自學(xué)考試線性代數(shù)

1、自考高數(shù)線性代數(shù)筆記第一章 行列式1.1行列式的定義（一）一階、二階、三階行列式的定義（1）定義：符號叫一階行列式，它是一個數(shù)，其大小規(guī)定為：。注意：在線性代數(shù)中，符號不是絕對值。例如，且；（2）定義：符號叫二階行列式，它也是一個數(shù)，其大小規(guī)定為：所以二階行列式的值等于兩個對角線上的數(shù)的積之差。（主對角線減次對角線的乘積）例如（3）符號叫三階行列式，它也是一個數(shù)，其大小規(guī)定為例如=0三階行列式的計算比較復(fù)雜，為了幫助大家掌握三階行列式的計算公式，我們可以采用下面的對角線法記憶方法是：在已給行列式右邊添加已給行列式的第一列、第二列。我們把行列式左上角到右下角的對角線叫主對角線，把右上角到左下角的

2、對角線叫次對角線，這時，三階行列式的值等于主對角線的三個數(shù)的積與和主對角線平行的線上的三個數(shù)的積之和減去次對角線三個數(shù)的積與次對角線的平行線上數(shù)的積之和。例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可見，在三階行列式中，三角形行列式的值為主對角線的三個數(shù)之積，其余五項都是0，例如例1a為何值時， 解因為所以8-3a=0，時例2

3、當(dāng)x取何值時，答疑編號10010102：針對該題提問解：解得0<x<9所以當(dāng)0<x<9時，所給行列式大于0。（二）n階行列式符號：它由n行、n列元素（共個元素）組成，稱之為n階行列式。其中，每一個數(shù)稱為行列式的一個元素，它的前一個下標(biāo)i稱為行標(biāo)，它表示這個數(shù)在第i行上；后一個下標(biāo)j 稱為列標(biāo)，它表示這個數(shù)在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。為敘述方便起見，我們用(i,j)表示這個位置。n階行列式通常也簡記作。n階行列式也是一個數(shù)，至于它的值的計算方法需要引入下面兩個概念。（1）在n階行列式中，劃去它的第i行和第j列，余下的數(shù)按照原來相對順序組成的一個(

4、n-1)階行列式叫元素的余子式，記作例如，在三階行列式中，的余子式表示將三階行列式劃去第1行和第1列后，余下的數(shù)按照相對位置組成的二階行列式，所以相似地，的余子式表示將三階行列式劃去第二行和第三列后，余下的數(shù)組成的二階行列式。所以例1若，求：（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）（4） （2）符號叫元素的代數(shù)余子式定義：（系數(shù)其實是個正負(fù)符號）例2求例1中的代數(shù)余子式（1）答疑編號10010107：針對該題提問（2）答疑編號10010108：針對該題提問（3）答疑編號10010109：針對該題提問（4）答疑編號10010110：針對該題提問解：（1）（2）（3）（4） （如果符

5、號是奇數(shù)，等于相反數(shù)；如果是偶數(shù)，等于原數(shù)）例3若計算 （以上兩組數(shù)相等）答疑編號10010111：針對該題提問解：由于與例3的結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果說明：三階行列式等于它的第一列的元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的積的和，這一結(jié)果可以推廣到n階行列式作為定義。 定義：n階行列式即規(guī)定n階行列式的值為它的第一列的元素與相應(yīng)代數(shù)余子式的積的和，上面結(jié)果中因為所以有特別情形例4計算下列行列式（1）答疑編號10010112：針對該題提問由本例可見四階上三角形行列式的值也等于它的主對角線各數(shù)之積（2）答疑編號10010113：針對該題提問可見五階上三角形行列式的值仍等于它的主對角線各數(shù)之積一般地可推得

6、即任意n階上三角形行列式的值等于它的主對角線各數(shù)之積同理有 1.2行列式按行（列）展開在1.1節(jié)講n階行列式的展開時，是把按其第一列展開而逐步把行列式的階數(shù)降低以后，再求出其值。實際上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值?，F(xiàn)在給出下面的重要定理，其證明從略。定理1.2.1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即 （i=1,2,n）（1.8）或（j=1,2,n）（1.9）其中，是元素在D中的代數(shù)余子式。定理1.2.1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即（i=1,

