第1章水靜力學

1、1第一章第一章 水靜力學水靜力學/Hydrostatics水靜力學的任務水靜力學的任務：是研究液體平衡的規(guī)律及其實 際應用。液體的平衡狀態(tài)有兩種：液體的平衡狀態(tài)有兩種：一種一種是靜止狀態(tài)； 另一種另一種是相對平衡狀態(tài)(相對于容器或液體 質(zhì)點之間有沒有相對運動）。分析液體對邊界的作用力（ 水壓力）：液體在平衡狀態(tài)下，此時理想液理想液 體和實際液體一樣體和實際液體一樣。21.1. 靜水壓強的基本公式；靜水壓強的基本公式；2.2. 等壓面的概念；等壓面的概念；3.3. 正確判斷等壓面；正確判斷等壓面；4.4. 重力作用下靜水壓強計算；重力作用下靜水壓強計算；5.5. 絕對壓強、相對壓強與真空度；絕對

2、壓強、相對壓強與真空度；6.6. 壓強測量方法；壓強測量方法；7.7. 等壓面概念的具體應用；等壓面概念的具體應用；8.8. 平面上的靜水總壓力（平面上的靜水總壓力（繪壓力圖求總壓力，繪壓力圖求總壓力， 解析法計算任意平面所受總壓力）解析法計算任意平面所受總壓力）9.9. 曲面上的靜水總壓力（曲面上的靜水總壓力（水平分力，垂直分力水平分力，垂直分力 和總壓力，壓力體圖）和總壓力，壓力體圖）本章重點本章重點311 靜水壓強及其特性靜水壓強及其特性 4 靜水壓力：靜水壓力：靜止（或處于相對平衡狀態(tài)）液體靜止（或處于相對平衡狀態(tài)）液體 作用在與之接觸的表面上的水壓力作用在與之接觸的表面上的水壓力 稱

3、為靜水壓力，常以字母稱為靜水壓力，常以字母Fp表示。表示。 靜水壓強：靜水壓強：取微小面積取微小面積 ，令作用于，令作用于 的的 靜水壓力為靜水壓力為Fp ，則，則 面上單位面上單位 面積所受的面積所受的為：為：5 靜水壓力靜水壓力 Fp 的單位：牛頓（的單位：牛頓（N）；）； 靜水壓強靜水壓強 p 的單位：牛頓米的單位：牛頓米2（Nm2），）， 又稱為又稱為“帕斯卡帕斯卡”（Pa）。61.1.2 靜水壓強的特性靜水壓強的特性 1靜水壓強的靜水壓強的與受壓面垂直并指向受壓面。與受壓面垂直并指向受壓面。7(a)(b)8理論證明靜水壓力具有各向同性理論證明靜水壓力具有各向同性pxFpzFpyFpn

4、F如圖若能證明微小四面體無限縮小到如圖若能證明微小四面體無限縮小到OO點時，點時， 四個面上的靜水壓強大小都相等即可。四面體所四個面上的靜水壓強大小都相等即可。四面體所 受外力（除質(zhì)量力）外如下：受外力（除質(zhì)量力）外如下：9zzyyxxzfyxFzfyxFzfyxF6161611cos( , )061cos( , )0 (1-3) 61cos( , )06pxpnxpypnypzpnzFFn xx y zfFFn xx y zfFFn xx y zf 16Vxyz10nxxnpnxpxVxnpnxpxnnnxppxfAFAFxfAFAFynAAznAAzyxnAA0)31(lim0310z,

5、y, xAAA3-1x21) z,cos( x21)y,cos( 21),cos( 0zyxzy則有：并令，）兩端分別除以將公式（，面積為：而四面體三個坐標面的11 5)-(1 :, 4-1 0)31(lim0310)31(lim03100 p(x,y,z) pppppppzfAFAFzfAFAFppyfAFAFyfAFAFnzyxnzznpnpzpzVznpnpzpznyynpnypyVynpnypy即與受壓面的方向無關僅是空間坐標的函數(shù)而內(nèi)任意一點的靜水壓強個特性表明：平衡液體因此，靜水壓強的第二）（故有：12取平行六面體如圖：取平行六面體如圖：131表面力表面力X方向：靜水壓力各為方向：

6、靜水壓力各為 及及 。2質(zhì)量力質(zhì)量力X方向：方向： 。則則X方向：方向： 以以 除上式各項并化簡后為：除上式各項并化簡后為：dydzdxxpp)2(dydzdxxpp)2(dxdydzfx 0)2()2(dxdydzfdydzdxxppdydzdxxppxdxdydzxfxp一、微分方程一、微分方程14 同理，對于同理，對于Y、Z方向可推出類似結果，從而得到方向可推出類似結果，從而得到： 該式的物理意義為：該式的物理意義為：平衡液體中，靜水壓強沿某平衡液體中，靜水壓強沿某一方向的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等。一方向的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等。 )61 () 1775in E

7、uler by Derived (zyxfzpfypfxp15 將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以dx，dy，dz 然后相加得：然后相加得： 上式是上式是的另一種表達的另一種表達形式。形式。 將歐拉方程前兩式分別對將歐拉方程前兩式分別對y和和x取偏導數(shù)取偏導數(shù) )(dzfdyfdxfdpdzxpdyypdxxpzyxxfyfxfyfxypyxyx)()(216 同理可得同理可得 滿足上式必然滿足上式必然 存在力勢函數(shù)存在力勢函數(shù) 有有力勢函數(shù)的全微分應等于單位質(zhì)量力在空間移動距離力勢函數(shù)的全微分應等于單位質(zhì)量力在空間移動距離ds上所作上所作的功的功： dUdzdz

