現(xiàn)代控制理論-穩(wěn)定性

1、現(xiàn)代控制理論 Modern Control Theory第三章第三章 控制系統(tǒng)的李亞普諾夫控制系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性穩(wěn)定性3.23.2 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性3.33.3 李亞普諾夫穩(wěn)定性定理李亞普諾夫穩(wěn)定性定理3.4 3.4 線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析3.1 3.1 李亞普諾夫第二法的概述李亞普諾夫第二法的概述一、物理基礎一、物理基礎 一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作，必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，即當系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡狀態(tài)被破壞，但在外擾去掉以后，它仍有能力自動地在平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性能，通常叫做穩(wěn)定性穩(wěn)定性，它

2、是系統(tǒng)的一個動態(tài)屬性。舉例說明： 1.1.電壓自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)電壓自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)-保持電機電壓恒定 2.2.電機自動調(diào)速系統(tǒng)電機自動調(diào)速系統(tǒng)-保持電機轉(zhuǎn)速一定 3.3.火箭飛行系統(tǒng)火箭飛行系統(tǒng)-保持航向為一定 具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。 不具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性概念穩(wěn)定性概念 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性-系統(tǒng)在受到外界干擾后，系系統(tǒng)在受到外界干擾后，系統(tǒng)偏差量（被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值）過統(tǒng)偏差量（被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值）過渡過程的收斂性，渡過程的收斂性， 用數(shù)學方法表示用數(shù)學方法表示就是：就是： limtx t現(xiàn)代控制理論的優(yōu)點現(xiàn)代控制理論的優(yōu)點線性定常系統(tǒng)線

3、性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷 1. 1.勞斯勞斯- -赫爾維茨判劇赫爾維茨判劇 2.2.奈奎斯特穩(wěn)定判劇奈奎斯特穩(wěn)定判劇現(xiàn)代控制系統(tǒng)現(xiàn)代控制系統(tǒng)結構復雜，非線性或時變, 上述穩(wěn)定判劇難以勝任上述穩(wěn)定判劇難以勝任; ; 通用的方法是李亞普諾夫第二法通用的方法是李亞普諾夫第二法. .李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù) 1982年，李亞普諾夫歸納出兩種方法 李亞普諾夫第一法李亞普諾夫第一法: : 解系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果特征方程的根全部具有負實部，則系統(tǒng)在工作點附近是穩(wěn)定的. 李亞普諾夫第二法（也稱直接法）李亞普諾夫第二法（也稱直接法）: : 不必求解系統(tǒng)的

4、微分方程式，就可以對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析判斷，而且給出的穩(wěn)定信息不是近似的。它提供了判別所有系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。 李亞普諾夫第二法建立的物理事實： 如果一個系統(tǒng)的某個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即如果一個系統(tǒng)的某個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即: : 那么隨著系統(tǒng)的運動，其貯存的能量將隨著時間那么隨著系統(tǒng)的運動，其貯存的能量將隨著時間的增長而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極的增長而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值。小值。Xtlimex 對系統(tǒng)而言，并沒有這樣的直觀性，因此，李亞普諾夫引入了“廣義能量函數(shù)廣義能量函數(shù)”，稱之，稱之為李亞普諾夫函數(shù)，為李亞普諾夫函數(shù)，表示為 ,它是狀態(tài) 和時間t的函數(shù)。

5、 如果動態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則僅當存在依賴于如果動態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則僅當存在依賴于狀態(tài)變量的李亞普諾夫函數(shù)狀態(tài)變量的李亞普諾夫函數(shù) 對任意對任意 （平衡點）時，（平衡點）時， 成立，且對成立，且對 時，才有時，才有 。()V X,tX,t12,n 12( )(,)n VVX Xe eX XX X ( ) 0( ) 0、VVX XX Xe eX XX X ( )( )0VVX XX X 李亞普諾夫第二法可歸結為李亞普諾夫第二法可歸結為: : 1.在不直接求解的前提下，2.3.就可給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息。就可給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息。應用李亞普諾夫穩(wěn)定理論的關鍵: 能否找到一個合適的李亞普諾

6、夫函數(shù)! -尚未有一個簡便的、一般性的方法！)( t tX X, ,V)(t tX X, ,V* 由于系統(tǒng)的結構日益復雜系統(tǒng)的結構日益復雜，對李亞普諾夫穩(wěn)定理論的研究和應用受到人們的重視；* 特別是在從典型的數(shù)學函數(shù)典型的數(shù)學函數(shù)及非線性特性非線性特性出發(fā) 尋求李亞普諾夫函數(shù)方面頒有進展。* 李亞普諾夫函數(shù) 是對前述的不具有直觀性的物理事實的表現(xiàn)，這個“廣義能量廣義能量”概念與能量概念又不完全相同。 李亞普諾夫函數(shù)的選取不是唯一的！李亞普諾夫函數(shù)的選取不是唯一的！ 很多情況下李亞普諾夫函數(shù)可取為二次型很多情況下李亞普諾夫函數(shù)可取為二次型 二次型及其定號性，是該理論的數(shù)學基礎。()VX X, ,