7、2,n）（1.8）或（j=1,2,n）（1.9）其中，是元素在D中的代數(shù)余子式。（1.8）式稱為D按第i行的展開式，（1.9）式稱為D按第j列的展開式，這里i,j=1,2,上述展開定理也可以表示成 （i=1,2,n）（j=1,2,n）這兩個展開式中的每一項都由三部分組成：元素和它前面的符號以及它后面的余子式，三者缺一不可！特別容易忘掉的是把元素（特別是）抄寫下來。根據(jù)定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全為零）或零列（列中元素全為零）的行列式，其值必為零。特別情形（1）（2）例5計算答疑編號10010201：針對該題提問解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展開（解題技巧）可見四階

8、下三角形行列式的值也等于它的主對角線各數(shù)之積例5的結(jié)果可推廣為我們稱這種行列式為下三角行列式（可任意取值的元素在主對角線的下面）。例6計算答疑編號10010202：針對該題提問解：由于第2行含0最多，所以應(yīng)按第二行展開例7計算答疑編號10010203：針對該題提問解：將按第6行展開得例8計算（1）答疑編號10010204：針對該題提問解：按第4行展開（2）答疑編號10010205：針對該題提問解：將D按第一行展開（重新分組后得出）1.3行列式的性質(zhì)與計算因為n階行列式是n!項求和，而且每一項都是n個數(shù)的乘積，當(dāng)n比較大時，計算量會非常大，例如，10!=3628800。所以對于階數(shù)較大的行列式很

9、難直接用定義去求它的值，這時利用行列式的性質(zhì)可以有效地解決行列式的求值問題。下面我們來研究行列式的性質(zhì)，并利用行列式的性質(zhì)來簡化行列式的計算。1.3.1行列式的性質(zhì)將行列式D的第一行改為第一列，第二行改為第二列第n行改為第n列，仍得到一個n階行列式，這個新的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為或。即如果則性質(zhì)1行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即或根據(jù)這個性質(zhì)可知，在任意一個行列式中，行與列是處于平等地位的。凡是對“行”成立的性質(zhì)，對“列”也成立；反之，凡是對“列”成立的性質(zhì)，對“行”也成立。所以只需研究行列式有關(guān)行的性質(zhì)，其所有結(jié)論對列也是自然成立的。（運用最多）性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所

10、有元素所得到的行列式等于kD。這也就是說，行列式可以按某一行和某一按列提出公因數(shù)：證將左邊的行列式按其第i行展開以后，再提出公因數(shù)k，即得右邊的值：注意如果行列式有多行或多列有公因數(shù)，必須按行或按列逐次提出公因數(shù)。例1計算行列式：答疑編號10010206：針對該題提問解=30（4+6+5-2-4-15）=30（-6）=-180在例1的計算過程中，我們先提出第二行的公因數(shù)2和第三行的公因數(shù)3，得到第一個等號右邊的式子，然后提出這個行列式中第三列的公因數(shù)5，把行列式中各元素的絕對值化小以后，再求出原行列式的值。例2答疑編號10010207：針對該題提問因為所以原式=4abcdef這里是把上式第一個

11、等號左邊的行列式的第一、二、三行分別提出了公因子a,d,f，第二個等號左邊的行列式的第一、二、三列分別提出了公因子b,c,e，化簡后再求出其值。例3計算行列式：在行列式D的每一行中都提出公因數(shù)（-1）并用行列式性質(zhì)1可以得到答疑編號10010208：針對該題提問因為行列式D是一個數(shù)，所以由D= -D，可知行列式D=0。用這種方法可以證明：任意一個奇數(shù)階反對稱行列式必為零。所謂反對稱行列式指的是，其中主對角線上的元素全為0，而以主對角線為軸，兩邊處于對稱位置上的元素異號。即若是反對稱行列式，則它滿足條件（運用最多）性質(zhì)3互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號。即對于如下兩個行列式 有根據(jù)

12、這個性質(zhì)可以得到下面的重要推論：推論如果行列式中有兩行（列）相同，則此行列式的值等于零。因為互換行列式D中的兩個相同的行（列），其結(jié)果仍是D，但由性質(zhì)3可知其結(jié)果為-D，因此D=-D，所以D=0。性質(zhì)4如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零。證設(shè)行列式D的第i行與第j行的對應(yīng)元素成比例，不妨設(shè)第j行元素是第i行元素乘以k得到的，則由于將行列式D中第j行的比例系數(shù)k提到行列式的外面來以后，余下的行列式有兩行對應(yīng)元素相同，因此該行列式的值為零，從而原行列式的值等于零。行列式中某兩列元素對應(yīng)成比例的情形可以類似地證明。例4驗算x=3是否是方程的根。答疑編號10010209：針

