高數(shù)求導法則

1、基本導數(shù)公式基本導數(shù)公式)()1 C,0 )()2 x,1 x)()3 xa,lnaax )()4 xe,xe )(sin)5 x,cosx )(cos)6 x,sinx )(ln)7 x.1x .第二節(jié)第二節(jié) 求導法則求導法則一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則二、反函數(shù)的導數(shù)二、反函數(shù)的導數(shù)三、復合函數(shù)的導數(shù)三、復合函數(shù)的導數(shù)一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則定理定理:,)(,)(, )(并并且且有有可可導導處處也也在在點點分分母母不不為為零零們們的的和和、差差、積積、商商則則它它處處可可導導在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)xxxvxu )()()1 xv

2、xu )()()2 xvxu. )0)()()()3 xvxvxu;)()(xvxu ;)()()()(xvxuxvxu )()()()()(2xvxvxuxvxu 1)，2) 可推廣到有限個函數(shù)運算形式可推廣到有限個函數(shù)運算形式; )()()1(11 niiniixfxf; )()()()()()()()()()2(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf )(,)()2xuCCxv有有時時中當中當).0)()(,)()3 xvxvCCxu有有時時中中當當 )(,)()()22xuxuxv有有時時中中當當;)(xuC ;)()(2xuxu )()(2xv

3、xvC 求導舉例求導舉例例例1 1 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)3lnsin32. 12 xxyxxycos. 2 xeyxsin. 3 xxy . 4xeyx . 5xxy 11. 6例例2 2.tan的的導導數(shù)數(shù)求求xy 解解.sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例3 3.sec的的導導數(shù)數(shù)求求xy 解解.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得(sec )sec tan .xxx即例例4 4. )(,010sin)(xfxexxxfx 求求設(shè)設(shè)解解二、反函數(shù)的導數(shù)二、反函數(shù)的導數(shù)定理定理且且有有內(nèi)內(nèi)也也可可導導區(qū)區(qū)間間在在對對應(yīng)應(yīng)那那末末它它

4、的的反反函函數(shù)數(shù)導導且且內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù),)(,0)()(xyIxfyyIyx 即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù). .)(1)(yxf 例例1 1.arcsin的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解)(arcsin x.112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例2 2.log的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xya )(log xa.ln1ax 解解特別地特別地.1)(lnxx )(log xa基本導數(shù)公式基本導數(shù)公式 P11322211)(arctan1

5、1)(arcsinln1)(logln)(tansec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxxxxxxxCaxx (常數(shù)和基本初等函數(shù)常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式的導數(shù)公式)222111)cotarc(11)(arccos1)(ln)(cotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexxxxxxxxxxx .求導法則求導法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導，則可導，則 （1）vuvu )(, （2）uccu )( c是常數(shù)是常數(shù)), （3）vuvuuv )(, （4）)0(2 vvvuvuvu. (1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函

6、數(shù)的和、差、積、商的求導法則(2) 反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則.)(1)(),()(yxfxfyyx 則有則有的反函數(shù)為的反函數(shù)為如果函數(shù)如果函數(shù)三、復合函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)的求導法則定理定理且且其其導導數(shù)數(shù)為為可可導導在在點點則則復復合合函函數(shù)數(shù)可可導導在在點點而而可可導導在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(,)()(,)(0000 xxfyxuufyxxu ).()(dd000 xufxyxx 且有且有內(nèi)可導內(nèi)可導在開區(qū)間在開區(qū)間則復合函數(shù)則復合函數(shù)對應(yīng)的對應(yīng)的時時且當且當可導可導內(nèi)內(nèi)在開區(qū)間在開區(qū)間而而內(nèi)可導內(nèi)可導在開區(qū)間在開區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(,)(11IxfyIuI

7、xIufyIxu 即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變量等于因變量對中間變量求導求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導. .xuuyxydddddd . )()(xuf 復合函數(shù)求導的鏈式法則（復合函數(shù)求導的鏈式法則（chain rule）. .推廣推廣 此法則可推廣到多個中間變量的情形此法則可推廣到多個中間變量的情形. .),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè)yuvx的的導導數(shù)數(shù)為為則則復復合合函函數(shù)數(shù))(xfy xydd)()()(xvuf uydd vuddxvdd關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu), , 由外向內(nèi)逐層求導由外向

