1系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

1、主講：吳舒辭總學(xué)時(shí)：32學(xué)時(shí)授課班級(jí)：2007自動(dòng)化1班（31人）、自動(dòng)化2班（32人）授課時(shí)間：18周，2010.3.12009.4.22（周一3-4節(jié)，南302;周四1-2節(jié)，南302）考試時(shí)間：第9周參考教材：現(xiàn)代控制理論簡(jiǎn)明教程，許世范，陳穎，侯媛彬編著.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，1996年1月主要參考書(shū)：現(xiàn)代控制理論與工程，東南大學(xué)王積偉主編高等教育出版社，2003年2月第一版，研究生教學(xué)用書(shū)，【1】聯(lián)系方式：8623001,MbialWu-shuci1940-1950年代，以頻域方法為基礎(chǔ)建立了古典控制理論，其特征是以傳遞函數(shù)作為描述“受控對(duì)象”動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模

2、型，進(jìn)行系統(tǒng)分析與綜合；適用范圍僅限丁線性、定常（時(shí)不變）、確定性的、集中參數(shù)的單變量（單輸入單輸出，簡(jiǎn)稱(chēng)SIS0）系統(tǒng)；能解決的問(wèn)題是以系統(tǒng)穩(wěn)定性為核心的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。1950年代興起的航天技術(shù)為代表的更加復(fù)雜的控制對(duì)象是一個(gè)多變量系統(tǒng)（多輸入多輸出，簡(jiǎn)稱(chēng)MIM0,有的控制對(duì)象具有非線性和時(shí)變特性，甚至具有不確定的、分布參數(shù)特性等。在控制目標(biāo)上，希望能解決在某種目標(biāo)函數(shù)意義下的最優(yōu)化問(wèn)題，如最少燃料消耗，最小時(shí)間等。所有這些，都給包括“系統(tǒng)建?！焙汀翱刂品椒ā钡仍趦?nèi)的“理論”和“方法”提出了新問(wèn)題，這些問(wèn)題是古典控制理論所不能解決的?，F(xiàn)代控制理論應(yīng)運(yùn)而生！1950-1960年代不少科學(xué)家為此作出

3、了杰出貢獻(xiàn)，其中應(yīng)特別提到的是龐特里業(yè)金（noHTpiiHH）的“極值原理”，貝爾曼（Bellman）的“動(dòng)態(tài)規(guī)戈，卡爾曼（Kalman）的“濾波”、“能控性和能觀性”理論等。正是這些理論上的突破性成果奠定了現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)，并成為控制理論由“古典控制理論”發(fā)展到“現(xiàn)代控制理論”的里程碑。1960年召開(kāi)的美國(guó)自動(dòng)化大會(huì)上正式確定了“現(xiàn)代控制理論ModernControlTheory”名稱(chēng)。“現(xiàn)代控制理論”是以建立在時(shí)域基礎(chǔ)上的“狀態(tài)空間模型”作為描述受控對(duì)象動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，在某種意義上，“現(xiàn)代控制理論”是以“最優(yōu)控制”為核心的控制理論。“現(xiàn)代控制理論”包括“線性系統(tǒng)理論”、“最優(yōu)控制”、

4、“系統(tǒng)辨識(shí)”、“自適應(yīng)控制”等分支?！艾F(xiàn)代控制理論”誕生以來(lái)，不論在理論上還是在應(yīng)用方面一直處丁十分活躍的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，得到了廣泛應(yīng)用并顯示巨大的魅力，“現(xiàn)代控制理論”已成為滲透到各學(xué)科領(lǐng)域的一門(mén)新興的橫向?qū)W科而倍受人們的重視。控制工程：電氣、機(jī)械、化工、冶金、輕工、交通、煤炭、航空航天等領(lǐng)域；非工程領(lǐng)域：生物醫(yī)學(xué)、企業(yè)管理、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域?！艾F(xiàn)代控制理論”的出現(xiàn)，不是對(duì)古典控制理論的否定，而是對(duì)他的發(fā)展，古典控制理論在工程上仍然是一項(xiàng)重要的控制理論基礎(chǔ)和方法。在“復(fù)雜環(huán)境”下由“復(fù)雜控制對(duì)象”完成“復(fù)雜任務(wù)”(簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)雜系統(tǒng)，即ComplexSystems)的控制問(wèn)題的提出，使“現(xiàn)代控制理論”也面