13、對該題提問解：因為 （第二行與第四行成倍數(shù)）x=3是方程f(x)=0的根。性質(zhì)5行列式可以按行（列）拆開，即證將左邊的行列式按其第i行展開即得這就是右邊兩個行列式之和。（運用最多）性質(zhì)6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D。即：例5證明：的充要條件是k=1或k=±2 答疑編號10010301：針對該題提問證因為（第一行的數(shù)乘與（-1）加到第二行上去） 所以，D=0的充要條件是k=1或k=±2。此題中，為了敘述方便，我們引入了新的記號，將每一步的行變換寫在等號上面（若有列變換則寫在等號下面，本題沒有列變換），即

14、第一步中的+（-1）×表示將第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第一列展開。 根據(jù)行列式的展開定理與行列式的性質(zhì)，我們有下面的定理： 定理1.3.1n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即， （1.10）， （1.11）1.3.2行列式的計算 行列式的計算主要采用以下兩種基本方法。（1）利用行列式的性質(zhì)，把原行列式化為容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值。此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上（-1），在按行或按列提取公因子k時，必須在新的行列式前面乘上k。（2）把原行列式按選

15、定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)6在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素，再按包含0最多的行或列展開。例6計算行列式 答疑編號10010302：針對該題提問解由于上三角行列式的值等于其主對角線上元素的乘積，所以我們只要設(shè)法利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角行列式，即可求出行列式的值。 我們在計算例6中的行列式時，是利用行列式的性質(zhì)先將它化成上三角行列式后，再求出它的值，事實上在計算行列式的值時，未必都要化成上三角或下三角行列式，若將行列式的性質(zhì)與展開定理結(jié)合起來使用，往往可以更快地求出結(jié)果。 例7計算行列式： 答疑編號10010303：針對該題提問解觀察

16、到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1，利用這個（1，1）位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化為0，然后按第一列展開，可將這個四階行列式降為三階行列式來計算，具體步驟如下：按第一列展開，得 =（-1）×2× 例8計算行列式（把最簡單的調(diào)到第一列或是第一旬） 答疑編號10010304：針對該題提問 在本例中，記號寫在等號下面，表示交換行列式的第一列和第二列，+5×寫在等號下面，表示將行列式的第一列乘以5后加到第二列。 例9計算行列式： （例子很特殊）答疑編號10010305：針對該題提問解這個行列式有特殊的形狀，其特點是它的每一行元素之和為6，我們可以采

17、用簡易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因數(shù)6，再將后三行都減去第一行：（32）？ 例10計算行列式： a2-b2=(a+b)(a-b)答疑編號10010306：針對該題提問 例11計算n階行列式（n>1）： 答疑編號10010307：針對該題提問解將行列式按第一列展開，得 （簡化的過程就是消階，次方也應(yīng)減少，為（N-1）等 例12計算范德蒙德（VanderMonde）行列式： 答疑編號10010308：針對該題提問（第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘（-X1）加到第三行上）例13 計算 答疑編號10010309：針對該題提問（這是個定律） 例14計算 （解題規(guī)

18、律：每行或是每列中的和是一樣的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把這個數(shù)當(dāng)公因數(shù)提取，形成有一行或是列全為“1”的行列式，然后再化簡）答疑編號10010310：針對該題提問=（x+4a）（x-a）4 1.4克拉默法則由定理1.2.1和定理1.3.1合并有或 （一）二元一次方程組（方程1、2左右同乘以一個數(shù)，上下對減） 由a22*-a12*得由a11-a21得 令 =D =D1=D2則有 A是常數(shù)項當(dāng)D0時，二元一次方程組有唯一解（二）三元一次方程組 令叫系數(shù)行列式， ， 由D中的A11+A21+A31得 即 由D中的A12+A22+A32得即 由D中的A13+A23+A33

19、得即 當(dāng)D0時，三元一次方程組有唯一解一般地，有下面結(jié)果定理（克拉默法則） 在n個方程的n元一次方程組（1）中，若它的系數(shù)行列式0則n元一次方程組有唯一解。推論：在n個方程的n元一次齊次方程組（2）中（1）若系數(shù)行列式D0，方程組只有零解（2）若系數(shù)行列式D=0則方程組（2）除有零解外，還有非零解（不證）例在三元一次齊次方程組中，a為何值時只有零解，a為何值時有非0解。答疑編號10010401：針對該題提問解： =2a-6+3-4-（-9）-a=a+2（1）a-2時，D0,只有零解（2）a=-2時 ，D=0 ，有非零解。 本章考核內(nèi)容小結(jié)（一）知道一階，二階，三階，n階行列式的定義知道余子式，

