gè)假設(shè)前提下導(dǎo)出。下導(dǎo)出。ZEIxMx)()(1 zIyxM)( zWMmaxmax zIMy 對(duì)平面彎曲的各種截面梁，公式均成立。對(duì)平面彎曲的各種截面梁，公式均成立。( (5)5)關(guān)于中性軸的討論。關(guān)于中性軸的討論。例例1 ：一簡(jiǎn)支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采一簡(jiǎn)支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同的矩形截面，圓形截面和工字形截用截面面積相同的矩形截面，圓形截面和工字形截面面, ,試求以三種截面的最大拉應(yīng)

4、力。設(shè)矩形截面高試求以三種截面的最大拉應(yīng)力。設(shè)矩形截面高為為140140mm,mm,寬為寬為100100mm,mm,面積為面積為1400014000mmmm2 2。 P20KNACB33+ 矩形截面矩形截面: :MPa8 .91WMzmaxmax 圓形截面：圓形截面：MPa4.128max 工字形截面：工字形截面：MPa414 .max 選用選用5050C C號(hào)工字鋼號(hào)工字鋼, ,截面面積為截面面積為139000139000mmmm2 2。例例2 2：一：一T T形截面外伸梁如圖所示。試求最大拉應(yīng)力及最形截面外伸梁如圖所示。試求最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力，并畫出最大拉應(yīng)力截面上的正應(yīng)力分布圖。大壓

5、應(yīng)力，并畫出最大拉應(yīng)力截面上的正應(yīng)力分布圖。q=20kN/mACB2m4m280y6022060zcyc=18022.51.5m40M圖（圖（kNm）zEIM 1zIMy 討論討論 ：一鋼鋁組合梁，處于純彎曲狀態(tài)，彎矩大一鋼鋁組合梁，處于純彎曲狀態(tài)，彎矩大小為小為M，截面形狀、尺寸及組合如圖所示。設(shè)該梁彎，截面形狀、尺寸及組合如圖所示。設(shè)該梁彎曲時(shí)平面假設(shè)仍成立，且鋼鋁之間粘合牢固，不會(huì)錯(cuò)曲時(shí)平面假設(shè)仍成立，且鋼鋁之間粘合牢固，不會(huì)錯(cuò)動(dòng)。試作出橫截面上動(dòng)。試作出橫截面上 分布圖；給出分布圖；給出 的計(jì)算公式。的計(jì)算公式。MMb5h/6h/6鋁鋁5-3 5-3 矩形截面梁的切應(yīng)力矩形截面梁的切應(yīng)

6、力1 1、兩點(diǎn)假設(shè)、兩點(diǎn)假設(shè): : （1）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平行）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平行（2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布bhF2F1q(x)zyhbFSyx=0z=0FSFSmnnmMM+dMdxbhF2F1q(x)5-3 5-3 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力一、矩形截面梁：一、矩形截面梁： dxmnyzzIMy )d(yIMMzy 所求點(diǎn)距中性軸的距離。所求點(diǎn)距中性軸的距離。mn abFN1FN2dFy FSFSmnnmMM+dMdx bISFzzS*FS 橫截面上剪力。橫截面上剪力。Iz 整個(gè)橫截面整個(gè)橫截面對(duì)中性軸對(duì)中性軸z的慣性矩。的慣性矩。b橫截面

7、寬度。橫截面寬度。Sz*橫截面上距中性軸橫截面上距中性軸 y 處處 橫線橫線一側(cè)一側(cè) 截面截面 對(duì)中性軸的面積矩。對(duì)中性軸的面積矩。dxmnyzFN1FN2dFy u 切應(yīng)力沿截面高度的分布切應(yīng)力沿截面高度的分布223Sy4hbhF6max0,2hyAFbhFySS2323, 0maxhzby bISFzzS*FmmFmmbISFzzS*max44dA dFdddS6432842AFS34zmaxydA三、三、工字形截面梁工字形截面梁1 1、腹板、腹板FS 橫截面上剪力。橫截面上剪力。Iz 整個(gè)整個(gè)工字形截面對(duì)中性軸工字形截面對(duì)中性軸z的慣性矩。的慣性矩。d 腹板寬度。腹板寬度。Sz* 距距z

8、軸軸y處橫線一側(cè)處橫線一側(cè) 陰影部分截面對(duì)陰影部分截面對(duì)z的面積矩的面積矩。dISFzzS*dxbhdxbFN1FN2dFmax4442221212S)yhd()hhb(dIFzy zbhd h1y翼緣翼緣腹板腹板BAdxubuh（a）11（c）1N2NdFFF*z*Az*AzNSIMdAyIMdAF 1式中：式中：*z*Az*AzNSIdMMdAyIdMMdAF 2dxdF 1zzSISF*11其中其中 面積面積u 對(duì)中性軸對(duì)中性軸z的面積矩。的面積矩。*zS)h(uS*z 212 2、翼緣、翼緣F N1F N2dF1 1dxu（b）例：一例：一T T形截面外伸梁如圖所示。試求最大拉應(yīng)力及最