5、臨著新的挑戰(zhàn)，并由此推動(dòng)了“智能控制”與“智能自動(dòng)化”的發(fā)展，但這也并未因此而使“現(xiàn)代控制理論”失去其理論和應(yīng)用價(jià)值，相反，客觀實(shí)際需求的不斷提高，正為控制理論的發(fā)展提供了進(jìn)一步開(kāi)拓的天地。Chapterl系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間的模型表示法狀態(tài)空間法的基本概念系統(tǒng)分類(lèi)： 已知輸入信息一孕理D旺嘩喧二獲得輸出信息，例如各種比例放大器;已知輸入信息一絲孕華土T獲得輸出信息，例如各種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。例1-1:mx(t)=F(t)設(shè)位置x1(t)=x(t)，速度x2(t)=x(t)x(t)=x2(t)Q(t)L01X1(t)W(t)所=F(t)M(如-1p1p：nn1p:：mm14狀態(tài)變量u2xi,x2

6、,xny2um*yp圖i-i對(duì)線性定常系統(tǒng)，可寫(xiě)成規(guī)范形式：x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)十Du(t)n1nnnm1p；pn；pmQ1物理意義：A-系數(shù)矩陣，描述狀態(tài)量本身對(duì)狀態(tài)量變化的影響;B-輸入(控制)矩陣，描述輸入量對(duì)狀態(tài)量變化的影響;c一輸出矩陣，描述狀態(tài)量對(duì)輸出量變化的影響；D（直接）傳遞矩陣，描述輸入量對(duì)輸出量變化的直接影響;實(shí)際中，常常D=0，故線性定常系統(tǒng)可用（A,B,C）表示。狀態(tài)空間模型的建立R例1-2:兩個(gè)蓄水池系統(tǒng)模型如R例1-2圖所示。蓄水池1橫斷面積為S,液面高度為h，單位時(shí)間流入量為Q,通過(guò)閥1的單位時(shí)間的流出量為G，閥1的阻抗為R；蓄水

7、池2橫斷面積為S2,液面高度為底，通過(guò)閥1單位時(shí)間的流入量為G，閥1的阻抗為R1，通過(guò)閥2的單位時(shí)間流出量為C2,閥2的阻抗為R2。指定蓄水池2的液面高度h2為被控量（輸出），求出該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例1-2圖兩個(gè)蓄水池系統(tǒng)模型P6-C.uX1=十二S1S1C1C2X2=一-一S2S2X1（t）=卵18頃2（如1_X2（t）JS1u61土，C2=MR1R2頭_5一%R2J_狀態(tài)方程解：根據(jù)流體力學(xué)定律，應(yīng)有：體積增量=流入一流出S1業(yè)=qC1dtS2dh2=C-C2Ldt式中：x=h1,X2=h2為狀態(tài)量；u=Q為輸入量此時(shí)，C1、C2與液位成正比（與阻抗成反比）-為nX1=+S1R1S1_X1X

8、2X2=&吊S2R2輸出方程：y=(01)(xiX2)t與規(guī)范形式比較可得:也可消去其中一個(gè)變量寫(xiě)成:S1R11S2R1011B=Si0C=(01)S2R2j11S2R2X2+X2S1R1S2R2US1S2R2討論：系統(tǒng)有2個(gè)儲(chǔ)能元件(水的勢(shì)能)，故為2階，輸入u=Q,輸出y=x2=h2,n=2,m=1,p=1R例1-3:如下面電路運(yùn)動(dòng)圖，試以電壓u為輸入，以電容上的電壓uc和電流i2為輸出變量，列寫(xiě)其狀態(tài)空間表達(dá)式。入，m=1,3個(gè)狀態(tài)變量(3個(gè)儲(chǔ)能元件)n=3,2個(gè)輸出p=2。向量x=(xX2乂3廣完全描述了電路的內(nèi)部狀態(tài)，電路的動(dòng)態(tài)過(guò)程，由狀態(tài)變量的初始值x(0)和外部輸入u(t)唯一確