8、內(nèi)逐層求導. .求導舉例求導舉例例例1 1 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù), )12sin(. 1 xy,)1lncos(. 22xy ,. 31sin2xey ,11. 4xxy ,ln1ln1. 5xxy , )1ln(. 62 xxy.)1ln(2的的導導數(shù)數(shù)類類似似可可求求 xxy.arcsin22. 7222axaxaxy 解解)0( a.)2(21ln. 832 xxxy解解.dd,)(, )(arcsin2xyufxfy求求可可導導設(shè)設(shè)例例 解解注意注意 ,)()(不不同同與與xfxf )()()(xxfxf .dd,)(, )(sin)(xyufxfefyx求求可導可導例例

9、解解.).(sinddlim, 3)0(,0)(20 xfxfxxfx 求求處處有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)練練習習解解.指數(shù)求導法指數(shù)求導法, )0)( ,)(, )( xuxvxu可導可導設(shè)設(shè))(ln)()()(xuxvxvexuy 則則)(ln)( xuxvey )(ln)()(ln)( xuxvexuxv )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuxv., )0(3sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例., )0(3sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例解解.,)1(12yxyx 求求設(shè)設(shè)例例解解四、小結(jié)四、小結(jié)反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則（注意成立條件）（注意成立條件）;復合函數(shù)的

10、求導法則復合函數(shù)的求導法則 （注意函數(shù)的復合過程，（注意函數(shù)的復合過程，合理分解正確使用鏈導法）合理分解正確使用鏈導法）;已能求導的函數(shù)已能求導的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或常或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.分段函數(shù)求分界點導數(shù)一定要用左右導數(shù)定義求分段函數(shù)求分界點導數(shù)一定要用左右導數(shù)定義求. .函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求導法則思考與練習：思考與練習：.,1111. 1yxxxxy 求求., )0(. 2yaaaaxyaxaaaaxa 求求. )(,)(, )()()(. 3afaxxxaxxf 求求連續(xù)連

11、續(xù)處處在在其中其中設(shè)設(shè) . )0(, )99()2)(1()(. 4fxxxxxf 求求設(shè)設(shè)5. 若若)(uf在在0u不可導，不可導，)(xgu 在在 0 x可導，可導， 且且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處（處（ ） (1) 必可導；必可導；(2) 必不可導；必不可導；(3) 不一定可導不一定可導. 練練 習習 題題 一一一一、填填空空題題： 1 1、 設(shè)設(shè)xxysin ，則則y = = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 設(shè)設(shè)xeayxx23 ，則則dxdy= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 設(shè)設(shè))13(2 xxeyx,

12、 ,則則0 xdxdy= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 設(shè)設(shè)1sectan2 xxy, ,則則y = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5、 設(shè)設(shè)553)(2xxxfy , ,則則)0(f = =_ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、 曲曲線線xysin2 在在0 x處處的的切切線線軸軸與與x正正向向 的的夾夾角角為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二、二、 計算下列各函數(shù)的導數(shù)：計算下列各函數(shù)的導數(shù)：1 1、 211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、 21csc2xxy ； 4 4、ttxf 11)(

13、, ,求求)4(f ； 5 5、)0, 0( baaxxbbaybax. .三、三、 求拋物線求拋物線cbxaxy 2上具有水平切線的點上具有水平切線的點. .四、四、 寫出曲線寫出曲線xxy1 與與x軸交點處的切線方程軸交點處的切線方程. .一、一、1 1、)cos2sin(xxxx ；2 2、22ln3xeaaxx ； 3 3、2 ； 4 4、)tansec2(secxxx ；5 5、253；6 6、4 . .二、二、1 1、 22)1(21xxx ； 2 2、2)110(10ln210 xx； 3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ； 4 4、181； 5 5、)(ln)

14、()()(xbabaaxxbbabax . .三、三、)44,2(2aacbab . .四、四、022 yx和和022 yx. .練習題答案練習題答案一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)4)52( xy, ,則則y = =_._.2 2、 設(shè)設(shè)xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè))arctan(2xy , ,則則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè)xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設(shè)設(shè))(xf可導，且可導，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._.7 7、 設(shè)設(shè)xkexftan)( , ,則

15、則)(xf = =_， 若若ef 4 ，則，則 k_._.練練 習習 題題 二二二、二、 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 設(shè)設(shè))(xf，)(xg可導，且可導，且0)()(22 xgxf, ,求函數(shù)求函數(shù))()(22xgxfy 的導數(shù)的導數(shù) . .四四、設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導導，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x處處可可導導，證證明明 )(xfF在在0 x處處也也可可導導 . .一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7