20、代數(shù)余子式的定義（二）知道行列式按一行（列）的展開公式（三）熟記行列式的性質(zhì)，會用展開公式或?qū)⑿辛惺交癁槿切蔚姆椒ㄓ嬎阈辛惺街攸c是三階行列式的計算和各行（列）元素之和相同的行列式的計算（四）知道克拉默法則的條件和結(jié)論本章作業(yè)習(xí)題1.11.（1）（4）（5）（6）3.（1）（2）習(xí)題1.21、2、3.（1）（2）（3），4.（1）習(xí)題1.31.（1）（2）（3）2.（1）（2）4.（1）（2）5、6.（1）（2）（3）（4）（5）（8）（11）（12）（14）習(xí)題1.43第二章 矩陣2.1矩陣的概念定義2.1.1由m×n個數(shù)aij（i=1，2，m；j=1，2，n）排成一個m行n列的數(shù)

21、表 用大小括號表示稱為一個m行n列矩陣。矩陣的含義是，這m×n個數(shù)排成一個矩形陣列。其中aij稱為矩陣的第i行第j列元素（i=1，2，m；j=1，2，n），而i稱為行標(biāo)，j稱為列標(biāo)。第i行與第j列的變叉位置記為（i，j）。通常用大寫字母A，B，C等表示矩陣。有時為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n，也可記為A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n當(dāng)m=n時，稱A=（aij）n×n為n階矩陣，或者稱為n階方陣。n階方陣是由n2個數(shù)排成一個正方形表，它不是一個數(shù)（行列式是一個數(shù)），它與n階行列式是兩個完全不同的概念。只有一階方陣才是一個數(shù)。一個n階

22、方陣A中從左上角到右下角的這條對角線稱為A的主對角線。n階方陣的主對角線上的元素a11，a22，ann，稱為此方陣的對角元。在本課程中，對于不是方陣的矩陣，我們不定義對角元。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。用Om×n或者O（大寫字）表示。特別，當(dāng)m=1時，稱=（a1，a2，an）為n維行向量。它是1×n矩陣。當(dāng)n=1時，稱為m維列向量。它是m×1矩陣。向量是特殊的矩陣，而且它們是非常重要的特殊矩陣。例如，（a，b，c）是3維行向量，是3維列向量。幾種常用的特殊矩陣：1.n階對角矩陣形如或簡寫為（那不是A，念“尖”） 的矩陣，稱為對角矩陣，對角矩陣必須是方陣。

23、 例如，是一個三階對角矩陣，也可簡寫為。2.數(shù)量矩陣 當(dāng)對角矩陣的主對角線上的元素都相同時，稱它為數(shù)量矩陣。n階數(shù)量矩陣有如下形式：或。（標(biāo)了角標(biāo)的就是N階矩陣，沒標(biāo)就不知是多少的） 特別，當(dāng)a=1時，稱它為n階單位矩陣。n階單位矩陣記為En或In，即或在不會引起混淆時，也可以用E或I表示單位矩陣。n階數(shù)量矩陣常用aEn或aIn表示。其含義見2.2節(jié)中的數(shù)乘矩陣運算。3.n階上三角矩陣與n階下三角矩陣形如的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣。 對角矩陣必須是方陣。一個方陣是對角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣。4.零矩陣 （可以是方陣也可以不是方陣）2

24、.2矩陣運算本節(jié)介紹矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等基本運算。只有在對矩陣定義了一些有理論意義和實際意義的運算后，才能使它成為進行理論研究和解決實際問題的有力工具。2.2.1矩陣的相等（同）定義2.2.1設(shè)A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，m；j=1，2，n，則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。由矩陣相等的定義可知，兩個矩陣相等指的是，它們的行數(shù)相同，列數(shù)也相同，而且兩個矩陣中處于相同位置（i，j）上的一對數(shù)都必須對應(yīng)相等。特別，A=（aij）m×n=Oaij=0，i=1，2，m；j=1，2，n。注意行列

25、式相等與矩陣相等有本質(zhì)區(qū)別，例如因為兩個矩陣中（1，2）位置上的元素分別為0和2。但是卻有行列式等式 （因為行列式是數(shù)，矩陣是表，表要求表里的每一個都一樣）2.2.2矩陣的加、減法定義2.2.2設(shè)A=（aij）m×n和B=（bij）m×n，是兩個m×n矩陣。由A與B的對應(yīng)元素相加所得到的一個m×n矩陣，稱為A與B的和，記為A+B，即A+B=（aij+ bij）m×n。即若則當(dāng)兩個矩陣A與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等時，稱它們是同型矩陣。只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，它們才可相加。例如注意：（1）矩陣的加法與行列式的加法有重大區(qū)別例如 （階數(shù)相同，所有的