9、定?？闪袑?xiě)出矩陣形式的狀態(tài)方程如下。一XiJR1/L1R1/L101fxq/l-0101危1X2=R1/L2-(Ri+R2VL2T/L2X2+0u,!X2：X3-01/C0J(jxj1+1Mn),rX1、asR-Xj板X(qián)j1xj+/j+xj書(shū)十u1y=(01.CijCj1.Cn)(Xi.XjXj1.Xn)T1.3連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換經(jīng)典控制理論：無(wú)論采用時(shí)域中的微分方程描述，還是采用頻域中的傳遞函數(shù)(一股通過(guò)Laplace變換得到)描述，他們都只能描述系統(tǒng)的外部特性，即只反映輸出一輸入關(guān)系，不能反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系，這是經(jīng)典控制理論的缺陷！現(xiàn)代控制理論：狀態(tài)空間表示，可以深入反映系統(tǒng)內(nèi)

10、部之間的關(guān)系。傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間之間可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換：系統(tǒng)狀態(tài)空間模型一些t系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型確定后，輸出一輸入關(guān)系就唯一確定；系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣(注意不只是一個(gè)傳遞函數(shù)，而是許多個(gè)傳遞函數(shù)組成的傳遞函數(shù)陣)一擋t系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣確定后，只是確定了各個(gè)輸出一輸入關(guān)系，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)并沒(méi)有明確要求，因此，對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣所規(guī)定的各輸出一輸入關(guān)系可以有多種實(shí)現(xiàn)方法。1.3.1狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)陣(轉(zhuǎn)換的結(jié)果是唯一的)x=AxBuy=CxDu狀態(tài)空間方程是對(duì)MIMO系統(tǒng)的時(shí)域描述，而傳遞函數(shù)陣則是對(duì)MIMO系統(tǒng)的頻域描述，把時(shí)域的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成頻域的數(shù)學(xué)模型，基本方法是

11、在零初始條件下取Laplace變換，故sX(s)=AX(s)+BU(s),Y(s)=CX(s)+DU(s)-1=(sIA)X(s)=BU(s)=X(s)=(sIA)BU(s)一.一w，_一Y(s)=C(sIA)BU(s)DU(s)=C(sIA)BDU(s)=G(s)U(s)一一.=G(s)=C(sI-A)BD在工程實(shí)踐中，SiS。系統(tǒng)傳遞函數(shù)中nZm，對(duì)MiMO系統(tǒng)，傳遞函數(shù)中各元素的分子階數(shù)常常低丁分母階數(shù)，此時(shí)D=0,所以JC(si_A)bBG(s)=C(si_A)B=()det(si_A)(siA)b表示伴隨矩陣，相應(yīng)的矩陣元用bij表示,多項(xiàng)式，求解det(slA)=0可得到A的特征值

12、。特例：2階、3階伴隨矩陣的求法分別為:a矩陣“行”、efbcbchihief:cfbfiagdgdgadadei-hf=gf-didh-gehc-biai-gcgb-ahbf-ecdc-afae-db;“列”、“元”的提取 定義第i個(gè)元素為1,其他元素均為。的行向量hi。hiP=pix：,即hi左乘矩陣Pdet(sl-A)三si-A是G(s)的特征可將其第i行p取出來(lái); 定義第j個(gè)元素為1,其他元素均為0的列向量lj。Plj=pxj,即lj右乘矩陣P 可將其第j列pxj提取出來(lái);hiPlj=pj,即hj、lj同時(shí)作用可提取矩陣P的第ij元Pj。例1-5(%)求下列MIMO(2輸入2輸出)系統(tǒng)