7、 t t二、數(shù)學基礎二、數(shù)學基礎 (二次型及其定號性二次型及其定號性) 1 1二次型二次型 n個變量個變量 的二次齊次多項式的二次齊次多項式: : 稱為二次型。稱為二次型。 式中， 是二次型的系數(shù)。 設 ，既對稱且均為實數(shù)。 n,21222112222222121112112211121),(nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaV), 2 , 1,(nkiaikkiikaa用矩陣表示二次型較為方便，即 必須指出，二次型是一個標量二次型是一個標量，最基本的特性就是它的定號性，定號性，也就是V(X X)在坐標原點附近的特性。1112112122221212( ),nnnnnnnnaaaaaa

8、Vaaa X XX PXX PXT定號性定號性 (1)(1)正定性正定性 當且僅當 X X=0 時，才有V(X X)=0； 對任意非零X X，恒有V(X X)0，則V(X X)為正定。 (2)(2)負定性負定性 當且僅當X X0時才有V(X X)0； 對任意非零X X，恒有V(X X)0，則V(X X)為負定。 (3)(3)正半定性與負半定性正半定性與負半定性 如果對任意X X0，恒有V(X X)0，則V(X X)為正半定。 如果對任意X X0，恒有V(X X)0，則V(X X)為負半定。 (4)(4)不定性不定性 如果無論取多么小的零點的某個鄰域,V(X X)可為正值也可 為負值則V(X X

9、)為不定。賽爾維斯特準則賽爾維斯特準則二次型 或?qū)ΨQ矩陣P P為正定的充要條件正定的充要條件是P P的主子行列式均為正的主子行列式均為正，即 如果 則P P為正定，即V(X X)正定。二次型 或?qū)ΨQ陣P P為負定的充要條件負定的充要條件是： P P的主子行列式滿足的主子行列式滿足 ( ( 為奇數(shù)為奇數(shù)) )； ( ( 為為偶數(shù)偶數(shù)) =1,2,) =1,2, 。 返回P PX XX XX XT)( Vnnnnnnaaaaaaaaa212222111211P P, 0, 0, 0222112112111P PnaaaaaP PX XX XX XT)( V0i ii0i i3.23.2李亞普諾夫意

10、義下的穩(wěn)定性李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性 研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，實質(zhì)上是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)的情況。一般說來，系統(tǒng)可描述為 式中 X X為 n 維狀態(tài)向量。當在任意時間都能滿足 (3.1) 時，稱 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)。凡滿足式(3.1)的一切X X值均是系統(tǒng)的平衡點，對于線性定常系統(tǒng) ，A A為非奇異時,X X=0是其唯一的平衡狀態(tài)，如果A A是奇異的則式(3.1)有無窮多解，系統(tǒng)有無窮多個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，有一個或多個平衡狀態(tài)。),(tfX XX X0),(tfe eX XeX XX XX XAtf),(X X 由式(3.1)可知，在系統(tǒng)的平衡點，狀態(tài)變量的變化率為0，由古典控制理論知

11、道，該點即為奇點，因此，系統(tǒng)微分方程式的奇點代表的就是系統(tǒng)在運動過程中的平衡點。 任何彼此孤立的平衡點，均可以通過坐標的變換，將其移到坐標原點移到坐標原點，這就是經(jīng)常以坐標原點作為平衡狀態(tài)來研究的原因，因此常用的連續(xù)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)表達式為 對同一問題用不同理論去研究會得到不同含義的結果與解釋。如非線性系統(tǒng)中的自由振蕩，古典的穩(wěn)定性理論認為是不穩(wěn)定的，而李亞普諾夫穩(wěn)定性理論則認為是穩(wěn)定的。0),(tf 0 因此，明確李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定定義是重要的。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 設 且系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 。有擾 動使系統(tǒng)在 時的狀態(tài)為 ，產(chǎn)生初始偏差 ，則 后系統(tǒng)的運動狀態(tài)從 開始隨時間發(fā)生變化。 由數(shù)學