26、行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一樣才可以相加，方法是除了這兩個不同的行（列）相加外，其它的不變。）（2）階數(shù)大于1的方陣與數(shù)不能相加。（階數(shù)大于1它就是一個表，不是一個數(shù)了）若A=（aij）為n階方陣，n>1，a為一個數(shù)，則A+a無意義！但是n階方陣A=（aij）m×n與數(shù)量矩陣aEn可以相加： （把數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)量矩陣aEn就可以想加了） 由定義2.2.2知矩陣的加法滿足下列運算律： 設(shè)A，B，C都是m×n矩陣，O是m×n零矩陣，則（1）交換律A+B=B+A.（乘法沒有交換律）（2）結(jié)合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）

27、A+O=O+A=A.（4）消去律A+C=B+CA=B.2.2.3數(shù)乘運算（矩陣與數(shù)不能相加，但是可能想乘）定義2.2.3對于任意一個矩陣A=（aij）m×n和任意一個數(shù)k，規(guī)定k與A的乘積為kA=（kaij）m×n.（矩陣?yán)锏牡趥€原數(shù)都乘以數(shù)K）即若 則由定義2.2.3可知，數(shù)k與矩陣A的乘積只是A中的所有元素都要乘以k，而數(shù)k與行列式Dn的乘積只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，這兩種數(shù)乘運算是截然不同的。根據(jù)數(shù)乘矩陣運算的定義可以知道，數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣En的乘積。 數(shù)乘運算律（1）結(jié)合律（kl）A=k（lA）=k

28、lA，k和l為任意實數(shù)。（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l為任意實數(shù)。例1已知求2A-3B。答疑編號：10020101針對該題提問解例2已知且A+2X=B，求X。答疑編號：10020102針對該題提問解：（注意是乘以矩陣?yán)锏拿總€元素）2.2.4乘法運算定義2.2.4設(shè)矩陣A=（aij）m×k，B=（bij）k×n，令C=（cij）m×n是由下面的m×n個元素cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m；j=1，2，n） 構(gòu)成的m行n列矩陣，稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB。由此

29、定義可以知道，兩個矩陣A=（aij）和B=（bij）可以相乘當(dāng)且僅當(dāng)A的列數(shù)與B的行數(shù)相等。當(dāng)C=AB時，C的行數(shù)=A的行數(shù)，C的列數(shù)=B的列數(shù)。C的第i行第j列元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和。例3若且AB=C求矩陣C中第二行第一列中的元素C21答疑編號：10020103針對該題提問解：C21等于左矩陣A中的第二行元素與右矩陣B中第一列元素對應(yīng)乘積之和C21=2×1+ 1×3+ 0×0=5 例4設(shè)矩陣（列 行）求AB。答疑編號：10020104針對該題提問解：=這里矩陣A是3×3矩陣，而B是3×2矩陣，由于B的列數(shù)

30、與A的行數(shù)不相等，所以BA沒有意義。例5求（1）A3E3（2）E3A3解：（1）答疑編號：10020105針對該題提問（2）答疑編號：10020106針對該題提問由本例可見A3E3=E3A3=A3，并且可以推廣有它與代數(shù)中的1·a=a·1=a比較可見單位矩陣En在乘法中起單位的作用。例6設(shè)矩陣求AB和BA答疑編號：10020107針對該題提問解：現(xiàn)在，我們對矩陣乘法與數(shù)的乘法作一比較。數(shù)的乘法有交換律，矩陣乘法沒有普遍交換律。（差別）例7設(shè) 求（1）AB（2）AC解（1）答疑編號：10020108針對該題提問（2）答疑編號：10020109針對該題提問可見AB=AC眾所周知

31、，兩個數(shù)的乘積是可交換的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.兩個非零數(shù)的乘積不可能為零。因此，當(dāng)ab=0時，必有a=0或b=0。當(dāng)ab=ac成立時，只要a0，就可把a消去得到b=c。（這條只滿足數(shù)，不滿足矩陣） 由矩陣乘法及上述例6、例7可知：（1）單位矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可交換：EnA=AEn=A（2）數(shù)量矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可交換：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩陣的乘法不滿足交換律，即一般ABBA。（4）當(dāng)AB=O時，一般不能推出A=O或B=O。這說明矩

