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文檔簡介
1、函數(shù)的基本性質(基礎)【考綱要求】1. 會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;2. 理解函數(shù)的單調性、最大(小)值及其幾何意義;結合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義3. 會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質【知識網(wǎng)絡】函數(shù)的基本性質奇偶性單調性周期性【考點梳理】1單調性(1)一般地,設函數(shù)的定義域為如果對于定義域內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值,當時,若都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,若都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上單調遞減。(2)如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有嚴格的單調性,區(qū)間叫做的單調區(qū)間。(3)判斷證明函數(shù)單調性的一般方法:單調四法,導數(shù)定義復合圖像定義法 用定義法證
2、明函數(shù)的單調性的一般步驟是設,且;作差;變形(合并同類項、通分、分解因式、配方等)判斷的正負符號;根據(jù)定義下結論。復合函數(shù)分析法設,都是單調函數(shù),則在上也是單調函數(shù),其單調性由“同增異減”來確定,即“里外”函數(shù)增減性相同,復合函數(shù)為增函數(shù),“里外”函數(shù)的增減性相反,復合函數(shù)為減函數(shù)。如下表:增增增增減減減增減減減增導數(shù)證明法設在某個區(qū)間內有導數(shù),若在區(qū)間內,總有,則在區(qū)間上為增函數(shù)(減函數(shù));反之,若在區(qū)間內為增函數(shù)(減函數(shù)),則。圖像法 一般通過已知條件作出函數(shù)圖像的草圖,從而得到函數(shù)的單調性。2、奇偶性(1)定義:如果對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),則稱
3、f(x)為這一定義域內的奇函數(shù);如果對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為這一定義域內的偶函數(shù).理解:()上述定義要求一對實數(shù)x,-x必須同時都在f(x)的定義域內,注意到實數(shù)x,-x在x軸上的對應點關于原點對稱(或與原點重合),故知f(x)的定義域關于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要條件.()判斷函數(shù)奇偶性的步驟:考察函數(shù)定義域;考察f(-x)與f(x)的關系;根據(jù)定義作出判斷.()定義中條件的等價轉化f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)0)f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或
4、f(-x)=f(x) =1 (f(x)0) (2)奇(偶)函數(shù)圖像的特征()奇函數(shù)圖像關于原點對稱; ()偶函數(shù)圖像關于y軸對稱.【典型例題】類型一、求(判斷)函數(shù)的單調區(qū)間例1.證明函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。解:設, 函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。舉一反三:【變式】求下列函數(shù)的單調區(qū)間:(1)y=|x+1|; (2)(3).解:(1)畫出函數(shù)圖象,函數(shù)的減區(qū)間為,函數(shù)的增區(qū)間為(-1,+);(2)定義域為,其中u=2x-1為增函數(shù),在(-,0)與(0,+)為減函數(shù),則上為減函數(shù);(3)定義域為(-,0)(0,+),單調增區(qū)間為:(-,0),單調減區(qū)間為(0,+).類型二、單調性的應用(比較函數(shù)值的大小,求函
5、數(shù)值域,求函數(shù)的最大值或最小值)例2. 已知函數(shù)f(x)在(0,+)上是減函數(shù),比較f(a2-a+1)與的大小.解:又f(x)在(0,+)上是減函數(shù),則.例3. 已知二次函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x+5在區(qū)間上是增函數(shù),求:(1)實數(shù)a的取值范圍;(2)f(2)的取值范圍.解:(1)對稱軸是決定f(x)單調性的關鍵,聯(lián)系圖象可知只需;(2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又a2,-2a-4f(2)=-2a+11-4+11=7.舉一反三:【變式】已知函數(shù),若關于x的方程有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是_. 解:單調遞減且值域(0,1,單調遞增且值域為,由圖象知,若有兩個不
6、同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是(0,1).類型三、判斷函數(shù)的奇偶性例4. 判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1) (2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6) (7)解析:(1)f(x)的定義域為,不關于原點對稱,因此f(x)為非奇非偶函數(shù);(2)x-10,f(x)定義域不關于原點對稱,f(x)為非奇非偶函數(shù);(3)對任意xR,都有-xR,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數(shù) ;(4)xR,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),f(x)為奇函數(shù);(5),f(x)為奇函數(shù);
7、(6)xR,f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),f(x)為奇函數(shù);(7),f(x)為奇函數(shù).舉一反三:【變式】已知f(x),g(x)均為奇函數(shù),且定義域相同,求證:f(x)+g(x)為奇函數(shù),f(x)·g(x)為偶函數(shù).證明:設F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·-g(x)=f(x)·g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)
8、,f(x)·g(x)為偶函數(shù).類型四、函數(shù)奇偶性的應用(求值,求解析式,與單調性結合)例5. f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=x2-x,求當x0時,f(x)的解析式,并畫出函數(shù)圖象.解析:奇函數(shù)圖象關于原點對稱, x>0時,-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0,如圖舉一反三:【變式】定義在1,1上的函數(shù)yf(x)是減函數(shù),且是奇函數(shù),若f(a2a1)f(4a5)0,求實數(shù)的取值范圍.解析:【鞏固練習】1下列判斷正確的是( )A函數(shù)是奇函數(shù) B函數(shù)是偶函數(shù)C函數(shù)是非奇非偶函數(shù) D函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2若函數(shù)在上是單調函數(shù),則的取
9、值范圍是( ) A B C D3函數(shù)的值域為( )A B C D4已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是( )A B C D5下列四個命題:(1)函數(shù)的定義域,在時是增函數(shù),也是增函數(shù),則在定義域上是增函數(shù);(2)若函數(shù)與軸沒有交點,則且;(3) 的遞增區(qū)間為;(4) 和表示相同函數(shù)。其中正確命題的個數(shù)是( )A B C Ddd0t0 tOAdd0t0 tOBdd0t0 tOCdd0t0 tOD6某學生離家去學校,由于怕遲到,所以一開始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下圖中縱軸表示離學校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時間,則下圖中的四個圖形中較符合該學生走法的是( )7.函數(shù)的單調遞減區(qū)間
10、是_。8.已知定義在上的奇函數(shù),當時,那么時, .9.若函數(shù)在上是奇函數(shù),則的解析式為_.10.奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上的最大值為,最小值為,則_。11.若函數(shù)在上是減函數(shù),則的取值范圍為_。12.判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) (2)13.已知函數(shù)的定義域為,且對任意,都有,且當時,恒成立,證明:(1)函數(shù)是上的減函數(shù);(2)函數(shù)是奇函數(shù)。 14.已知函數(shù)的定義域是,且滿足,如果對于,都有,(1)求;(2)解不等式。15.當時,求函數(shù)的最小值?!緟⒖即鸢概c解析】1.C 選項A中的而有意義,非關于原點對稱,選項B中的而有意義,非關于原點對稱,選項D中的函數(shù)僅為偶函數(shù);2. C 對稱軸,則,或,得,或3. B ,是的減函數(shù),當 4.A 對稱軸 5.A (1)反例;(2)不一定,開口向下也可;(3)畫出圖象可知,遞增區(qū)間有和;(4)對應法則不同6.B 剛剛開始時,離學校最遠,取最大值,先跑步,圖象下降得快!7. 畫出圖象 8. 設,則,
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