傳熱學(xué)-第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法

1、第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法1第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法24-0 引言引言 求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：(1) 理論分析法；理論分析法；(2) 數(shù)數(shù)值計算值計算 法；法；(3) 實驗法實驗法 三種方法的基本求解過程三種方法的基本求解過程 (1) 所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；解稱之為分析解，或叫理論解； (2) 數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連

2、續(xù)的物理量的數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；點上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法3 (3) 實驗法實驗法 就是在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用對所就是在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用對所 研究對象的傳熱過程所求量的方法研究對象的傳熱過程所求量的方法3 三種方法的特點三種方法的特點 (1) 分析法分析法 a 能獲得所研究問題的精確解

3、，可以為實驗和數(shù)值計算能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；提供比較依據(jù)； b 局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解；局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解； c 分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見 第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法4(2) 數(shù)值法數(shù)值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應(yīng)性：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應(yīng)性 強，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實強，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實 驗法相比成本低驗法相比成本低(3) 實驗法實驗法: 是傳熱學(xué)的基本研究方法，是傳熱學(xué)的基本研究方法，a 適應(yīng)性不好；適應(yīng)性不好； b 費

4、用昂貴費用昂貴數(shù)值解法：數(shù)值解法：有限差分法（有限差分法（finite-difference）、）、 有限元法（有限元法（finite-element） 、 邊界元法（邊界元法（boundary- element）、）、 分子動力學(xué)模擬（分子動力學(xué)模擬（MD） 第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法54-1 導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想 及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立1 物物 理理 問問 題題 的的 數(shù)數(shù) 值值 求求 解解 過過 程程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂是否收斂解的分析解的分析改

5、進初場是否第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法60tyf3thf2thf1thx二維矩形域內(nèi)二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱常物性的導(dǎo)熱問題問題2 例題條件例題條件第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法7xyxynm(m,n)MN3 基本概念：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點、界面線、步長基本概念：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點、界面線、步長二維矩形二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，無內(nèi)熱源，常物性的常物性的導(dǎo)熱問題導(dǎo)熱問題第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法84 建立離散方程的常用方法：建立離散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）級數(shù)展開法；（泰勒）級數(shù)展開法；(2) 多項式擬合法；多項式擬合法；(3) 控制容積積分法

6、；控制容積積分法；(4) 控制容積平衡法控制容積平衡法(也稱為熱平衡法也稱為熱平衡法)第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法9(1) 泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點( (i,ji,j) )的溫度的溫度t ti,ji,j來表示節(jié)點來表示節(jié)點( (i+1,ji+1,j) )而溫度而溫度t ti+1,ji+1,j用節(jié)點用節(jié)點(i,j)(i,j)的溫度的溫度t ti,ji,j來表示節(jié)點來表示節(jié)點(i-1,j)(i-1,j)的的溫度溫度t ti-1,ji-1,j! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22,

7、1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法10若取上面式右邊的前三項，并將式和式若取上面式右邊的前三項，并將式和式相加相加移項整理即得二階導(dǎo)數(shù)的中心差分：移項整理即得二階導(dǎo)數(shù)的中心差分：同樣可得：同樣可得：)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截斷誤差截斷誤差未明確寫出的級數(shù)余項未明確寫出的級數(shù)余項中的中的XX的最低階數(shù)為的最低階數(shù)為2 2第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法11 對于二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，在直角坐標(biāo)中，其導(dǎo)熱對于二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，在直角坐標(biāo)中，其導(dǎo)熱微分方程為：微分方程為：其節(jié)點方程為：其節(jié)

8、點方程為：0ytxtv22220ytt2txtt2tj , i ,v21j , ij , i1j , i2j ,1ij , ij ,1i第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法12(2) 控制容積平衡法控制容積平衡法(熱平衡法熱平衡法)基本思想：基本思想：對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱能

9、量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱 流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)能的增量流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)能的增量即：即： 單位：單位：oviW第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法13voi)(ovi即：從所有方向流入控制體的總熱流量即：從所有方向流入控制體的總熱流量 控制體內(nèi)熱源生成熱控制體內(nèi)熱源生成熱 控制體內(nèi)能的增量控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用注意：上面的公式對內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法1401,1, 1, 1nmnmnmnm穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量從所有方向流入控制體的總熱流量0內(nèi)部節(jié)點：內(nèi)部節(jié)點：

