2011考研數(shù)三真題及解析

1、2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題.紙.指定位置上.)(1)已知當(dāng)x0時(shí)，f(x)3sinxsin3x與cxk是等價(jià)無(wú)窮小，則()(A)PP2.(B)P1P2.(C)P2P1.(D)P2R(A)k1，c4.(B)k1，c4.(C)k3，c4.(D)k3，c4.x2fx2fx3(2)(A)(C)(3)已知函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且f(0)0，則limz=()x0x32f0.(B)f0.f0.(D)0.設(shè)Un是數(shù)列，則下列命題正確的是()(A)若Un收斂,則(u2

2、n1u2n)收斂.(B)若(u2n1u2n)收斂，則un收斂.(C)若un收斂，則(u2n1u2n)收斂.(D)若(u2n1u2n)收斂，則un收斂.(4)是()(A)(C)設(shè)I04lnsinxdx，Jo4Incotxdx，Ko4Incosxdx，則I，J，K的大小關(guān)系IJK.(B)IKJ.JIK.(D)KJI.(5)設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B，再交換B的第2行與第100100位矩陣，記P110，P2001，則A()0010103行得單(6)設(shè)A為43矩陣，1，2,3是非齊次線性方程組Ax的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，k,，k2為概率密度的是()任息常數(shù)，則Ax的通解為()(A)23

3、2ki(2i).(B)2ki(2i).(C)232ki(2i)k2(3i).(D)2ki(2i)k2(3i).設(shè)Fi(x),F2(x)為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度f(wàn)(x),f2(x)是連續(xù)函數(shù)，則必為(A)fi(x)f2(x).(B)2f2(x)Fi(x).(C)fi(x)F2(x).(D)fi(x)F2(x)f2(x)Fi(x).(8)設(shè)總體X服從參數(shù)為(0)的泊松分布，Xi,X2，Xn(n2)為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量TiinXi,niiT2iniXiniii以()n(A)E(Ti)E(T2),D(Ti)D(T2).(B)E(l)E。)，D(Ti)D(T2)(C)E(T

4、i)E(T2),D(Ti)D(T2).(D)E0)E(T2),D(Ti)D(T2)二、填空題(9i4小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙.指定位置上.)x(9) 設(shè)fxlimxi3tt，則fx.x一，xy.(10) 設(shè)函數(shù)zix，則dzi,i(11) 曲線tanxy-ey在點(diǎn)0,0處的切線方程為.(12) 曲線yJx2i,直線x2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為.(13) 設(shè)二次型fxi,x2,x3xTAx的秩為i,A的各行元素之和為3,則f在正交變換xQy下的標(biāo)準(zhǔn)形為.(14) 設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y服從正態(tài)分布N,;2,2;0,則EXY2=.三、解答題（1523

5、小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）（15）（本題滿分10分）12sinxx1求極限lim.x0xln1x（16）（本題滿分10分）已知函數(shù)fu,v具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，f1,12是fu,v的極值，zfxy,fx,y,求一11.xy,(17) (本題滿分10分)卜arcsin,xInx,dx.x(18) (本題滿分10分)證明4arctanxx丙0恰有2實(shí)根.3(19) (本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,1有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)1,且f(xy)dxdyf(t)dxdy,Dt(x,y)0ytx,0xt(0t1),求f(x)的表達(dá)式.(20)

6、(本題滿分11分)設(shè)向量組1(1,0,1)T,2(0,1,1)T,3(1,3,5)T,不能由向量組1(1,1,1)T,2(1,2,3)T,3(3,4,a)T線性表示.(I) 求a的值；(II) 將1,2,3由1,2,3線性表示.(21) (本題滿分11分)求A的特征值與特征向量;（II）求矩陣A.1111A為三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A的秩為2,即rA2,且A00001111(22) (本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率分布分別為X01P1/32/3Y101P1/31/31/3且PX2Y21.(I)求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；(II) 求ZXY的概率分布；(III) 求X與Y的相關(guān)系數(shù)XY.