32、陣乘法不滿足消去律。（5）當(dāng)AB=AC時，一般不能推出B=C。（消去律）若矩陣A與B滿足AB=BA，則稱A與B可交換。此時，A與B必為同階方陣。矩陣乘法不滿足消去律，并不是說任意兩個方陣相乘時，每一個方陣都不能從矩陣等式的同側(cè)消去。在下一節(jié)中我們將會看到，被稱為可逆矩陣的方陣一定可以從矩陣等式的同側(cè)消去。例8設(shè)矩陣，求出所有與A可交換的矩陣。（即AB=BA）答疑編號：10020201針對該題提問解因為與A可交換的矩陣必為二階矩陣，所以可設(shè)為與A可交換的矩陣，則由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得。（對角線必須一樣）例9解矩陣方程，X為二階矩陣。答疑編

33、號：10020202針對該題提問解 設(shè)。由題設(shè)條件可得矩陣等式：由矩陣相等的定義得 （列出兩組方程式）解這兩個方程組可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。所以。  乘法運算律（1）矩陣乘法結(jié)合律（AB）C=A（BC）。（不改變順序）（2）矩陣乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）兩種乘法的結(jié)合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k為任意實數(shù)。（4）EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n（其中Em，En分別為m階和n階單位矩陣）。矩陣乘法的結(jié)合律要用定義直接驗證（證略），其他三條運算律的正

34、確性是顯然的。方陣的方冪設(shè)A為n階方陣，由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以可以不加括號而有完全確定的意義。 我們定義A的冪（或稱方冪）為由定義可知，n階方陣的方冪滿足下述規(guī)則：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l為任意正整數(shù)。例10用數(shù)學(xué)歸納法證明以下矩陣等式：（1）（2）。證（1）當(dāng)n=1時，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時，矩陣等式成立，即則知道，當(dāng)n=k+1時，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n，此矩陣等式成立。答疑編號：10020203針對該題提問（2）當(dāng)n=1時，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時，矩陣等式成立，即則知道，當(dāng)n=k+1時，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n

35、，此矩陣等式都成立。答疑編號：10020204針對該題提問例11設(shè)n階方陣A和B滿足，證明：（解B平方為多少）。答疑編號：10020205針對該題提問證由可推出B=2A-En。再由B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En （E等于1呀）證得例12前者是數(shù)，后者是n階方陣，兩者不相等，即ABBA.（行乘列為數(shù)，列乘行為N階方陣）答疑編號：10020206針對該題提問 因為矩陣乘法不滿足交換律，所以對于n階方陣A和B，有以下重要結(jié)論：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA

36、-B2=A2-B2AB=BA。（3）當(dāng)AB=BA時必有（AB）k=AkBk.（只有兩者兩等時成立）例如AB=BA時，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2但ABBA時，則上面結(jié)果不成立。例13設(shè)，則有答疑編號：10020207針對該題提問因為矩陣乘法不滿足消去律，所以對于n階方陣A和B，有以下重要結(jié)論： （1）AB=O，AO不能推出B=O。例如時（兩個不等于零的方陣相乘或是一個數(shù)平方也可能等于零） （2）由A2=O不能推出A=O。例如則 （3）由AB=AC，AO不能推出B=C。例如時（同系數(shù)兩個數(shù)或是兩個數(shù)的平方

37、相等）即AB=AC，但BC （4）由A2=B2不能推出A=±B。例如，取則2.2.5矩陣的轉(zhuǎn)置 定義2.2.5設(shè)矩陣 把矩陣的行與列互換得到的n×m矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A，即 易見A與AT互為轉(zhuǎn)置矩陣。特別，n維行（列）向量的轉(zhuǎn)置矩陣為n維列（行）向量。例如，則若A=（a1，a2，an）則若則BT=（b1，b2，bn）例14如果已知A為l×n矩陣，BAT為r×l矩陣，證明：B為r×n矩陣。答疑編號：10020208針對該題提問證設(shè)B為x行y列的矩陣則有BxxyATn×l=（BA

38、T）x×l根據(jù)可乘條件有y=n根據(jù)積的形狀有x=r所以B為Br×n例15求（1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT解：（1）答疑編號：10020209針對該題提問（2）答疑編號：10020210針對該題提問（3）答疑編號：10020211針對該題提問（4）答疑編號：10020212針對該題提問由本例可見（AB）T=BTAT，這一結(jié)果有普遍性（不證） 轉(zhuǎn)置運算律（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k為實數(shù)。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2An）T=AnTA n-1TA1T. 定義2.2.6設(shè)A=（