9、大形截面外伸梁如圖所示。試求最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力，并畫出最大拉應(yīng)力截面上的正應(yīng)力分布圖。壓應(yīng)力，并畫出最大拉應(yīng)力截面上的正應(yīng)力分布圖。q=20kN/mACB2m4m280y6022060zcyc=18022.51.5m40M圖（圖（kNm）280zy60220c60yc=180例：例：T形截面上的剪力形截面上的剪力FS=50kN，與與y軸重合，試軸重合，試畫出腹板上的切應(yīng)力分布圖，并求出腹板上的最畫出腹板上的切應(yīng)力分布圖，并求出腹板上的最大切應(yīng)力。大切應(yīng)力。4.34MPa4.13MPa縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面軸線軸線yz一平面彎曲時(shí)外力作用的方向一平面彎曲時(shí)外力作用的方向zyCzIMy 設(shè)設(shè) z

10、 為中性軸：為中性軸：又由又由dAFAN dAyIMAz AyIMcz 中性軸中性軸z通過截面形心通過截面形心0 可見：可見：非對(duì)稱截面梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，外非對(duì)稱截面梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，外力作用的平面必須平行于力作用的平面必須平行于形心主慣性平面形心主慣性平面。 AydAzM AzyzdAIMy、z軸為主軸軸為主軸（梁受到平行于（梁受到平行于y軸的外力作用）軸的外力作用）zyC= 0由由dAFAN AyIMcz 中性軸中性軸z通過截面形心通過截面形心0 yCF(a)11FSyC11(b)yzCFShbBFHFH(c)CFS(d)二開口薄壁截面的彎曲中心二開口薄壁截面的彎曲中心hFeFHSuFbH

11、d01其中uIhuFbzSd202zSIbhF42zIbhe422得yzCFShbBFHFH(c)CFS(d)彎曲中心彎曲中心：當(dāng)梁在兩個(gè)正交的當(dāng)梁在兩個(gè)正交的形心主慣性平面內(nèi)分別產(chǎn)生平面彎形心主慣性平面內(nèi)分別產(chǎn)生平面彎曲時(shí)，橫截面上產(chǎn)生的相應(yīng)兩個(gè)剪曲時(shí)，橫截面上產(chǎn)生的相應(yīng)兩個(gè)剪力作用線的力作用線的交點(diǎn)交點(diǎn)，稱為，稱為彎曲中心彎曲中心。eCFSFSA 當(dāng)當(dāng)外力的作用線平行于形心主軸并通過橫截外力的作用線平行于形心主軸并通過橫截面的彎曲中心時(shí)面的彎曲中心時(shí)，梁只產(chǎn)生平面彎曲。這是梁產(chǎn)，梁只產(chǎn)生平面彎曲。這是梁產(chǎn)生平面彎曲的一般條件。生平面彎曲的一般條件。彎曲中心的確定彎曲中心的確定：彎曲中心彎曲

12、中心位置與位置與剪力大小剪力大小無關(guān)，無關(guān)，僅與僅與截面形狀尺寸截面形狀尺寸有關(guān)，如圖槽形有關(guān)，如圖槽形截面彎曲中心位置：截面彎曲中心位置：zIbhe422 eCFSFSA一些常見開口薄壁截面一些常見開口薄壁截面彎曲中心位置彎曲中心位置的確定的原則：的確定的原則：1.1.具有兩根對(duì)稱軸的截面具有兩根對(duì)稱軸的截面, ,其其交點(diǎn)交點(diǎn)就是就是彎曲中心彎曲中心。zyCA（a a）2.2.具有一根對(duì)稱軸的截面，具有一根對(duì)稱軸的截面，彎曲中心彎曲中心必在必在對(duì)稱軸對(duì)稱軸上。上。3.3.如果截面由中心線相交一點(diǎn)的幾個(gè)狹長(zhǎng)矩形所組成，如果截面由中心線相交一點(diǎn)的幾個(gè)狹長(zhǎng)矩形所組成，此此交點(diǎn)交點(diǎn)就是就是彎曲中心彎曲中心。(b)yCAzdxzyCA(f)(c)CzyA(d)zyCA4.4.反對(duì)稱截面，反對(duì)稱截面，反對(duì)稱軸交點(diǎn)反對(duì)稱軸交點(diǎn)就是就是彎曲中心彎曲中心。y.zA