8、UdyyUdxxUdp)(zfxfyfzfxfyfxzzyyx),zyxU（zUfyUfxUfzyxdsdzfdyfdxfdzzUdyyUdxxUdUzyxf17 對對 進行積分可得進行積分可得 如果已知平衡液體邊界上（或液體內(nèi)）某點的壓強如果已知平衡液體邊界上（或液體內(nèi)）某點的壓強為為 p0 、力勢函數(shù)為、力勢函數(shù)為U0，則，則 積分常數(shù)積分常數(shù) C p0 - U0 得得 結論：結論：平衡液體中，邊界上的壓強將等值地傳遞到液平衡液體中，邊界上的壓強將等值地傳遞到液 體內(nèi)的一切點上；即當體內(nèi)的一切點上；即當 p0 增大或減小時，液增大或減小時，液 體內(nèi)任意點的壓強也相應地增大或減小同樣體內(nèi)任意

9、點的壓強也相應地增大或減小同樣 數(shù)值。數(shù)值。 這就是物理學中著名的這就是物理學中著名的巴斯加原理巴斯加原理。 CUpdUdp1813 等壓面等壓面 等壓面：等壓面：靜水壓強值相等的點連接成的面靜水壓強值相等的點連接成的面 （可能是平面也可能是曲面）。（可能是平面也可能是曲面）。 等壓面性質(zhì)：等壓面性質(zhì)： 1在平衡液體中等壓面即是等勢面。在平衡液體中等壓面即是等勢面。 2等壓面與質(zhì)量力正交。等壓面與質(zhì)量力正交。19等壓面性質(zhì)：等壓面性質(zhì)： 等壓面上等壓面上 P=Const，故，故 dp=0，亦即，亦即dU=0。對不可壓縮均質(zhì)液體，對不可壓縮均質(zhì)液體，為常數(shù)，由此為常數(shù)，由此dU=0，即，即 U=

10、Const20 等壓面性質(zhì)：等壓面性質(zhì)：證明：在平衡液體中任取證明：在平衡液體中任取一等壓面，質(zhì)點一等壓面，質(zhì)點M質(zhì)量為質(zhì)量為dm，在質(zhì)量力，在質(zhì)量力F作用下沿作用下沿等壓面移動。等壓面移動。)()(kjiskjiFdzdydxddmfffzyx21力力 F 沿沿 ds 移動所做的功可寫作矢量移動所做的功可寫作矢量F與與ds的數(shù)性的數(shù)性積：積：因等壓面上因等壓面上 dU=0 ，所以，所以W=Fds=0。也即質(zhì)量。也即質(zhì)量力必須與等壓面正交。力必須與等壓面正交。注意注意: (1) 靜止液體質(zhì)量力僅為重力時，等壓面必定是水靜止液體質(zhì)量力僅為重力時，等壓面必定是水 平面，也即等壓面應是處處和地心引力

11、成正交平面，也即等壓面應是處處和地心引力成正交 的曲面的曲面; (2) 平衡液體與大氣相接觸的自由表面為等壓面；平衡液體與大氣相接觸的自由表面為等壓面； (3) 不同流體的交界面也是等壓面。不同流體的交界面也是等壓面。2214 重力作用下靜水壓強的重力作用下靜水壓強的 基本公式基本公式實際工程中，作用于實際工程中，作用于平衡液體上的質(zhì)量力平衡液體上的質(zhì)量力常常只有重力，即所常常只有重力，即所謂靜止液體。如取右謂靜止液體。如取右圖所示的直角坐標系圖所示的直角坐標系23 重力作用下重力作用下 fx0， fy0，fzg ，代入平衡，代入平衡 微分方程式微分方程式積分得：積分得： 而自由面上而自由面上

12、得出靜止液體中任意點的得出靜止液體中任意點的 ： 式中式中 h = z0- z ：表示該點在自由面以下的淹沒深度。：表示該點在自由面以下的淹沒深度。 p0 ：自由面上的氣體壓強。：自由面上的氣體壓強。 ()xyzdpf dxf dyf dzgdz Cgpzgpgpzz00,24(a)(b)(c)淹沒深度相同的各點靜水壓強相等，只適用于質(zhì)淹沒深度相同的各點靜水壓強相等，只適用于質(zhì)量力只有重力的同一種連續(xù)介質(zhì)量力只有重力的同一種連續(xù)介質(zhì)。對不連續(xù)液體或一。對不連續(xù)液體或一個水平面穿過了兩種不同介質(zhì)，位于同一水平面上的個水平面穿過了兩種不同介質(zhì)，位于同一水平面上的各點壓強并不相等。各點壓強并不相等。

13、2515 幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡如果液體相對于地球運動，但如果液體相對于地球運動，但相對于容器仍保持靜止的狀態(tài)相對于容器仍保持靜止的狀態(tài)為相對平衡。為相對平衡。以繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的以繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中的液體為例進行圓柱形容器中的液體為例進行分析。分析。26 表明對具有加速度的運動物體表明對具有加速度的運動物體進行受力分析時，若加上一個與加速度相反的慣性進行受力分析時，若加上一個與加速度相反的慣性力，則作用于物體上的所有外力（包括慣性力）應力，則作用于物體上的所有外力（包括慣性力）應保持平衡。保持平衡。 對旋轉(zhuǎn)容器中的液體，對旋轉(zhuǎn)容器