39、aij）為n階實方陣。若A滿足AT=A，也就是說A中元素滿足： aij=aji，i，j=1，2，n，則稱A為實對稱矩陣。若A滿足AT=-A，也就是說A中元素滿足：aij=-aji，i，j=1，2，n，此時必有aii=0，i=1，2，n，則稱A為實反對稱矩陣。實矩陣指的是元素全為實數(shù)的矩陣，在本課程中，我們只討論實對稱矩陣和實反對稱矩陣，因此，往往省略一個“實”字。例如，都是對稱矩陣；都是反對稱矩陣。例16證明：任意一個實方陣A都可以惟一地表示為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。答疑編號：10020213針對該題提問證：取則A=X+Y其中=XX是對稱陣。Y是反對稱陣。 （注）

40、舉例證明了下面結(jié)論，對任意方陣A都有 （A+AT）是對稱陣（A-AT）是反對稱陣?yán)?7（1）設(shè)A為n階對稱矩陣，證明：對于任意n階方陣P，PTAP必為對稱矩陣。（2）如果已知PTAP為n階對稱矩陣，問A是否必為對稱矩陣？證（1）因為A是對稱矩陣，必有AT=A（滿足這個條件），于是必有（PTAP）T=PTATP=PTAP 這說明PTAP必為對稱矩陣。答疑編號：10020214針對該題提問（2）反之，如果PTAP為n階對稱矩陣：（PTAP）T=PTAP，則有PTATP=PTAP，但是矩陣乘法不滿足消去律，在矩陣等式兩邊，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是對稱矩陣。答疑編

41、號：10020215針對該題提問2.2.6方陣的行列式 定義2.2.7由n階方陣A的元素按原來的順序構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式，記作或det（A）。即，如果，則。例如，的行列式為。 注意（1）矩陣是一個數(shù)表，行列式是一個數(shù)，二者不能混淆，而且行列式記號“”與矩陣記號“（*）”也不同，不能用錯。（2）矩陣的行數(shù)與列數(shù)未必相等，但行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等。（3）當(dāng)且僅當(dāng)為n階方陣時，才可取行列式。對于不是方陣的矩陣是不可以取行列式的。易見，上、下三角矩陣的行列式等于它的所有對角線元素的乘積。特別，。，例18 設(shè)且有。求答疑編號：10020301針對該題提問解：所以由本例可見一般地應(yīng)有

42、0;方陣的行列式有如下性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則（1）；（2）；（3）。（行列式乘法規(guī)則）（1），（2）的證明可由方陣行列式的定義及行列式性質(zhì)直接得到。（3）的證明從略。例19 設(shè)，則答疑編號：10020302針對該題提問，。于是得，。例20 設(shè)A，B同為n階方陣。如果AB=O，則由答疑編號：10020303針對該題提問知道，必有或。但未必有A=O或B=O。例21 證明：任意奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式必為零。答疑編號：10020304針對該題提問證：設(shè)A為2n-1階反對稱矩陣，則有。于是根據(jù)行列式性質(zhì)1和性質(zhì)2，得到，因為是數(shù)，所以必有。2.2.7方陣多項式 任意給定一個多項式和任意給

43、定一個n階方陣A，都可以定義一個n階方陣，稱f（A）為A的方陣多項式。注意：在方陣多項式中，末項必須是數(shù)量矩陣而不是常數(shù)。方陣多項式是以多項式形式表示的方陣。例22：設(shè)，求f（A）答疑編號：10020305針對該題提問解：例23：若A=B-C，其中，。證明答疑編號：10020306針對該題提問證：由 2.3方陣的逆矩陣我們知道，對于任意一個數(shù)a0，一定存在惟一的數(shù)b，使ab=ba=1，這個b就是a的倒數(shù)，常記為。而且a與b互為倒數(shù)。對于方陣A，我們可類似地定義它的逆矩陣。 定義2.3.1設(shè)A是一個n階方陣。若存在一個n階方陣B，使得（其中是n階單位陣），（2.5）則稱A是可逆矩陣（或非奇異矩陣

44、），并稱方陣B為A的逆矩陣。A的逆矩陣記為，即。若滿足（2.5）式的方陣B不存在，則稱A為不可逆矩陣（或奇異矩陣）。由逆矩陣的定義可見若B是A的逆矩陣。則反過來A也是B的逆矩陣。即若，則有  可逆矩陣的基本性質(zhì)設(shè)A，B為同階的可逆方陣，常數(shù)k0，則（1）為可逆矩陣，且（2）（3）證推廣有  （4）證  （5）證  （6）（7）若A可逆且AB=AC，則有消去律B=C證：如何判定一個給定方陣是否可逆呢？為了回答這個問題，我們先給出下面的概念。定義2.3.2設(shè)，為的元素的代數(shù)余子式（i,j=1,2,n），則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為。 由伴隨矩陣的定義可以看出