12、中數(shù)的概念知道， 表示初始偏差都在以 為半徑，以平衡狀態(tài) 為中心的閉球域S( )里，其中 稱為范數(shù)稱為范數(shù)， 分別為 與 的分量。)(),(ttfu uX XX X 0)( tu u0)(,tfeeX XX X0tt eX XeX X- -X X00tt 0X XeX XX X0eX X2120222021100)()()(neneeeX XX XX XX XX XX XX XX X), 2 , 1(0niiei、0X XeX X同樣 表示平衡狀態(tài)偏差都在以 為半徑，以平衡狀態(tài) 為中心的閉球域: S( )里。式中范數(shù) 為X的分量。)(0tteX XX XeX X212222211)()()(n

13、eneeeX XX X)., 2 , 1(nii 下面用二維空間圖3.1來說明李亞普諾夫定義下的穩(wěn)定性。 1穩(wěn)定與一致穩(wěn)定 設 為動力學系統(tǒng) 的一個孤立平衡狀態(tài)。如果對球域S( ) 或任意正實數(shù) 0，都可找到另一個正實數(shù) 或球域 S( )，當初始狀態(tài) 滿足 時，對由此出發(fā)的X X 的運動軌跡有 ，則此系統(tǒng)為李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。如果如果 與初始時刻與初始時刻 無關，無關，則稱平衡狀態(tài)則稱平衡狀態(tài) 為一致穩(wěn)定。為一致穩(wěn)定。 eX X),(tf X XX X),(0t0X X),(00teX XX XetX XX Xlim0teX X2漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定 設 為動力學系

14、統(tǒng) 的一個孤立平衡狀態(tài)，如果如果 是穩(wěn)定的，且從充分靠近是穩(wěn)定的，且從充分靠近 的任一初始的任一初始狀態(tài)狀態(tài) 出發(fā)的運動軌跡出發(fā)的運動軌跡 有 或 即收斂于平衡狀態(tài)收斂于平衡狀態(tài) ，則稱稱平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定為漸近穩(wěn)定。如果 與初始時刻 無關，則稱平衡狀態(tài) 為一致漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定性等價于工程意義上的穩(wěn)定性。),(tf X XX X0limetX XX X), 2 , 1( 0)(limniieit0teX XeX XeX XeX XeX X0X XeX X如果對狀態(tài)空間中的任意點，不管初始偏差有多大，都有漸近穩(wěn)定特性。即 對所有點都成立，稱平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。可見

15、，這樣的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。由于線性定常系統(tǒng)有唯一解，所以如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則它一定也是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。), 2 , 1(0)(limniieiteX X 在控制工程中確定大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的范圍是很重要的，因為漸近穩(wěn)定性是個局部概念，知道漸近穩(wěn)定的范圍，才能明確這一系統(tǒng)的抗干擾程度、從而可設法抑制干擾，使它滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求。古典控制理論的穩(wěn)定性概念，只牽涉到小的擾動，沒有涉及大范圍擾動的問題，因此它是有局限性的。3不穩(wěn)定 如果平衡狀態(tài)如果平衡狀態(tài) 既不是漸近穩(wěn)定的，既不是漸近穩(wěn)定的，也不是穩(wěn)定的，當也不是穩(wěn)定的，當 并無限增大時，并無限增大時，從從 出發(fā)的運動軌跡最終超

16、越出發(fā)的運動軌跡最終超越 域，則稱平衡狀態(tài)域，則稱平衡狀態(tài) 為不穩(wěn)定的。為不穩(wěn)定的。 返回eX X0tt SeX X0X X3.3 李亞普諾夫穩(wěn)定性定理李亞普諾夫穩(wěn)定性定理定理定理3.13.1 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，式中， 如果有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù) 存在，并且滿足以下條件： 是正定的是正定的； 是負定的是負定的。則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的。如果隨著 有 ， 則在原點處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。),(tf X XX X)(0), 0(0tttf)(t tX X, ,V()V X X, ,t t()V X X, ,t t,X X)( t tX X, ,V例例3.13

17、.1 設系統(tǒng)方程為 試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx解解: : 很明顯，原點 是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，選取一個正定的標量函數(shù) 為則將系統(tǒng)方程代人上式得 （V(X X)為正定）又由于 時， ，因此系統(tǒng)在平衡點(0，0)是大范圍漸近穩(wěn)定的。) 0, 0(21)(X XV2212( )V X X221122)(X XV22221)(2)(X XVX X)(X XV定理定理3.23.2 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中， 。如果存在一標量函數(shù) ，它有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足以下條件： 是正定正定的； 是負負半半定定的； 對任意 和任意 在 時不恒等于零。