14、中的液體，所受質(zhì)量力應包括重力與所受質(zhì)量力應包括重力與離心慣性力。離心慣性力。27 作用于圓筒內(nèi)任一質(zhì)點作用于圓筒內(nèi)任一質(zhì)點 m（x，y，z）單位質(zhì)量上的慣性單位質(zhì)量上的慣性力為力為 F =2r , , 將將 F F 投影在投影在x x，y y軸軸上得上得: :fx =2x, fy =2y 。單位質(zhì)量力在。單位質(zhì)量力在z z軸上只有重力：軸上只有重力： fz =-g 。代入平衡。代入平衡微分方程式可得以等角速度微分方程式可得以等角速度 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)液體的平衡微分方程是：液體的平衡微分方程是：28 等壓面上等壓面上dp=0， 得：得： 積分可得：積分可得： 上式表明上式表明繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的平

15、衡液體等壓繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的平衡液體等壓 面為拋物面面為拋物面。022gdzydyxdxCgzrgzyx2222221)(2129 自由面最低點自由面最低點 x=0，y=0，z=zs=z0，則積分常數(shù)則積分常數(shù)C= -gz0，由此可得，由此可得為：為：Cgzrgzyx2222221)(2130將（將（1.20）式積分有：）式積分有：因自由面因自由面 r =0處，處，z = z0，壓強，壓強 p0 代入得常數(shù)代入得常數(shù)C1 值值 ： 故故 12221cgzrp001gzpC (1.26) 21)(2200rzzgpp2201() (1.24) 2srg zz31 將（將（1.24）式代入整

16、理后變?yōu)椋海┦酱胝砗笞優(yōu)椋?若令若令 h = zs - z ，為液體內(nèi)部任意質(zhì)點（，為液體內(nèi)部任意質(zhì)點（x, y, z）在自）在自由液面下的淹沒深度，由液面下的淹沒深度， 則則 ：相對平衡液體中任意點的靜水壓強仍：相對平衡液體中任意點的靜水壓強仍然與該點淹沒深度成比例，等水深面仍是等壓面。然與該點淹沒深度成比例，等水深面仍是等壓面。)(0zzgpps32 質(zhì)量力只有重力作用的靜止液體中對任意點有質(zhì)量力只有重力作用的靜止液體中對任意點有在有幾種質(zhì)量力同時作用的相對平衡液體中這種關在有幾種質(zhì)量力同時作用的相對平衡液體中這種關系一般不存在。由系一般不存在。由可得到可得到即在繞中心軸作等角速旋轉(zhuǎn)的

17、液體中有：只有即在繞中心軸作等角速旋轉(zhuǎn)的液體中有：只有r值相值相同的那些點，即位于同心圓柱面上的各點同的那些點，即位于同心圓柱面上的各點 才保才保持不變。持不變。 ConstgpzConstgrgpz222122)21(Cgzrpgpz33例題例題1.1 1.1 有一圓柱形容器如圖，內(nèi)半徑為有一圓柱形容器如圖，內(nèi)半徑為R R，原盛水深度為，原盛水深度為H H，將容器以等角速度，將容器以等角速度繞中心軸繞中心軸OzOz旋轉(zhuǎn)，試求運動穩(wěn)定后旋轉(zhuǎn)，試求運動穩(wěn)定后容器中心及邊壁處的水深。容器中心及邊壁處的水深。解：容器邊壁處：解：容器邊壁處：r=R, zs = zw, 由公式由公式（1.24）則有：則

18、有： 旋轉(zhuǎn)拋物體的體積為同底、等高旋轉(zhuǎn)拋物體的體積為同底、等高的圓柱形體積的一半的圓柱形體積的一半，同時，容器旋，同時，容器旋轉(zhuǎn)后的水體體積應與靜止時的水體體轉(zhuǎn)后的水體體積應與靜止時的水體體積相等，所以有：積相等，所以有：gRzzw22202201() (1.24) 2srg zz34gRHzzHzHRzzRzRwwww22121212202022由上式可知：邊壁處的水面比靜止時的水面高出由上式可知：邊壁處的水面比靜止時的水面高出將上式代入將上式代入可求得可求得：gRzzw2220gRHz221220gR22122gRzzw2220351.6.1 絕對壓強絕對壓強假設沒有大氣存在的絕對真空狀假

19、設沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點計量的壓強，稱為態(tài)作為零點計量的壓強，稱為絕對絕對壓強壓強?？偸??？偸钦?。正的。 16 絕對壓強與相對壓強絕對壓強與相對壓強36 1.6.2 相對壓強相對壓強 把當?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c計量的壓強，稱為把當?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c計量的壓強，稱為相對相對壓強。相對壓強可正、可負。壓強。相對壓強可正、可負。 以以 表示絕對壓強，表示絕對壓強，p表示相對壓強，表示相對壓強， 則表則表示當?shù)氐拇髿鈮簭?。則有：示當?shù)氐拇髿鈮簭?。則有： pap37地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強為大氣壓強。海拔高程不同，地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強為大氣壓強。海拔高程不同，大氣壓強也有差異。我國法定計量單位

20、中，把大氣壓強也有差異。我國法定計量單位中，把98223.4 Pa（=98kPa）稱為一個標準大氣壓。稱為一個標準大氣壓。水利工程中，自由面上的氣體壓強等于當?shù)卮髿鈮簭?，故水利工程中，自由面上的氣體壓強等于當?shù)卮髿鈮簭姡熟o止液體內(nèi)任意點的相對壓強為靜止液體內(nèi)任意點的相對壓強為38 絕對壓強總是正值，相對壓強可能為正也可能為負。絕對壓強總是正值，相對壓強可能為正也可能為負。 相對壓強為負值時，則稱該點存在相對壓強為負值時，則稱該點存在真空真空。 真空度真空度是指該點絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮簭姷臄?shù)值是指該點絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮簭姷臄?shù)值。3940例例1-2：一封閉水箱（見圖），自由面上氣體壓強為：