13、的狀態(tài)空間表達(dá)式的傳遞函數(shù)陣。10頃3J6T1X1X2-6x31202)0匕-1U1X1X2g解：G(s)=C(sI-A)JB0100根據(jù)矩陣求逆公式(si-A)1(si-A)bs1A0-4q0-12-1s02Js-10b2,_,s+6s+11s+6X10s-1-6s(s+6)s-1sI_Ao_1=s36s211s6=(s-1)(s-2)(s3)11s+66s11-1111Z2Z6s11s6010001(2s丁是，G(s)=飛2s6s11s6132s6s11s6也可以寫(xiě)成：G(s)=6s11-6-6s2.一s-4s2-6-6s!=gn2s+11s+6J312-4s-2811(s1)(s2)(s

14、-3)-12s(s6)11s6s6s(s-6)11s6g12Ig22結(jié)論：SIS。系統(tǒng)分子多項(xiàng)式系數(shù)為標(biāo)量;MIMO系統(tǒng)分子多項(xiàng)式系數(shù)為矩陣。22s12s6g1=(s-1)(s-2)(s-3)2一s4sg1212(s-1)(s-2)(s-3)28s12g21=z(s1)(s2)(s3)g22_2一2s211s6(sT)(s2)(s2Y(s)=G(s)U(s)p1pmm1%(s)；=C以(s)廠用g1g2Ui(s)即21g22U2(s)Y(s)=gnU1(s)-g2U2(s)Y2(s)=g2U(s)g22U2(s)由此不難詮釋的物理意義。gj例1-5圖多輸入、多輸出系統(tǒng)示意圖P141.3.4 利

15、用Matlab數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換列寫(xiě)系統(tǒng)狀態(tài)方程(補(bǔ)充)傳遞函數(shù)頃司=空=性狀態(tài)方程x=Ax+Buy=Cx+DuU(s)den在Matlab中用ss表示系統(tǒng)狀態(tài)方程(systemstate)，用tf表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)(transmitfunction)。(參見(jiàn)【1】P37-40)G(s)u(A,B,C,D)命令格式為：nund,en=ss2Af(BCD)例：系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試?yán)肕atlab轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)傳遞函數(shù).-00110x=010x+30.56u-6.27-30.25-6.78-130.77y=100x解：在Matlab工作空間上輸入A=001;010;-6.27-30.25-6.78;B=0;3

16、0.56;-130.77;C=100;D=0;num,den=ss2tf(ABCD)num=00.000030.560076.4268den=16.780030.25006.2700即該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Y(s)30.56s76.4268G(s)=2U(s)s36.78s230.25s6.27作業(yè)1-1分別解釋P,3例1-5g1、g2、g21、g22的物理意義。求U(s)=0、U2(s)=1/s(即單位階躍函數(shù)u2(t)=1)時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)y(t)=x2(t)作業(yè)1-2設(shè)y=uC、i2、h,求P4例1-1電路相應(yīng)的傳遞函數(shù)G3(s)、G2(s)、Gi(s)1.3.2傳遞函數(shù)陣的狀態(tài)空間模型的實(shí)現(xiàn)(

17、實(shí)現(xiàn)的方法是多樣的)(1) 單輸入、單輸出(SISO)線性定常系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：y(n),a1y(n4).anyany=b0u(m),b1u(m4).bmubmu如下選擇狀態(tài)變量：X=yXi=y=0X2X2=y=00X3a(n)Xn=y-anX1-anx2.u最后關(guān)系式仍然是人為的選擇所致，他也可以寫(xiě)成u=xn-a1xna2xn”.-anx2-anx1fx1、1,z01i們a1nA.+JXnA.0XnA.0頃ananA.-aij、XnJ在如上選擇狀態(tài)變量以后，再利用y(n)-a1y(nJ)-.any-any=b0u(m)-b1u(mJ)-.bmu-bmu求出滿足上述關(guān)系的輸出矩陣C0為此，引

18、入中間變量Z(s)=1s-a1sn-.Lans”an根據(jù)G(s)=Y(s)-bSmbSbmsbmU(s)snasn旦.anjsanY(s)nnt(s)上(瞄田+傘2+.+扁_+扁)-a1s-.ans.an=Z(s)(bsmb1sm4.bmSbm)Y(s)=(bsmbsmJL.bmjsbm)Z(s)U(s)=(sn+a!sn+.+anas+an)Z(s)y=b0Z(m)+也尸-*)十.+bmz+bmZu=z(n)+a1z)+.+anz+anz(m)將上述第二式與選擇變量中最后一式u=Xn+aXn+.+ajX2+anX比較可得z=X!z=X!=X2z=X2=X3將此關(guān)系式代入上述第一式，就有z(m