7、(23) (本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G是由xy0,xy2與y0所圍成的區(qū)域.求邊緣概率密度f(wàn)X(x)；(II)求條件密度函數(shù)fX|Y(x|y).2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題答案一、選擇題(18小題，每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.)【答案】(C).3sinxsin3x【解析】因?yàn)閘imx0【答案】(C).3sinxsin3x【解析】因?yàn)閘imx0kcx3sinxsinxcos2xcosxsin2xlimx0kcxsinx3cos2xlimx0cxk2c

8、os2xccc23cos2x2cosxlimx0kcx2232cosx12cosxlimx0k1cxlim-x024cosxiTcx24sinxlim0k1cx所以c4,k3,故答案選(C).【答案】(B).【解析】x03xx2fx2xf0limx0xfxf0lim2x0xf02f0f0(B).2f3x2fx2fx3故答案選【答案】(A).【解析】方法1:數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì):方法2:排除法，舉反例.fx3f0x32f0收斂級(jí)數(shù)任意添加括號(hào)后仍收斂,故(A)正確.選項(xiàng)(B)取un(1)n，這時(shí)n(U2n1U2n)10收斂，但un(1)n發(fā)散，故選項(xiàng)(B)n1錯(cuò)誤;選項(xiàng)(C)取un5,這時(shí)n1Unn收

9、斂，但1nn1(u2n1u2n)發(fā)散，故選項(xiàng)(C)錯(cuò)誤；選項(xiàng)(D)取un1,這時(shí)(u2n1U2n)0收斂,但un1發(fā)散，故選項(xiàng)(D)錯(cuò)誤.故n1n1n1n1正確答案為(A).(4)【答案】(B).【解析】因?yàn)?x4時(shí)，0sinxcosx1cotx,又因lnx是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以lnsinxlncosxIncotx.故正確答案為(B).(5)【答案】(D).【解析】由于將A的第2列加到第1列得矩陣B,故即ARB,ABR100A110B001由于交換B的第2行和第3行得單位矩陣,故100001BE010即F2BE,故BP21P2.因此，AP2R1,故選(D).(6)【答案】(C).【解析】由于1

10、,2,3是Ax的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，所以31,21是Ax0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，即Ax0的基礎(chǔ)解系中至少有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，所以可排除(A)、(B)選項(xiàng).又因?yàn)锳2230,所以之23是Ax0的解，不是Ax的解，故排除(D)選項(xiàng)，因此選(C).事實(shí)上，由于1,2,3是Ax的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，所以21,31是Ax0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，即Ax0的基礎(chǔ)解系中至少有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，亦即3r(A)2,故r(A)1.由于AO,所以r(A)1,故r(A)1.這樣，Ax0的基礎(chǔ)解系中正好有2個(gè)線性2011無(wú)關(guān)的解，由此知21,31是Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.因?yàn)?,2,3是Ax的解，所以A2,A3，因此A一3，所以一

11、是22Ax的一個(gè)特解.由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，可知Ax的通解為k1(2k1(2k1(21)k2(31)【答案】(D).【解析】選項(xiàng)(D)f1(x)F2(x)f1(x)F2(x)f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)dxF2(x)dF1(x)F1(x)dF2(x)F1(x)F2(x)R(x)F2(x)|1.所以f1F2(x)f2F1(x)為概率密度.(8)【答案】(D).【解析】因?yàn)閄1,X2，二Xn-P(所以E(Xi),D(Xi)所以E(Xi),D(Xi)所以E(Xi),D(Xi)，從而有ET1E(1Xi)1E(Xi)ni1nET2XnnnE(1Xi)11-E(Xn)n1EXn因?yàn)?1-

12、1打，所以ET1ET2又因?yàn)镈T11nD(-ni1Xi)4n1D(X)-DnDT21Xi11Xn)n(n1)2貝1D(Xn)n1D(X)D(X)n由于當(dāng)n二、填空題14,所以n(914小題,每小題112時(shí)，1nn1DT1DT2.4分，共24分,請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.)【答案】3xe【解析】因?yàn)?txltim03xxe所以，fx3xe(10)【答案】【解析】(13x.2ln2dxdyxxxx_ln(1-y-)yt11岫x1dzdx(11ln(1ydzdy(1xx、3x2ln(1)yyx2y1占y所以，dzdx從而dz(1,1)1,12ln21,dzdx(1,1)2lndx(11)【答案】

13、2x.【解析】方程tan2ln2,2ln2dy或dz1,12ln2dxdyey的兩端對(duì)x求導(dǎo)，有2secx將x0,y0代入上式，有2cos41yy,解得y0,02,故切線方程為：y2x.y2dxdx4(12)【答案】-3【解析】如圖2所示:2(13)【答案】c23y【解析】因?yàn)锳的各行元素之和為13,所以A1,故3為矩陣A的特征值.由r(A)1知矩陣A有兩個(gè)特征值為零，從而13,30.12sinxx1limnx0x2,所以二次型在由于二次型在正交變換下標(biāo)準(zhǔn)形前面的系數(shù)即為二次型所對(duì)應(yīng)矩陣的特征值正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為3y2.(14)【答案】【解析】根據(jù)題意，二維隨機(jī)變量X,Y服從N,;2,2;0