21、一封閉水箱（見圖），自由面上氣體壓強為85kN/m2，求液面下淹沒深度，求液面下淹沒深度h為為1m處點處點C的絕對靜水壓的絕對靜水壓強、相對靜水壓強和真空度。強、相對靜水壓強和真空度。解：解：C C點絕對靜水壓強為點絕對靜水壓強為 C C點的相對靜水壓強為點的相對靜水壓強為 相對壓強為負值，說明相對壓強為負值，說明C C點存在真空。點存在真空。真空度為真空度為: :kPaghpp8 .9418 .9850kPapppa2.3988.94kPapppak2 .38 .949841 例例1-31-3： 情況同上例，試問當情況同上例，試問當C C點相對壓強點相對壓強p為為9.8kN/m9.8kN/m

22、2 2時，時，C C點在自由面下的淹沒深度點在自由面下的淹沒深度h h為多少？為多少？解：相對靜水壓強：解：相對靜水壓強： 代入已知值后可算得代入已知值后可算得aapghpppp0mgpPpha33.28.9/)98858.9()(042 例例1-41-4： 如圖，一封閉水箱，其自由面上氣體壓強如圖，一封閉水箱，其自由面上氣體壓強 為為25kN/m25kN/m2 2，試問水箱中，試問水箱中 A A、B B兩點的靜水壓強何處為大？兩點的靜水壓強何處為大？已知已知h h1 1為為5m5m，h h2 2為為2m2m。解解：A A、B B兩點的絕對靜水兩點的絕對靜水壓強分別為：壓強分別為： 故故A A

23、點靜水壓強比點靜水壓強比B B點大。點大。實際上本題不必計算也可得出此結論（因淹沒深度大的點，實際上本題不必計算也可得出此結論（因淹沒深度大的點，其壓強必大）。其壓強必大）。kPaghppA7458 . 92510kPaghppB6 .4428 . 9252043 例例1-5: 1-5: 如圖，有一底部水平側壁傾斜之油槽，側壁傾如圖，有一底部水平側壁傾斜之油槽，側壁傾 角為角為30300 0，被油淹沒部分壁長，被油淹沒部分壁長L L為為6m6m，自由面上的壓強，自由面上的壓強 p pa a =98kPa=98kPa，油的密度，油的密度為為816kg/m816kg/m3 3，問槽底板上壓強為多少

24、？，問槽底板上壓強為多少？ 解：槽底板為水平面解：槽底板為水平面, ,因此為因此為 等壓面，底板上各處壓強相等。等壓面，底板上各處壓強相等。 底板在液面下的淹沒深度底板在液面下的淹沒深度 h=Lsin30h=Lsin30=6=61/2 =3m1/2 =3m。 底板絕對壓強：底板絕對壓強： 底板相對壓強：底板相對壓強： 因為底板外側也同樣受到大氣壓強的作用，因為底板外側也同樣受到大氣壓強的作用， 故底板上的實際荷載只有相對壓強部份。故底板上的實際荷載只有相對壓強部份。2/12238 . 9816. 098mkNghppa2/2438 . 9816. 0mkNghpppa44 例例1-61-6：如

25、圖，一開口水箱，自由表面上的當?shù)卮髿鈮簭姡喝鐖D，一開口水箱，自由表面上的當?shù)卮髿鈮簭姙闉?8kN/m98kN/m2 2，在水箱右下側連接一根封閉的測壓管，今用抽氣，在水箱右下側連接一根封閉的測壓管，今用抽氣機將管中氣體抽凈（即為絕對真空），求測壓管水面比水箱水機將管中氣體抽凈（即為絕對真空），求測壓管水面比水箱水面高出的面高出的h h值為多少？值為多少？ 解：因水箱和測壓管內(nèi)是互相連通解：因水箱和測壓管內(nèi)是互相連通 的同種液體，故和水箱自由表面同高的同種液體，故和水箱自由表面同高 程的測壓管內(nèi)程的測壓管內(nèi)N N點，應與自由表面位于點，應與自由表面位于 同一等壓面上，其壓強應等于自由表同一等壓面

26、上，其壓強應等于自由表 面上的大氣壓強，即面上的大氣壓強，即 。 從測壓管來考慮從測壓管來考慮 因（因（ ） 故故 aNppghghpppaN000pmgphghpaa108 .9984517 壓強的測量壓強的測量46 當當A點壓強較小時：點壓強較小時：1. 增大測壓管標尺讀數(shù)，增大測壓管標尺讀數(shù)， 提高測量精度。提高測量精度。2. 在測壓管中放入輕質(zhì)在測壓管中放入輕質(zhì) 液體（如油）。液體（如油）。3. 把測壓管傾斜放置（見圖）。把測壓管傾斜放置（見圖）。 A點的相對壓強為點的相對壓強為 當被測點壓強很大時：當被測點壓強很大時：所需測壓管很長，這時可以所需測壓管很長，這時可以改用改用U形水銀測

27、壓計。形水銀測壓計。47在在U U形管內(nèi)，水銀面形管內(nèi)，水銀面N-NN-N為等壓面，因而為等壓面，因而1 1點和點和2 2點壓強相等。點壓強相等。 對測壓計右支對測壓計右支對測壓計左支對測壓計左支A A點的絕對壓強點的絕對壓強A A點的相對壓強點的相對壓強 式中，式中， 與與m m 分別為水和水銀的密度。分別為水和水銀的密度。 ghppma21Appgb1.7.2 U形水銀測壓計形水銀測壓計48差壓計是直接測量兩點壓強差的裝置。若左、右兩容差壓計是直接測量兩點壓強差的裝置。若左、右兩容器內(nèi)各盛一種介質(zhì)，其密度分別為器內(nèi)各盛一種介質(zhì)，其密度分別為A A 和和 B B 。因因c-c面是等壓面，于是

