高數(shù)下重修 D9_2偏導(dǎo)數(shù)

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .一、一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例引例:研究弦在點(diǎn) x0 處的振動(dòng)速度與加速度 , 就是),(txu0 xOxu中的 x 固定于 x0 處,求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).),(txu),(0txu),(0txu關(guān)于 t 的將振幅目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .定義定義1.),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對(duì)在點(diǎn)),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf

2、)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .0),(dd0yyyxfy同樣可定義對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或

3、y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)定義為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對(duì) x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線

4、斜率.是曲線0 xyTyxzOxT0y對(duì) y 軸的0M),(00yx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例1 . 求223yyxxz解法解法1xz)2, 1 (xz解法解法2) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例2. 設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz222

5、22zyxx2rxrzzr,ry目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(x

6、zxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .22exy例例5. 求函數(shù)2exyz.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.2exy22exy2exy22exy22exy24exy的二階偏導(dǎo)數(shù)及 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxf

7、xfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例6. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .,),(

8、)()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則定理定理.例如例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說(shuō)明說(shuō)明:本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時(shí), 有而初等證明 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .,)(xuuf習(xí)題習(xí)題 設(shè), )(ufz 方程)(uu( )dxyp tt確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp連續(xù), 且, 1)( u求.)