18、則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果還有 時， ，則為大范圍漸近穩(wěn)定。式中 表示 時從 出發(fā)的解軌跡。),( tf X XX X)( 0), 0 (0tttf)( t tX X, ,V()V X X, ,t t()V X X, ,t t),(00tttX X V0t0, 0tt X X)(t tX,X,V),(00ttX X 0tt 0 由于 不是負定的，而只是負半定的，則典型點的軌跡可能與某個特定的曲面 相切。 然而,由于 對于任意 和任意 在 時不恒等于零，所以典型點就不可能保持在切點處(在切點上 ），而必須運動到原點.)( t tX X, ,V)( t tX X, ,V00 ( , )

19、, tttV X X0t00X X0tt0)(t tX X, ,V例例3.23.2 設系統(tǒng)方程為確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解解: : 顯然，原點(0，0)為給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。選取標準型二次函數(shù)為李氏函數(shù)，即 （V(X X)為正定）當 時，因此 是負半定的。212212222112221222),(),(ttX XX XVV0021、0)(t tX X, ,V0),(0021tX XV時，、)(t tX,X,V 下面我們進一步分析 的定號性，即當 時， 是否恒等于零。由于 恒等于零，必需要求 在 時恒等于零，而 恒等于零又必需要求 恒等于零。但從狀態(tài)方程 來看，在 時，要使 和 ，必需滿

20、足 等于零的條件。這表明 只可能在原點 處恒等于零，因此系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。又由于 時,有 ，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。)(t tX X, ,V0021、)(t tX X, ,V222)(t tX X, ,V0t t212)(X XVX X)(t tX X, ,V) 0, 0(2102202122x2x22x0tt 若在例中選取如下正定函數(shù)為李氏函數(shù)，即 則 是負定的。 而且當 時，有 所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。由以上分析看出，選取不同的李氏函數(shù)選取不同的李氏函數(shù)， 可能使問題分析得出不同的結果。上面第二種情況下的選擇，消除了進一步對 判

21、別的必要性。)()(2221t tX X, ,VX X,)(t tX X, ,V)(t tX,X,V定理定理3.33.3 設系統(tǒng)方程為式中， 。如果存在一標量函數(shù) ，它具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足以下條件： 是正定正定的； 是負半定負半定的，但在某一X X值恒為零。 則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫定義下是穩(wěn)定的。但非漸近穩(wěn)定。這時系統(tǒng)可以保持在一個穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。),(tf X XX X)( 0), 0(0tttf)(t tX X, ,V)(t tX X, ,V)( t tX X, ,V例例3.33.3 系統(tǒng)方程為 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解解 顯然，原點為平衡狀態(tài)。選取正定

22、函數(shù)為李氏函數(shù)，即 則 由上式可見， 在任意 X X值上均可保持為零，則系統(tǒng)在李亞普諾夫定義下是穩(wěn)定的但不是漸近穩(wěn)定的。1211K) 0()()(2221KKt tX X, ,V02222)(21212211KKKt tX X, ,V)(t tX,X,V定理定理3.43.4 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中， 。如果存在一標量函數(shù) ，它具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足以下條件： 在原點的某一領域內(nèi)是正定正定的； 在同樣的領域內(nèi)是正定正定的；則在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的。),(tf X XX X0(0, )0 ()fttt)( t tX X, ,V)( t tX X, ,V)(t tX X, ,V例例

23、3.43.4 設時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 顯然坐標原點 為其平衡狀態(tài)。試判斷系統(tǒng)在坐標原點處平衡狀態(tài)的穩(wěn)定穩(wěn)定性。性。teettt22122211cossin) 0, 0(21解解 可以找一個函數(shù) 為顯然， 為一標量函數(shù)，在 平面上的第一、三象限內(nèi)，有 是正定的。在此區(qū)域內(nèi)取 的全導數(shù)得所以當 時， 因此根據(jù)定理4可知，系統(tǒng)在坐標原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 返回)(X XV12( )2te V X X)(X XV210)(X XV)( 22)( 22)(2)(2221212221211211ttteeeX XV0)(X XV0)(X XV3.4 3.4 線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)線性系統(tǒng)的李亞普諾夫

24、穩(wěn)定性分析定性分析 由李亞普諾夫穩(wěn)定理論可知，在尋求 函數(shù)時，要使 和 具有定號性，兩者的符號相反，表示穩(wěn)定兩者的符號相反，表示穩(wěn)定；兩者的符號相同，表示不穩(wěn)定兩者的符號相同，表示不穩(wěn)定；或者希望 或 中至少有一個是定號的，才能對穩(wěn)定性進行判斷。 因此在構造 函數(shù)時，或者先試構造出 是正定的，然后考察 的符號；或者先給出 是負定的，然后確定 是否為正定；或者使 為正定，從系統(tǒng)穩(wěn)定性要求出發(fā)，推導出對于系統(tǒng)的限制。由上一節(jié)例題可見，對于某些簡單系統(tǒng)，特別是線性系統(tǒng)或近似線性系統(tǒng)，通?？扇?為X X 的二次型。VVVVVVVVVVVV一、一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 設線性