10、0右左下上(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y (m,n+1)第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法15以二維、穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題為例以二維、穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題為例此時：此時：0v右左下上xtyxtAdddd左可見：當(dāng)溫度場還沒有求出來之前，我們并不知道可見：當(dāng)溫度場還沒有求出來之前，我們并不知道所以，必須假設(shè)相鄰節(jié)點間的溫度分布形式，這里我們所以，必須假設(shè)相鄰節(jié)點間的溫度分布形式，這里我們假定溫度呈分段線性分布，如圖所示假定溫度呈分段線性分布，如圖所示xt dd第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法16(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1

11、,nxttyxtynmnm, 1dd左可見，節(jié)點越多，假設(shè)的分段線性分布越接近真實的溫度布?？梢?，節(jié)點越多，假設(shè)的分段線性分布越接近真實的溫度布。此時：此時：xttynmnm, 1右yttxnmnm,1,上yttxnmnm,1,下內(nèi)熱源：內(nèi)熱源：yxVv第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法170v右左下上0,1,1, 1, 1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnmyx時：時：042,1,1, 1, 1xtttttnmnmnmnmnmxtttttnmnmnmnmnm21,1, 1, 1,4第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法18xtttttnmnmnmnmnm21,1,1,1,4無內(nèi)熱源時

12、：無內(nèi)熱源時：變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?,1, 1, 1,4nmnmnmnmnmttttt重要說明：重要說明：所求節(jié)點的溫度前的系數(shù)一定等于其他所求節(jié)點的溫度前的系數(shù)一定等于其他所有相鄰節(jié)點溫度前的系數(shù)之和。這一結(jié)論也適用所有相鄰節(jié)點溫度前的系數(shù)之和。這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點。但這里不包括熱流于邊界節(jié)點。但這里不包括熱流(或熱流密度或熱流密度)前的前的系數(shù)。系數(shù)。第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法194-2 4-2 邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù) 方程的求解方程的求解對于第一類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，處理比較簡單，因為對于第一類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以

13、數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點的離已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。而對于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，而對于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點的離散方程，邊界就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點的離散方程，邊界節(jié)點與內(nèi)節(jié)點的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才節(jié)點與內(nèi)節(jié)點的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。能求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用條件

14、合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。用密度表達式。用表示內(nèi)熱源強度。表示內(nèi)熱源強度。第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法201.1.邊界節(jié)點離散方程的建立：邊界節(jié)點離散方程的建立：qwxyqw(1) 平直邊界上的節(jié)點平直邊界上的節(jié)點2,1,1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm0222,1,1, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法21(2) 外部角點外部角點2222,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxx

15、yqw第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法22(3) 內(nèi)部角點內(nèi)部角點)22322(6122, 11,1, 1,wnmnmnmnmnmqxxttttt0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxxyqw第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法23qw的情況：的情況：(1) 第二類邊界條件：將第二類邊界條件：將 ，帶入上面各式即可，帶入上面各式即可 絕熱或?qū)ΨQ邊界條件？絕熱或?qū)ΨQ邊界條件？ 第三類邊界條件：將第三類邊界條件：將 ，帶入上面各式，帶入上面各式(2) 即可即可 constqw)(,nmfwtthq課堂作業(yè)：將課堂作業(yè)：將 帶入外部角點

16、的帶入外部角點的溫度離散方程，并化簡到最后的形式溫度離散方程，并化簡到最后的形式)(,nmfwtthq(3) 輻射邊界條件：輻射邊界條件：)(4,4nmfwTTqconstqw或其他或其他第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法242.2.節(jié)點方程組的求解節(jié)點方程組的求解nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：個代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法第四章導(dǎo)

17、熱問題的數(shù)值解法25直接解法：直接解法：通過有限次運算獲得代數(shù)方程精確解通過有限次運算獲得代數(shù)方程精確解; 矩陣求逆、高斯消元法矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先對要計算的場作出假設(shè)、在迭代計算過程中不先對要計算的場作出假設(shè)、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。斷予以改進、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點：缺點：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中的系數(shù)不問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中

18、的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）地不斷更新）迭代解法有多種：迭代解法有多種：簡單迭代（簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯迭代）、高斯-賽德爾賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯高斯-賽德爾迭代的特點：賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最新值新值第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法26在計算后面的節(jié)點溫度時應(yīng)按下式（采用最新值）在計算后面的節(jié)點溫度時應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第例如：根據(jù)第 k 次迭代的數(shù)值次迭代的數(shù)值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得節(jié)點溫度：可以求得節(jié)點溫度：)(1)(1)(212)(111) 1(1.kknnkkkbtatatat)()() 1(11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat