均值、方差、正態(tài)分布——學(xué)生用

1、§12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差稱D(X) (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)_p_，D(X)p(1p)(

2、2)若XB(n，p)，則E(X)_np_，D(X)np(1p)4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)e，x(，)，其中和為參數(shù)(>0，R)我們稱函數(shù)、(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；曲線在x處達(dá)到峰值；曲線與x軸之間的面積為_1_；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，_越小_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_越大_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)a，b (a<

3、;b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4.1判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小( )(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互

4、不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布( )2設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k)(k2,4,6,8,10)，則D()等于()A5 B8 C10 D163設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則c等于()A1 B2 C3 D44有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)_.5在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1(2013·浙江)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，

5、c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上n號的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，試求a，b的值題型二二項(xiàng)分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E()假設(shè)某

6、班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí)，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5.記此時(shí)教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為X.(1)求X的分布列；(2)若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長就會將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望題型三正態(tài)分布的應(yīng)用例3在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績在8085分的有17人試計(jì)算該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績服從正態(tài)分布，即N(100,100)，已知滿分為150分(1)試求考試成績位于區(qū)間(80

7、,120內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2 000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題典例：(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是，求P2的值；(3)設(shè)P2，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次設(shè)表示摸出紅球的總次數(shù)，求的分布列和均值思維啟迪(1)概率的應(yīng)用，知甲袋中總球數(shù)為10和摸

8、1個(gè)為紅球的概率，求紅球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，關(guān)鍵是求的所有可能值及每個(gè)值所對應(yīng)的概率規(guī)范解答解(1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x，依題意得x10×4.3分(2)由已知，得，解得P2.6分(3)的所有可能值為0,1,2,3.P(0)××，P(1)×××C××，P(2)×C×××2，P(3)×2.8分所以的分布列為0123P10分所以E()0×1×2×3×.12分求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步

9、驟：第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值第二步：求每一個(gè)可能值所對應(yīng)的概率第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)和答題規(guī)范溫馨提醒(1)本題重點(diǎn)考查了概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值(2)本題解答中的典型錯誤是計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范如第(3)問中，不明確寫出的所有可能值，不逐個(gè)求概率，這都屬于解答不規(guī)范方法與技巧1均值與方差的常用性質(zhì)掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，則E()np，D()np(1p)2基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和

10、標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量的均值 、方差，求的線性函數(shù)ab的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二項(xiàng)分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解3關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(<X)，P(2<X2)，P(3<X3)的值(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，從而在關(guān)于x對稱的區(qū)間上概率相等P(X<a)1P(Xa)，P(x<a)P(Xa)(3)3原則在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(，2)的隨機(jī)變量只取(3，3之間的

11、值，取該區(qū)間外的值的概率很小，通常認(rèn)為一次試驗(yàn)幾乎不可能發(fā)生失誤與防范1在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式2對于應(yīng)用問題，必須對實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1正態(tài)總體N(1,9)在區(qū)間(2,3)和(1,0)上取值的概率分別為m，n，則()Am>n Bm<nCmn D不確定2已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D83(2013·湖北) 如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割

12、為125個(gè)同 樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于()A. B.C. D.4某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100 B200 C300 D4005一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4二、填空題6從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的分布列為X012P7 已知隨機(jī)變量的分布列為P(k)，k1,2,3，n，則P(2<5)_.8已知某次英語考試的成績X服從正態(tài)分布N(116,64)，則10 000名考生中成績在140分以上的人數(shù)為_三、解答題9某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求，鼓勵顧客自帶購物袋到超市購物，采取了如下措施：對不使用超市塑料購物袋的顧客，超市給予9.6折優(yōu)惠；對需要超市塑料購物袋的顧客，既要付購買費(fèi)，也不享受折扣優(yōu)惠假設(shè)該超市在某個(gè)時(shí)段內(nèi)購物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購物袋，現(xiàn)從這36人中隨機(jī)抽取兩人(1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率；(2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望10為了某項(xiàng)大型活動能