復合函數(shù)求偏導數(shù)

1、 復合函數(shù)微分法復合函數(shù)微分法 全微分形式不變性全微分形式不變性鏈式法則鏈式法則證明：證明：),(),(yxuyxxuux 則則);,(),(yxvyxxvvx 保持不變保持不變，獲得增量獲得增量設設yxx ( , )zf u vz 于于是是相相應應地地也也獲獲得得增增量量，( )(0)xxxffzuvouv(1)其中其中.)()(22vuxx 式各項，得式各項，得除除用用)1(x (,)( , ).xxxzf uu vvf u v 可可微微知知由由),(vuf( )xxxzuvffoxuxvxx (2)而而xoxo )()(.)(22 xvxuoxx 由于由于( , ),( , )uu x

2、y vv x y ，)0(0, 0 xvuxx0lim0.x 的偏導數(shù)存在，故的偏導數(shù)存在，故對對 x0lim)(lim)(lim22000 xvxuoxoxxxxx 由由(2)(2)式得到式得到000limlimlimxxxxxxzuvffxxxxx xvvfxuufxz 同理可證另一公式。同理可證另一公式。uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 中間變量中間變量自變量自變量右端項數(shù)右端項數(shù)= =x到達到達z z的路徑的個數(shù)的路徑的個數(shù)每項偏導個數(shù)每項偏導個數(shù)= =該條路經(jīng)函數(shù)該條路經(jīng)函數(shù)+ + 中間變量個數(shù)中間變量個數(shù)zwvuyx結構

3、圖具有一般性，借助結構圖，運用上面的規(guī)結構圖具有一般性，借助結構圖，運用上面的規(guī)律，可以直接寫出偏導數(shù)公式。律，可以直接寫出偏導數(shù)公式。；的偏導數(shù)的偏導數(shù)函數(shù)函數(shù)都有偏導數(shù)，求復合都有偏導數(shù)，求復合有連續(xù)偏導數(shù)，有連續(xù)偏導數(shù)，設設yzxzyxyxvyxfzyxwyxvyxuwvufz ,),(),(),(),(),(),(),(. 1 zuvwxyxyxyx 到到 z 的路徑有三條：的路徑有三條：zuxzvxzwxxz yz xuuz xvvz xwwz yuuz yvvz ywwz x x到到w w的路徑有兩條：的路徑有兩條：wuxwvxwuvxyzxyz.,),(),(),(),(,),(

4、. 2zwywxwzyxzyxfwzyxvzyxuvufw 的偏導數(shù)的偏導數(shù)數(shù)數(shù)都有偏導數(shù)，求復合函都有偏導數(shù)，求復合函有連續(xù)偏導數(shù)有連續(xù)偏導數(shù)設設 yvvwyuuwyw zvvwzuuwzw xvvwxuuwxw zuvxxdxdvvzdxduuzdxdz 全導數(shù)全導數(shù)的的導導數(shù)數(shù)；對對變變量量，求求只只有有一一個個自自可可導導，則則復復合合函函數(shù)數(shù)有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，設設xzxvxufzxvvxuuvufz)(),()(),(),(. 3 一元復合函數(shù)的求導法則一元復合函數(shù)的求導法則，則，則若若)(),(xuuufz dxdududfdxdz )()(xuuf zxxvyxyvvfy

5、z xvvfxfxz xz 偏導數(shù)；偏導數(shù)；求求看作常量，而對看作常量，而對中的中的將將xyyxvxf),(,(xf 求求導導。間間變變量量中中看看作作常常量量，而而對對第第一一個個中中的的將將xvvxf),(.,),(,(,),(),(. 4yzxzyxvxfzyxvvvxfz 的的偏偏導導數(shù)數(shù)求求復復合合函函數(shù)數(shù)有有偏偏導導數(shù)數(shù)有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，設設解解: xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu ;,sin. 1yzxzyxvxyuvezu 和和，求，

6、求，而，而設設例例解解:tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet ;cos,sin. 2dtdztveutuvzt全導數(shù)全導數(shù)，求，求，而，而設設例例 ；，求求設設例例yzxzyxyxfz ,),(. 322解：解：,22yxvyxu 令令zuvxyxyxz xvvzxuuz yvzxuz12 yz yvvzyuuz )(22yxvzyuz vufyxyf22 vufyxf12 ；求求例例xzyxvexvxvxfzv ,2sin),(. 4222zxvxxy解：解：xz xvvfxf xevxxvv2)