19、)(nW)=z、/=Xm1=Xny=bXn-b1Xn4.bm4X2bmX=(bmbm|.加)(為X?.Xn)y=Cx討論：對(duì)SISO線性定常系統(tǒng)而言，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成能控標(biāo)準(zhǔn)型”的狀態(tài)空間表達(dá)式時(shí)，狀態(tài)陣A的結(jié)構(gòu)只由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)多項(xiàng)式（分母）確定，A控=AS（ak）,而與其零點(diǎn)多項(xiàng)式（分子）無(wú)關(guān)；零點(diǎn)多項(xiàng)式只影響輸出陣C的結(jié)構(gòu)，C控=C控（bk）;傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成能觀標(biāo)準(zhǔn)型”的狀態(tài)空間表達(dá)式時(shí)（此處省略討論），狀態(tài)陣A結(jié)構(gòu)只由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)多項(xiàng)式（分母）確定，A觀=入觀血），而與其零點(diǎn)多項(xiàng)式（分子）無(wú)關(guān)；零點(diǎn)多項(xiàng)式只影響輸入陣B的結(jié)構(gòu)，B觀=8觀（bk）;只有當(dāng)傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)多項(xiàng)式同階時(shí)，m

20、=n,狀態(tài)空間表達(dá)式的輸出方程中才出現(xiàn)Du項(xiàng)，否則D=0矩陣。（2）多輸入、多輸出（MIMO）線性定常系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：G（s）的所有元素均為s的有理多項(xiàng)式（分母s次籍大丁分子s次籍），設(shè)其分母多項(xiàng)式的最小公倍式為g（s）=sq+a1sq+aqs+aq,（提取最小公倍式后，G（s）的所有元素均為整數(shù)多項(xiàng)式）則有G(s)=(二Ip)N(s)=(二Ip)(N。NsNqq-1)g(s)g(s)同理，可導(dǎo)出MIMO線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為x=0mIm+0m+0m0mx+0mu:mq10m0mImmq10mm河aqImaq_1Im.qaImJm)mqmqmqmy=(NoNiNq1)x其

21、中N。、N1、Nqw為pKm實(shí)數(shù)矩陣,21、2+124、+，60)而/c、國(guó)l02/12811J1126Jcc如(P13)例1-5G(s)=2渝2k,m=2,p=2s36s211s6g(s)=s3+6s2+11s+6,2N(s)=四124*，Z-60*+|s+I2811J126N1Nq=3a3=6a?=11a=6R7例1-6已知m=2輸入p=2輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為1G(s)=(EE2)0-1(s1)(s2)1(s1)2試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)解：由G（s）的分母知最高次數(shù)為s3,即q=3,mq=6。G（s）分母多項(xiàng)式的最小公倍式為g(s)=(s1)2(s2)=s34s25s2a=4,a2=5,a

22、3=2G(s)=s34s25s20-s-1)s2-32-s3+4s245s+2雙-1No0瑚11*00*I0|0N2s202I20202-a3I2020202I2一a112Jx+3102J2)，001000、，X100、X2000100X200X3000010X300+uX4000001X400X5-20-50-40X510L-20-501Op.Op.pq對(duì)mX&OpIpaIp/pqpqpq)m.Ip)pqv解:x1，1勺000-20X200000-2X2X31000-50X3x401000-5X4x50010-40X50010-4J50-10X2X3勺11G00010*1g)(四00001J