25、定常系統(tǒng)為 (3.2)式中， 為 維狀態(tài)向量， 是 X 常系數(shù)矩陣，假設 是非奇異矩陣。因為判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，主要取決自由響應，所以令控制作用 =0 ，由系統(tǒng)狀態(tài)方程知，系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是原點 。 對于式(3.2)確定的系統(tǒng)，選取如下形式的正定無限大 函數(shù)，即式中，P P是一個正定的赫米特矩陣(即復空間內(nèi)的二次型，如果X X是一個實向量則可取正定的實對稱矩陣)。 沿軌跡的導數(shù)為A AX XX XX XnA AnnA Au0X XVP PX XX XX XT)(V)(X XVPA)XPA)XP P(A(AX XPAXPAXX XPXPXA AX XPAXPAXX XPXPXAX)AX)X XP

26、 PX XPXPXX XX XTTTTTTTTT()(V對于系統(tǒng)在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定性來說，要求 是負定的，因此必須有為負定。式中 (3.3) 由上式可知，在已知P P是正定的條件下，找到滿足式(3.3)的一個赫米特矩陣(或?qū)崒ΨQ短陣)Q是正定的，則由式(3.2)描述的系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)，必是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。這樣得到如下定理。)(X XVQ QX XX XT)(X XV)(P PA AP PA AQ QT定理定理3.53.5 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為式中， 是 維狀態(tài)向量， 是 常系數(shù)矩陣，且是非奇異的。若給定一個正定的赫米特矩陣(包括實對稱矩陣) Q Q ，存在一個正定的赫米特矩陣(或?qū)崒ΨQ矩

27、陣)P，使得滿足如下矩陣方程 則系統(tǒng)在X X0處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的，而標量函數(shù) 就是系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。對該定理需要說明如下幾點。A AX XX XX XnA AnnQ QP PA AP PA ATP PX XX XT 如果 沿任意一條軌跡不恒等于零，則Q Q可取做半正定矩陣。 該定理闡述的條件，是充分且必要充分且必要的。 因為正定對稱矩陣Q Q的形式可任意給定，且最終的判斷結果將和Q Q的不同形式選擇無關，所以通常取通常取Q QI(I(單位陣單位陣) )較為方便。這樣線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 平衡狀平衡狀態(tài)態(tài)X X0 0為漸近穩(wěn)定的充要條件為：存在一個正定對為漸近穩(wěn)定的充要條件為：存在

28、一個正定對稱矩陣稱矩陣P P，滿足矩陣方程，滿足矩陣方程 將上述定理同從 的特征值分布來分析系統(tǒng)穩(wěn)定性聯(lián)系起來看，它實際上就是 中矩陣 的特征值均具有負實部的充要條件。Q QX XX XX XT)(VA AX XX XT A A P PP PA AI IA AA AA AX XX X可以證明，要求特征值均具有小于某一數(shù)值的負實部，即 的充要條件(即考慮衰減程度)是：對任意給定的正定對稱矩陣Q Q ，存在正定對稱陣P P，它為矩陣方程 的解。)(ieRQ QP P- -PAPAP PA A2T證明證明 用上述定理考察系統(tǒng) ，若特征值均具有負實部(充要條件是對任意正定對稱矩陣Q Q，存在正定對稱矩

29、陣P P，滿足 )，對系統(tǒng)作平移變換,將 代替上式中的A A，則有即:A AX XX XQ QP PA AP PA ATI IA AQ QA AA A)()(I IP PP PI ITQ QP P- -P PA AP PA A2T例例3.53.5 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 顯然，坐標原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài),試確定系統(tǒng)在該平衡狀態(tài)下的漸近穩(wěn)定性條件，并求出系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。212221121121aaaa解解 設系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)為式中P P由下式?jīng)Q定取Q Q=I I，得展開得解上式得P PX XX XX XT)( VQ QP PA AP PA AT100122211211222112112221121122122111aaaappppppppaaaa1)( 20)(1)( 2222212122122121122111222121111apapapapaapapapA AA AA AA AA AA AA AA AA AA ArrrrTaaTaaaaTaaaaTaapppp2222212211112122121121221222222122211211P P式中， 叫作系統(tǒng)