第5節(jié) 可降階的高階微分方程(新)

1、1可降階的高階微分方程7.5 )()(xfyn一、),(yxfy 二、),(yyfy 三、2型的微分方程一、)()(xfyn，令)1( nyz).()(xfyxdzdn則于是，1)(Cxdxfz.)(1)1(Cxdxfyn即，同理可得21)2(Cxdyynnxdxdxf )(通過(guò) n 次積分，可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .21CxC【解法分析】3.cos12的通解求微分方程例xeyx 解解: 21(cos )xyex dxC12sin21Cxexxey241xey281( 這里 )1121CCxsin21xC32CxCxcos21CxC4.1212的通解求微分方程例 xy:解解121ydxx

2、 112Cx1( 21)yxC dx 21231231CxCx)(32121( (21)3yxC xC dx322125212151CxCxCx)(5型的微分方程二、),(yxfy ，令)(xpy .py 則于是原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為1( ,)px C則1( ,)yx C 再一次積分, 得原方程的通解12( ,)yx C d xC【解法分析】6230.xyyx例求微分方程的通解:解解，設(shè)py .py 則方程可寫成02xppx.1xpxp即，111Cdxxeepdxxdxx于是，xCx1231因此，原方程通解為：21312ln91)31(CxCxdxxCxy7200(41)

3、21 3xxxyxyyy例求，解初值問(wèn)題解解: , py 令.py 則代入方程得，pxpx2)1(2dxxxdpp)1(212即，于是，12ln)1(lnlnCxp).1(21xCp即，利用3 0 xy，得31C).1(32xy于是，兩端再積分得233Cxxy，利用10 xy. 12C得331yxx故，所求特解為8型的微分方程三、),(yyfy ，令)(ypy xdpdy 則xdydydpdydpdp故方程可化為),(pyfydpdp1( ,)py C設(shè)它的通解為，1( ,)yy C 即，分離變量后積分，得原方程的通解21( ,)dyxCy C【解法分析】9.052的通解求微分方程例 yyy代

4、入方程得，02 pydpdpy解解:，令)(ypy .ydpdpy 則0)( pydpdyp即，于是，00pydpdyp或Cyp 0yydppd0 pydpdy10可得,yCp1,yCy1再分離變量積分得21CxCylnln故所求通解為xCeCy12),(CyC 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)01yydppd0 pydpdy11解解:2000601yxxyeyy例解，下列初值問(wèn)題，令py ，則ydpdpy 代入方程得ydepdpy21221221Cepy利用初始條件 ,0100 xyyp，得01C.yep于是，但根據(jù)yepxdyd.2Cxey，再利用00 xy. 12 C故所求特解為xey1應(yīng)取121Soyx.)(

5、. 12)(, 0.),()(. 1)0(0)()0()(72121滿足的方程求恒為且，為為曲邊的曲邊梯形面積上以區(qū)間，軸圍成的三角形面積為上述兩直線與軸的垂線作該曲線的切線及上任一點(diǎn)過(guò)曲線，二階可導(dǎo)，且設(shè)例xyySSSxyyxSxxyxPxyyyxyxxy解解: 設(shè)曲線)(xyy ),(yxP,由于,1)0(y,0)( xy所以,0)(xy于是cotyyS211yy22xyP12S在點(diǎn)處的切線傾角為tdtySx02)(13再利用 y (0) = 1 得可得，由1221SSxtdtyyy021)(兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得方程2)( yyy 定解條件為)0(,1)0(yy，令)(ypy 方程化為，

6、即，yydppd.1yCp 利用定解條件得. 11C再解,yy ,2xeCy ,12C故所求曲線方程為xey 1SxyPoyx2S1，則ydpdpy 2pydpdpy114.082的通解求方程例 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1Cyy 故故有有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 注意注意: :這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.15.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解,)(Py4設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 916內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy 則xdpdy ),(. 3yyfy 令, )(ypy 則ydpdpy 17作業(yè)作業(yè)7-6: P323 1(3)(5)(7)(10); 2 (3) (5) ; 3 18思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答: 令)(xpy 或)(yp