23、1-10X40I20U=(。202.I2)X甲2J216Rx5x6)T(4) SIS。線性定常系統(tǒng)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)若SIS。線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所有極點(diǎn)相異，則其傳遞函數(shù)可用對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫(xiě)成Y(s)KdXsrWsf)必可分解成U(s)(S1)(S2).(Sn)n，=、i4SfiCiY(S)K(SZ)(SZ2).(SZm)必可分解成，C2.S_1S-2S-n如何確定展開(kāi)系數(shù)q呢？先把他寫(xiě)成分列式，兩邊同X(s-血)，再取極限ST柚，就把系數(shù)G“提取”出來(lái)了，即Ci=宵(時(shí)()選擇狀態(tài)變量Xi(s)=U笠，i=1,2,，ns-i即sXi(s)Xi(s)=U(s)=Xi(t

24、)Xi(t)=u(t),X1(t)=A1X1。)+u(t)f、X1傳Yx11X2(t)=?刃2。)+u(t)X2X21:na+:u1-1認(rèn)(t)=%nXn(t)+u(t)XnnJ-ids(i)令j=iTi=i,上述公式就退化成單極點(diǎn)系數(shù)的求法!對(duì)應(yīng)單極點(diǎn)系數(shù)的求法仍然是：C|=limG(S)(S舄i),i=j+i,j+2,nS.i取狀態(tài)變量Xi(s)X2(S)U(S)i(S-、)j-U(s)_j口(s-，i)(S-、)i(S-、)j一(s-，i)U(S)_X2(S)j_i(s-，i)U(S)_X3(S)(S-、)j2(s-i)Xj(s)_U(s)(s-i)Xji(s)Xn(s)U(S)(s-j

25、i)U(S)(s-n)sX1(sHX1(sX2(s)SX2(S)=X2(S)+X3(S)4(asXj(s)=$Xj(s)+U(s)x1-ix1x2X2=1X2X3|x:wXjiXjusXji(s)=.iXji(s)U(s)ds供皿，3)im3(J)sM(s2)(s1)3(s5)1lim(2-1)!s心dsd(2_1)2d3(s5)布G(s)(s吧甚2=63(s5)C3=lim2s(s3)2(s1)3(s5)c4=lim十2=3s,4(s3)2(s2)x1x2-301-30】x1x2+01x3-20x31MJL0-1；0u,y=36-93(x1x2x3x4)t在Matlab中（A,B,C,D）u

26、G（s）命令格式為：（ABCD）=tf2ssnum,den（參見(jiàn)【1】P37）例：設(shè)某控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為&3）=竺=；2+：s+3利用Matlab數(shù)學(xué)模U（s）s38s216s型轉(zhuǎn)換函數(shù)轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)狀態(tài)方程。（參見(jiàn)【1】P38例1.21）解:在Matlab工作空間上輸入下述數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換程序，將產(chǎn)生矩陣A、B、C、Dnum=0143;den=18160;(ABCD)=tf2ssnum,denA=-8-160100010B二100C=143D二0即該系統(tǒng)狀態(tài)方程為一8160彳x=100x+0u,y=143x.01。離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣及其實(shí)現(xiàn)1.4.1離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型在經(jīng)典控制理論中，離散系

27、統(tǒng)用差分方程描述，而差分方程與（描述連續(xù)系統(tǒng)的）微分方程有著對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)在微分方程中以差商來(lái)近似微分時(shí)，則微分方程可用差分方程來(lái)近似。與連續(xù)系統(tǒng)相似，對(duì)n階離散系統(tǒng)的差分方程ykna1ykn-1.anyk1anyk=b0ukmb1ukmT.bm】uk1bmuk方法一：（只要）選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，就可將上式轉(zhuǎn)換成一組一階差分方程（或一階向量差分方程），從而可得到對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型。即x(k+1)T=FxkT+GukT,ykT=CxkT+DukTT為采樣周期方法二：對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型離散化也可得到離散的狀態(tài)空間表達(dá)式。P25例1-9已知某離散系統(tǒng)的差分方程為yk+3+3yk+2+yk+1+2