14、.因?yàn)閤y0,所以由維正態(tài)分布的性質(zhì)知隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立，所以X,Y2.從而有_2_2_222EXYEXEYDYEY三、解答題(1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答埋紙.指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)lim12cosx2、,12sinx(15)(本題滿分10分)20ii.cosx、:i2sinxlimx02xi2sinx.cosx：i2sinxlimx02xcosxsinxlim2sinxx02cosxlimx2、i2sinxi.2(16) (本題滿分10分)【解析】fi(xy),f(x,y)f2(xy),f(x,y)f(x,y)x2fiixy,fxy1xyfi2xy

15、,fxyf2(x,y)f2ixy,fxyf22xy,fxyf2(x,y)fi(x,y)f2xy,fxy確x,y由于fi,i2為fu,v的極值，故fii,if2i,i0,所以，-fii2,2f22,2fi2i,i.xy(本題滿分i0分)【解析】令tJx,則x2一t,dx2tdt,所以arcsin、xlnx,dx、-x，,，22tdt2arcsintlntdtt2tarcsint2dt2tlnt22tdtit2t2d(it2)22tarcsint.2tlnt4t.it22tarcsint2.1t22tlnt24tC,xarcsin、_x2.xInx21x4、_xC.(18)(本題滿分10分)【解析

16、】設(shè)f(x)4arctanxx.3,3、4(.3x)(.3x)1x2f(x)FT1令f(x)0,解得駐點(diǎn)為后,x243.所以，當(dāng)xJ3時(shí)，f(x)0,故f(x)單調(diào)遞減；當(dāng).3x后時(shí),f(x)0,故f(x)單調(diào)遞增;f(x)單調(diào)遞增;f(x)單調(diào)遞增;xJ3時(shí)，f(x)0,故f(x)單調(diào)遞減.又當(dāng)x(.,3)U(J3,響時(shí)f(x)0,且f(焰)(,J3)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn);又f(、-3)又f(、-3)又f(、-3)832、一30,limlim4arctanxx、30,由零點(diǎn)定理可知，存在x0.3,x00；所以,方程4arctanxx。恰有兩實(shí)根.(19)(本題滿分10分)【解析】Dt,12,f(t

17、)dxdytf(t),2(xy)dxdy(xy)dxdy(xy)dxdyttdx00xf(xy)dyDtt0(f(t)f(x)dxttf(t)0f(x)dxt由題設(shè)有tf(t)0f(x)dxt由題設(shè)有tf(t)0f(x)dxt由題設(shè)有tf(t)0f(x)dx；t2f(t),上式兩端求導(dǎo)，整理得(2t)f(t)2f(t),為變量可分離微分方程，解得f)C2(t2)帶入f(0)1,得C4.所以，f(x)(x2,02)2x1.(20)(本題滿分11分)1,2,3不能由1,2,3線性表不【解析】由于1,2,3不能由1,2,3線性表刀、,對(duì)(1,2,3,1,|2,3)進(jìn)行初等行變換:113101(1,2

18、,3,1,2,3)1240i1313a115113110111310101111120111112.02a3011400a5210當(dāng)a5時(shí)，r(1,2,3)2r(1,2,3,1)3,此時(shí),1不能由1,2,3線性表示,故(II)對(duì)(1,2,3,1,2,3)進(jìn)行初等行變換:101113(1,2,3,1,2,3)0131241151351011,13101113,0131i2401312401402200110210021150104210,001102故121423,2122,35110223.(21)(本題滿分11分)【解析】1由于A02，即11,1,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為由于A2,故A0,所以3由于A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣量為3X1,X2,X3T，則10，設(shè)1,A21k10.1,0,1,0,1丁，則0,k22k20,故不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交T1T20,町X1X30,-即C0,X1X30.0,，設(shè)A的特征值為0對(duì)應(yīng)的特征向X1X3解此方程組，得30,1,0T,故30對(duì)應(yīng)的特征向量為k33k3（II）由于不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，只需單位化:-二1,0,1,0,11,2,3,則QTAQqt技20技22技20T0,1,0圣