7、cos()4(sin )cos(24)sin(222222yxeyxxxxyx xf xv4sin xyx4)sin(22 xfxz 解：解： 直角坐標與極坐標變換公式：直角坐標與極坐標變換公式： sincosryrx看作自變量，則看作自變量，則看作中間變量，看作中間變量，把把 , r, yx cos)()()sin)()(rygxfrygxf F yyFxxF)()()()(ygxxfygxf y 函數(shù)；函數(shù)；，試求此二元，試求此二元在極坐標下可寫為在極坐標下可寫為在直角坐標下可寫為在直角坐標下可寫為設二元函數(shù)設二元函數(shù)例例)(),()()(),(),(. 5rSyxFygxfyxFyxF

8、)(),(rSyxF 0 F代入上式，得代入上式，得0)()()()( ygxxfygxf y)()()()(yygygxxfxf 于是有：于是有： )()(,)()(yygygxxfxf可改寫為可改寫為0)()( xxfxf 即即021)(ln2 xxfdxd 因此因此12ln21)(lnCxxf 表表示示任任意意常常數(shù)數(shù)，從從而而有有其其中中1lnC221)(xeCxf 同理可得同理可得222)(yeCyg 所以二元函數(shù)為所以二元函數(shù)為)(222),(yxCeyxF ；具有二階導數(shù)，求具有二階導數(shù)，求，其中，其中設設例例2222222,)(. 6yzyxzxzfyxfz 解：解： 結構圖結

9、構圖zuxy22yxu xududzxz fx 2f uxy)(222fxxxz 2xfxf 2 22fxf )(22fxyyxz yfx 2fxyyfx 422f yyz 2fyf 2422 222f yyfyz 解解:令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf ；和和偏偏導導數(shù)數(shù)，求求具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)，設設例例zxwxwfxyzzyxfw 2),(. 7 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2z

10、vvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 注意：注意：1.一定要把函數(shù)關系分析清楚；一定要把函數(shù)關系分析清楚；的復合函數(shù)；的復合函數(shù)；為中間變量的為中間變量的是以是以yxvxyfxf,. 3 . 422xfxzx 2. 將導數(shù)的四則運算與復合運算分開；將導數(shù)的四則運算與復合運算分開； 多元復合函數(shù)的求導法則：鏈式法則；多元復合函數(shù)的求導法則：鏈式法則； 全微分形式不變性：全微分形式不變性：dvvzduuzdzvuvufz 函數(shù)的全微分都為：函數(shù)的全微分都為：，是自變量還是中間

11、變量是自變量還是中間變量，不論，不論若若,),(。求求具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，數(shù)數(shù)，具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導其其中中例例22),2 ,(),(. 8xzfxxyttfz 解解令令,xyu ,2xv xdtdfxz )(dxdvvxuudtdf )2(vuyf 有相同的結構圖有相同的結構圖與與 zf ),(vut 則則ztuvxxyf tuvxxy22xz )2(vuyfx )2()2(xxyfxttfyvutvu )2(2)2()2(2vvuvuvuuvuyyyfyf )44()2(22vvuvuuvuyyfyf 全微分形式不變形的實質：全微分形式不變形的實質： 式式是是

12、一一樣樣的的。的的函函數(shù)數(shù)，它它的的全全微微分分形形量量的的函函數(shù)數(shù)，或或中中間間變變是是自自變變量量無無論論vuvuz,( , )( , ),( , ).zz u vzzdzdudvuvux y vx yzzdzdxdyxy 設設函函數(shù)數(shù)具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則有有全全微微分分當當時時，dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 四則運算：四則運算：dvduvud )(udvvduuvd )(2vudvvduvud 解解:, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe；和和，求求已已知知例例yzxzezezxy 02. 9解解:2222222222)()()(zyxzyxxddxzyxdu 2222222)()222()(zyxzdzydyxdxxdxzyx 2222222)(22)(zyxxzdz