45、，在構(gòu)造A的伴隨矩陣時，必須放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是說，的第i行元素的代數(shù)余子式，構(gòu)成的第i列元素。由1.4節(jié)中的定理1.4.1可得 ，即（2.7）類似可得（2.8）現(xiàn)在我們來證明下面的重要定理。這個定理給出了判定一個n階方陣是否可逆的一個充要條件，以及方陣可逆時，求出其逆矩陣的一個方法。 定理2.3.2n階方陣A為可逆矩陣。證：必要性 設(shè)A是n階可逆矩陣，則存在n階方陣B，使。由方陣乘積的行列式法則，可得，于是必有。充分性 設(shè)為n階方陣且，構(gòu)造如下n階方陣：。則由（2.9）式可得矩陣等式，由矩陣可逆的定義可知A是可逆矩陣，而且還得到了求逆矩陣公式  推論：設(shè)A，B均

46、為n階矩陣，并且滿足，則A，B都可逆，且，。證：由，可得，因此且，故由定理2.3.2知A可逆，B也可逆。在兩邊左乘，得，在兩邊右乘，得，這個推論表明，以后我們驗證一個矩陣是另一個矩陣的逆矩陣時，只需要證明一個等式或成立即可，而用不著按定義同時驗證兩個等式。例1 若，求答疑編號：10020401針對該題提問解：例如：解：例2 設(shè)，當(dāng)a，b，c，d滿足什么條件時，矩陣A是可逆矩陣？當(dāng)A是可逆矩陣時，求出。答疑編號：10020402針對該題提問解：A可逆。當(dāng)A可逆時，例1，例2的結(jié)果可以作為求二階方陣的逆矩陣或伴隨矩陣的公式例如，例3 判斷矩陣是否可逆，求出它的逆矩陣。答疑編號：10020403針對

47、該題提問解（1）由于故矩陣A可逆。（2）逐個求出代數(shù)余子式和伴隨矩陣：，；。于是。由上例可以看出，當(dāng)n3時，用伴隨矩陣求逆矩陣計算量是很大的，特別是當(dāng)n4時不宜用伴隨矩陣來求逆矩陣。例4 設(shè)A為n階方陣，則。答疑編號：10020404針對該題提問證：由知道。當(dāng)時，顯然有。例5 若。求A的逆矩陣和A+E的逆矩陣。答疑編號：10020405針對該題提問解：（1） （2）例6 設(shè)A是3階方陣且，求（1）（2）（3）（4）答疑編號：10020406針對該題提問解：（1）（2）（3）（4）2.4分塊矩陣分塊矩陣?yán)碚撌蔷仃嚴(yán)碚撝械闹匾M成部分，在理論研究和實際應(yīng)用中，有時會遇到行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表

48、示方便和運算簡潔，常對矩陣采用分塊的方法，即用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊（子矩陣），以子塊為元素的形式的的矩陣叫分塊矩陣。例如，設(shè)，令，則A的一個分塊矩陣為這樣A可以看成由4個子矩陣（子塊）為元素組成的矩陣，它是一個分塊矩陣。分塊矩陣的每一行稱為一個塊行，每一列稱為一個塊列。上述分塊矩陣中有兩個塊行、兩個塊列。  m×n矩陣的分塊矩陣的一般形式為對于同一個矩陣可有不同的分塊法。采用不同的分塊方法得到的是不同的分塊矩陣。對于任意一個m×n矩陣，常采用以下兩種特殊的分塊方法：行向量表示法，其中，i=1，2，m；列向量表示法，其中，j=1，2，n。前者也稱為將A按行分塊，后者也稱為將A按列分塊。例如，令，以及，可分別得到A的行分塊矩陣和列分塊矩陣：，。下面我們介紹4種最常用的分塊矩陣的運算。需要特別指出的是，分塊矩陣的所有運算僅僅是前面所講的矩陣運算換了一種形式的表述方法，而并不是另外定義一種新的矩陣運算。2.4.1分塊矩陣的加法把m×n矩陣A和B作同樣的分塊：，其中，的行數(shù)的行數(shù)；的列數(shù)的列數(shù)，1ir，1js，則例