28、面是等壓面，于是ghghpghpmBBBAAA AABBmBAghghghpphhshBAshhhBA49 若被測點若被測點A，B之壓差甚小，為了提高測量精度，之壓差甚小，為了提高測量精度，可將可將U形測壓計倒裝，并在形測壓計倒裝，并在U形管中注入不與容器中介質(zhì)形管中注入不與容器中介質(zhì)相混合的輕質(zhì)液體。則相混合的輕質(zhì)液體。則A、B兩點間壓差計算公式。兩點間壓差計算公式。當當 A= B= 時時 當當 A= B，s=0 時，時， ()BAnppghgs()ABnppgh 50例例1.7 有一水塔如圖所示，為量出塔中水位，在地面上安有一水塔如圖所示，為量出塔中水位，在地面上安裝一裝一U形水銀測壓計，

29、測壓計左支用軟管與水塔相連。今形水銀測壓計，測壓計左支用軟管與水塔相連。今測出測壓計左支水銀面高程測出測壓計左支水銀面高程1 1=502.00 m=502.00 m， 左右兩支水銀左右兩支水銀面高差面高差h h1 1=116 cm=116 cm，試求此時塔中水面高程，試求此時塔中水面高程2 2。解：令塔中水位與測壓計左支水銀面高差解：令塔中水位與測壓計左支水銀面高差為為h2，h2= 2 2 - - 1 1，從，從1 1 處相對壓強處相對壓強相等有：相等有： m 78.5178 . 9116. 18 . 96 ghghgmm51補充：有關等壓面的計算及其注意問題補充：有

30、關等壓面的計算及其注意問題一、判斷題一、判斷題1. 在同一種、連續(xù)的平衡液體中等壓面是：在同一種、連續(xù)的平衡液體中等壓面是： (1)(1)水平面；水平面；(2)(2)傾斜面；傾斜面；(3)(3)曲面；曲面；2. 如圖兩種液體盛于容器中、且如圖兩種液體盛于容器中、且 2 2 1 , 在在A、B兩測兩測壓壓 管中，管中，B管的液面必然是：管的液面必然是： (1)高于高于A管；管；(3)等于等于A管管1252補補充充3. 如圖所示三種液體盛于容器中，其等壓面為：如圖所示三種液體盛于容器中，其等壓面為： (1)A-A(1)A-A；(3)C-C(3)C-C531. 如圖所示，計算容器中液體表面的壓強如圖

31、所示，計算容器中液體表面的壓強二、計算題二、計算題54)z-g(z-)z-g(z )()(1011223233440zzgzzgppa解：補補充充552. 2. 試求圖中同高程的兩條輸水管道的壓強差試求圖中同高程的兩條輸水管道的壓強差p p1 1-p-p2 2，已，已知液面高程讀數(shù)知液面高程讀數(shù)z z1 1=18mm, z=18mm, z2 2=62mm, z=62mm, z3 3=32mm, z=32mm, z4 4=53mm,=53mm,酒精密度為酒精密度為 800 kg/m800 kg/m3 3。補補充充568089.95Pa)zz(g )()z-z(p-p ghp )z-g(z)( )

32、()zzh(gh4mz14323412210234321214010，代入數(shù)據(jù)得的單位換成將水酒精酒精水水銀酒精水銀水，則有：的高程差為解：假定管軸到水銀面zzgzzgzzgzzgp補補充充h0573. 如圖所示，已知如圖所示，已知h1=20mm，h2=240mm, h3=220mm, 求求水深水深H。補補充充58m 2.48 h- hhHghp)hH(gphp2133a2010a水水銀水銀水水銀，則有：為解：假定當?shù)卮髿鈮簭奼ppa補補充充594.4.圖示一圓柱形油桶，內(nèi)裝輕油及重油。輕油容重圖示一圓柱形油桶，內(nèi)裝輕油及重油。輕油容重1 1為為6.5kN6.5kNm m3 3，重油容重，重油

33、容重2 2 為為8.7kN8.7kNm3m3，當兩，當兩種油重量相等時，求：種油重量相等時，求：（1 1）兩種油的深度）兩種油的深度h h1 1及及h h2 2為多少？為多少？（2 2）兩測壓管內(nèi)油面將上升至什么高度？）兩測壓管內(nèi)油面將上升至什么高度？補補充充60解：解：（1 1）由兩種油的重量相同有）由兩種油的重量相同有（2 2）左側測壓管內(nèi)油面與將上升至與油桶內(nèi)輕油油）左側測壓管內(nèi)油面與將上升至與油桶內(nèi)輕油油 面等高，即油面與桶底的垂距為面等高，即油面與桶底的垂距為5m5m 設右側測壓管內(nèi)油面與桶底的垂距為設右側測壓管內(nèi)油面與桶底的垂距為h h，則，則111222gS hgS h1122h

34、h即 125mhh再由 12 2.86m mhh解得2.14補補充充h6111224.28mghghhg1122ghghgh補補充充hConstgpz621-8 壓強的液柱表示法，水頭與單位勢能壓強的液柱表示法，水頭與單位勢能1.8.1 壓強的液柱表示法壓強的液柱表示法 壓強大小的表示：壓強大小的表示： 1. 以單位面積上的壓力數(shù)值即千帕以單位面積上的壓力數(shù)值即千帕 （KPa）來）來 表示。表示。 2. 用液柱高表示。用液柱高表示。98kPa =1個工程大氣壓 10m水柱 736mm水銀柱注意注意：水水=1000kg/m3； 水銀水銀13.6 水水63 在靜水壓強的基本方程式在靜水壓強的基本方