28、yk=uk試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。(方法1)xi=yxik=yk解：仿照連續(xù)系統(tǒng)，選取狀態(tài)變量x2=x1=yx2k=x1k十1=yk+1x3=x2=yx3k=x2k1=yk2x1k1=yk1=x2k狀態(tài)方程：x2k1=yk2=x3kx3k1=yk3=-2x1k-x2k-3x3kuk輸出方程：yk=x1k寫(xiě)成矩陣形式xk+1x2k+1/k+S00廠20-1yk=(100)(&0Yxkx2k人x3k)ukx2kx3k)T這是能控標(biāo)準(zhǔn)型若改變選擇狀態(tài)變量的方法，也可將該離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換成其他形式的狀態(tài)空間表達(dá)式，表明實(shí)現(xiàn)的方法是多種的。1.4.2線性系統(tǒng)的離散化(1)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離

29、散化(方法2)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x=Ax+Bu的基本解為x(t)=eA(t0x(t)+eA(tTBu(如，積分變量是弋,t。、t是積分限。取t=kT,t=(k+1)T,k=1,2,.可將上式變成x(k+1)T=e”xkT+j；efFBudTkT主E(k十1)T由丁在離散化時(shí)，采樣器后面常常放置零階保持器，使得在采樣期間的輸入值都保持初始值，即u(E)=ukT=const.可以將他提出到積分號(hào)外。(k1)T,-x(k1)T=eATxkTeA(k1)T-)d.Bu(kT)kT=作積分變量代換t=(k+1)T7就有x(k十1)T=eATxkT+eAtdt，Bu(kT)Jn=比較x(k+1)T

30、=FxkT+GukTFkT=eAT-30L-nTAtTykT=CxkT+DukTGkT=匕eAtBdt=Fkt11.，L-(sIA)-BdtP26例1-10將連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式離散化號(hào)0E項(xiàng)uyd0)m9-1人x2)n，1+解：根據(jù)上述討論，可求出離散狀態(tài)方程的系數(shù)陣FkT=eAT=L(sI_A)=Ls1Y10s+1,L_11s(s1)s)s(s1)1_(T)L111ss11FdTTGkT=FktBdt二Wdt=eJT-1+e最后得該系統(tǒng)離散狀態(tài)空間表達(dá)式M(k+1)T=02【(k十1)T廠卬11一_Te-1,enu【kT,ykT=(1L-e0)x1kTgkT)(2)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)

31、方程的離散化線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x(t)=A(t)x(t)B(t)u(t)可近似為xkT&；x(k+1)TxkTtkT,(k+1)T由丁零階保持器的作用，在3kT,(k+1)T內(nèi)，A(t)、x(t)、B(t)、u(t)均可以在t=kT取值，即A(t)、x(t)、B(t)、u(t)=A(kT)、x(kT)、B(kT)、u(kT)丁是,x(kT)=A(kT)x(kT)B(kT)u(kT)=；項(xiàng)(k1)T-xkT，或?qū)懗蓌(k1)T=xkTTA(kT)x(kT)B(kT)u(kT)=ITA(kT)x(kT)TB(kT)u(kT)比較；x(k+1)T=FxkT+GukT、ykT=CxkT+Duk

32、TFkT=I+TAkT0kT=TBkTP2?例1-11已知某系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(t)=A(t)x(t)B(t)u(t)其中A(t)=二4B(t)解：FkT=ITAkT=ITe&ej試求T=.5s時(shí)的頃攵化狀態(tài)萬(wàn)R,_JST11+0.5e匹5k0.5、04kT,01十kj10，1_2kT飛eTTe如、0-50.5e*E_kTe)=1TTe)0cc-05k0.5eGkT=TBkT=Tx(k1)T=FxkTGukT)(k+1)T1+0.5e&5k0.5xJkT)：0.50.5必(kT)5(k+1)T廠A=0,1;3,4;B=0;1Ak,Bk=sc2d(A,B)執(zhí)行結(jié)果為Ak二_1/2/exp(T)/3+3/2exp(T),1/2/exp(T)_1/2/exp(T),%AkT=subs(Ak,T,1),BkT=subs(Bk,T,1)AkT=0.52690.1590-0.4771-0.1093BkT=0.15770.1590J(k)0.52690.15900.1577.1590x(k1)=x(k)|-0.4771-0.1093該結(jié)果也可直松利用c2d函數(shù)兼得，即執(zhí)行Matlab命令A(yù)=0,1;_3,_4;B=0;1;C=0,0;