35、程式 中，中，各項的物理意義如下：各項的物理意義如下： z：位置水頭位置水頭，靜止液體內(nèi)任意點在參考坐標平，靜止液體內(nèi)任意點在參考坐標平 面以上的幾何高度。面以上的幾何高度。 ：壓強水頭壓強水頭，是該點的壓強高度。，是該點的壓強高度。 ： 測壓管水頭測壓管水頭。Constgpzgp)(gpz1.8.2 水頭和單位勢能水頭和單位勢能64靜止液體中的能量守恒定律：靜止液體中的能量守恒定律： 代表了代表了單位重量單位重量液體所具有的液體所具有的位能位能。 代表了代表了單位重量單位重量液體所具有的液體所具有的壓能壓能。dmgdmgzz dmggpdmg靜止液體中的機械能只有位能和壓能（兩者統(tǒng)稱靜止液體

36、中的機械能只有位能和壓能（兩者統(tǒng)稱勢能勢能）。）。靜止液體中的能量守恒定律：單位重量液體所具靜止液體中的能量守恒定律：單位重量液體所具有的勢能（單位勢能）相等。有的勢能（單位勢能）相等。65 例例1-8 1-8 若已知抽水機吸水管中某點絕對壓強為若已知抽水機吸水管中某點絕對壓強為80kN/m80kN/m2 2，試將該點絕對壓強、相對壓強和真空度用水柱及水銀柱表示試將該點絕對壓強、相對壓強和真空度用水柱及水銀柱表示出來（已知當?shù)卮髿鈮簭姙槌鰜恚ㄒ阎數(shù)卮髿鈮簭姙?）。）。解解：絕對壓強絕對壓強 或為 水柱 或為 水銀柱 相對壓強相對壓強 或為 水柱， 或為 水銀柱 真空度真空度 或為1.84m水

37、柱 ， 或為135mm水銀柱kPapa98kPap80m16.8109880mm6017369880kPapppa189880m84. 1109818mm1356 .131840kPapppak18809866 水工建筑物常常都與水體直接接觸，計算某一受水工建筑物常常都與水體直接接觸，計算某一受壓面上的靜水壓力是經(jīng)常遇到的實際問題。壓面上的靜水壓力是經(jīng)常遇到的實際問題。1靜水壓強分布圖的繪制：靜水壓強分布圖的繪制：(1) 按一定比例，用按一定比例，用線段長度線段長度 代表該點靜水壓強的代表該點靜水壓強的大小大小。(2) 用用箭頭箭頭表示靜水壓強的表示靜水壓強的方方 向，并與作用面垂直向，并與作

38、用面垂直。67壓強分布圖繪制示例壓強分布圖繪制示例p p = =ghgh ( (不用考慮大氣壓不用考慮大氣壓強，強， 只需繪制相對壓強分只需繪制相對壓強分布圖）布圖）68 平面上靜水總壓力的平面上靜水總壓力的大小應等于分布在平面上各大小應等于分布在平面上各點靜水壓力的總和點靜水壓力的總和：壓強分布圖為梯形壓強分布圖為梯形 則靜水總壓力則靜水總壓力作用點作用點：Fp作用點位于縱向?qū)ΨQ軸作用點位于縱向?qū)ΨQ軸O-O上，同時還上，同時還應通過壓強分布圖的形心點應通過壓強分布圖的形心點Q。Lghgh)(212169作用點：作用點：1. 當壓強為三角形分布時，壓力中心當壓強為三角形分布時，壓力中心D離底部

39、離底部 距離為：距離為： ； Le31702. 當壓強為梯形分布時，壓力中心離底部的當壓強為梯形分布時，壓力中心離底部的距離：距離： 。)(3)2(2121hhhhLee711.9.2 作用于任意平面上的靜水總壓力作用于任意平面上的靜水總壓力 靜水總壓力的計算靜水總壓力的計算較為復雜。取一任較為復雜。取一任意形狀平面意形狀平面EF，傾，傾斜置放于水中，與斜置放于水中，與水平面的夾角水平面的夾角 ，平面面積為平面面積為A，平，平面形心點在面形心點在C。72 作用在圍繞點作用在圍繞點M的微分面積的微分面積dA的靜水壓力的靜水壓力 整個平面整個平面EF上的靜水總壓力為：上的靜水總壓力為：而對而對Ob

40、軸的面積矩：軸的面積矩： hC為平面為平面EF形心點形心點C在液面下的淹沒深度，在液面下的淹沒深度， pC 為形心點為形心點C的靜水壓強的靜水壓強 。ghdApdAdFpAAAppLdAagghdAdFFsinALLdACA73 設總壓力作用點的位置在設總壓力作用點的位置在D，它在坐標系中的坐標，它在坐標系中的坐標值為（值為（ LD，bD ）。）。： 令面積慣矩令面積慣矩:dALagLpdALFAADp2sinALIdALIccAb22平行移軸定理74 則有：則有：于是有：于是有：)(sinsin2ALIgIgLFccbDp75 由此看出由此看出 ，即總壓力作用點，即總壓力作用點D在平面在平面

41、形心形心C之下。之下。 2）再將靜水壓力對）再將靜水壓力對OL軸取矩：軸取矩：令令EF平面對平面對Ob及及OL的的為為 ： cDLL AADpbLdAgbpdAbFsinAbLbLdAI76 可得：可得： 只要求出只要求出LD及及bD，則壓力中心，則壓力中心D的位置即可確定。的位置即可確定。77*當閘門為鉛垂置放時，當閘門為鉛垂置放時， ，此時，此時L1為為h1，LD 為為hD*對等腰三角形平面，相當于等腰梯形平面中令對等腰三角形平面，相當于等腰梯形平面中令b0的情況。的情況。090DL表11 幾種常見平面靜水壓力及作用點位置表平面在水中位置*平面形式靜水總壓力P值壓力中心距水面的斜距矩 形等

42、腰梯形圓 形半圓形sin221LLLbgPLLLLLLLD1112323623sin1bBLbBLgPLbBLbBLLbBLbBLLD226222111sin2812gDLDPDLDLDLLD1112858sin232412gDLDPDLDLDLLD2316332111DDDDPDLbbBLL1LDDL78 例例1-9 某泄洪隧洞，在進口傾斜設置一矩形平板閘門某泄洪隧洞，在進口傾斜設置一矩形平板閘門（見圖），傾角為（見圖），傾角為600，門寬，門寬b為為4m，門長，門長L為為6m，門頂在水，門頂在水面下淹沒深度面下淹沒深度h1為為10m，若不計閘門自重時，問沿斜面拖動閘，若不計閘門自重時，問沿

43、斜面拖動閘門所需的拉力門所需的拉力T為多少（已知閘門與門槽之間摩擦系數(shù)為多少（已知閘門與門槽之間摩擦系數(shù)f為為0.25）？門上靜水總壓力的作用點在哪里？）？門上靜水總壓力的作用點在哪里？(習題習題13類似類似）79 解解:當不計門重時，拖動門的拉力至少需克服閘門與當不計門重時，拖動門的拉力至少需克服閘門與門槽間的摩擦力，故門槽間的摩擦力，故FTFpf。為此須首先求出作用于門上。為此須首先求出作用于門上靜水總壓力靜水總壓力FP。 （1）用壓力圖法求）用壓力圖法求FP及作用點位置及作用點位置 首先畫出閘門首先畫出閘門AB上靜水壓強分布圖。上靜水壓強分布圖。 門頂處靜水壓強為門頂處靜水壓強為 kPa

44、gh98108 .9180 門底處靜水壓強為門底處靜水壓強為壓強分布圖為梯形，其面積：壓強分布圖為梯形，其面積： 靜水總壓力靜水總壓力kPaLhggh14922.158 . 9)23610(8 . 9)60sin(012mkNLghgh/7416)14998(21)(2121kNbFp2964741481 靜水總壓力作用點距閘門底部的斜距靜水總壓力作用點距閘門底部的斜距 總壓力總壓力P距水面的斜距距水面的斜距 mhhhhLe79.2)2361010(3)23610102(6)(3)2(2121mehLLD71.1479.2)87.0106()60sin(0182（2）用）用解析法解析法計算計算

45、FP及及 LD以便比較以便比較 PCCFpAghbLmLhhC61.1287. 0261060sin201kNFP29646461.128 . 983 求求P的作用點距水面的斜距的作用點距水面的斜距 對矩形平面，繞形心軸的面積慣矩為對矩形平面，繞形心軸的面積慣矩為 ALILLCCCDmhLLC5 .145 .11387.010360sin2014337264121121mbLIC84可見，采用上述兩種方法計算其結果完全相同。可見，采用上述兩種方法計算其結果完全相同。mLD71.1421. 05 .14645 .14725 .14 （3）沿斜面拖動閘門的拉力）沿斜面拖動閘門的拉力kNfFFPT7

46、4125. 029648586kNRghAPFCCP246114. 388 . 922AhIhhCCCD441RICmRRhD03. 83218841822487 在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，如在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，如拱壩壩面、弧形閘墩或邊墩、弧形閘門等等。這些拱壩壩面、弧形閘墩或邊墩、弧形閘門等等。這些曲面多數(shù)為二向曲面（或稱柱面），重點分析二向曲面多數(shù)為二向曲面（或稱柱面），重點分析二向曲面的靜水總壓力。曲面的靜水總壓力。88 作用于曲面上任意點的相對靜水壓強，其大小仍作用于曲面上任意點的相對靜水壓強，其大小仍等于該點的淹沒深度乘以液體的單位體積的重量，即等于該點

47、的淹沒深度乘以液體的單位體積的重量，即 p=ghgh，其方向也是垂直指向作用面的，其方向也是垂直指向作用面的這里著重分析這里著重分析二向曲面的靜水總壓力計算。如圖為母線與二向曲面的靜水總壓力計算。如圖為母線與Oy軸平行軸平行的二向曲面，母線長的二向曲面，母線長b，曲面在，曲面在xOz面的投影為曲線面的投影為曲線EF，左側受靜水壓力作用：，左側受靜水壓力作用：89 曲面上的靜水總壓力可以通過求其水平分力曲面上的靜水總壓力可以通過求其水平分力Fpx 和垂直分力和垂直分力Fpz，然后將其合成即可。，然后將其合成即可。如圖取微元面積如圖取微元面積dA，作用于面上，作用于面上的靜水壓力為的靜水壓力為dF

48、p， dFp在水平方向在水平方向上的分力為上的分力為則有則有 adFdFppxcosadFdFFppxpxcosxcAxdApxAghdAhgadAghFxx)(cos 90上式表明作用在曲面上靜水總壓力上式表明作用在曲面上靜水總壓力 FP 的水平分的水平分力力Fpx，等于曲面在，等于曲面在yOz 平面上的投影面平面上的投影面 Ax上的靜上的靜水總壓力。水總壓力。hC為為Ax面形心面形心C在水下的深度。在水下的深度。很明顯，水平分力很明顯，水平分力 Fpx的作用線應通過的作用線應通過Ax平面平面的壓力中心。的壓力中心。 91 1.10.2 靜水總壓力的垂直分力靜水總壓力的垂直分力 微分柱面微分

49、柱面KLKL上靜水壓力上靜水壓力dPdP沿鉛垂方向的分力為沿鉛垂方向的分力為整個整個EFEF曲面上的垂直分力為：曲面上的垂直分力為： 因因h h( (dAdA) )z z 為為KLKL面所托起的水體面所托起的水體體積，所以體積，所以 為為EFEF曲面所曲面所托起水體的體積。托起水體的體積。pFadFdFppzsin VAzpzAdAppzpzzzdAhgFdAghdFdFF)(sinsin)(zAzdAhV)(92 所以所以 V V：稱為壓力體，代表以面積：稱為壓力體，代表以面積EFMNEFMN為底，長度為為底，長度為b b的的柱體體積。柱體體積。垂直分力垂直分力 F Fpzpz的作用線，的作

50、用線，應通過壓力體的體積形心應通過壓力體的體積形心。93 壓力體應由下列周界面所圍成：壓力體應由下列周界面所圍成： 1受壓曲面本身；受壓曲面本身； 2液面或液面的延長面；液面或液面的延長面； 3通過曲面的四個邊緣向液面或液面的延長面所作通過曲面的四個邊緣向液面或液面的延長面所作 的鉛垂平面。的鉛垂平面。 Fpz的方向：當液體和壓力體位于曲面的同側時，的方向：當液體和壓力體位于曲面的同側時，F(xiàn)pz 向下；向下； 當液體及壓力體各在曲面之一側時，當液體及壓力體各在曲面之一側時，F(xiàn)pz向上。向上。 94當曲面為凹凸相間的復雜柱面時，可當曲面為凹凸相間的復雜柱面時，可在曲面在曲面與鉛垂面相切處將曲面分

51、開，分別繪出各部分與鉛垂面相切處將曲面分開，分別繪出各部分的壓力體，然后再疊加起來的壓力體，然后再疊加起來，去掉重疊部分，去掉重疊部分，余下部分即為所求壓力體。余下部分即為所求壓力體。95 1.10.3 靜水總壓力靜水總壓力 由二力合成定理，曲面所受靜水總壓力的大小為由二力合成定理，曲面所受靜水總壓力的大小為 22pzpxpFFFpxpzpxpzFFFFarctan :tan即 總壓力總壓力Fp的作用線應通過的作用線應通過Fpx與與Fpz的交點的交點K，過，過K點沿點沿Fp的方向延長交曲面于的方向延長交曲面于D，D點即為總壓力點即為總壓力Fp在在AB上的作用點。上的作用點。 96 例例1-11

52、 1-11 韶山灌區(qū)引水樞紐泄洪閘共裝韶山灌區(qū)引水樞紐泄洪閘共裝5 5孔弧形閘門，每孔弧形閘門，每孔門寬孔門寬b b為為10m10m，弧門半徑，弧門半徑R R為為12m12m，其余尺寸見圖。試求當，其余尺寸見圖。試求當上游為正常引水位上游為正常引水位66.50m66.50m、閘門關閉情況下，作用于一孔、閘門關閉情況下，作用于一孔弧形門上靜水總弧形門上靜水總壓壓力力的的大小及方向。大小及方向。（習題（習題1919類似）類似）FpxFpz97 （1）首先求水平分力）首先求水平分力Fpx （2）求垂直分力）求垂直分力Fpz： 如圖所示，壓力體的底面積為如圖所示，壓力體的底面積為 = =弓形面積弓形面

53、積EGF三角形面積三角形面積EFLkNAghFxCpx39699105 .48 .9bVgVFpz ,98其中，弓形面積EGF triangle)-leOEF(isosce 22Area) Shape-OEF(Fan02)2(21)(18021sRsR04841,667.0128sinOFFH0474,083. 01211sinOE000058.4635464744841)(99 弦長弦長 故弓形面積故弓形面積EGF 6.24m2mRs49. 9)258.46sin(122)2sin(2022002)249. 9(12249. 958.461801221)(100 三角形面積三角形面積EFL

54、故三角面積故三角面積 則則 因壓力體與液體分別位于曲面之一側，故因壓力體與液體分別位于曲面之一側，故Fpz 的方向向上。的方向向上。 LFEL 21mLFsLFEFEL01. 3949. 9222222255.13901. 321mSEFL279.1955.1324. 6mkNgbFpz193979.19108 . 9101 總壓力總壓力 總壓力總壓力Fp與水平方向的夾角為與水平方向的夾角為 ， ， 則則 。因各點壓強均垂直于柱面并通過圓心，故總。因各點壓強均垂直于柱面并通過圓心，故總壓力壓力 Fp 也必通過圓心也必通過圓心O點。點。kNFFFpzpxp4417193939692222489. 039691939tan0226102 例例1-12 有一薄壁金屬壓力管，管中受均勻水壓力作有一薄壁金屬壓力管，管中受均勻水壓力作用，其壓強為用，其壓強為p，管內(nèi)徑為，管內(nèi)徑為D，當管壁允許拉應力為，當管壁允許拉應力為 時，求管壁厚時，求管壁厚 為多少為多少?(不考慮由于管道自重和水重而不考慮由于管道自重和水重而產(chǎn)生的應力產(chǎn)生的應力)。（習題。（習題1.22） 103 解解：因水管在內(nèi)水壓力作用下，管壁將受