長安大學數(shù)字測圖 第3章 測量誤差基本知識

1、第3章 測量誤差基本知識3.1 測量誤差概述一、測量誤差一、測量誤差1. 測量誤差測量誤差（Observation Magement Error）觀測量的觀測值與其真值之差，包括觀測誤差和模型誤差。觀測量的觀測值與其真值之差，包括觀測誤差和模型誤差。l 觀測誤差：觀測誤差：觀測值發(fā)生的偏差。觀測值發(fā)生的偏差。l 模型誤差：模型誤差：數(shù)學模型不恰當而導致待求量發(fā)生的偏差。數(shù)學模型不恰當而導致待求量發(fā)生的偏差。如：如：RShRSh2222真值觀測值真誤差-二、觀測誤差產(chǎn)生的原因二、觀測誤差產(chǎn)生的原因1. 儀器的原因（儀器的原因（Instrumental Errors） 每一種測量儀器具有一定的每一

2、種測量儀器具有一定的精確度精確度，使測量結果受到，使測量結果受到一定的影響。另外，一定的影響。另外，儀器結構的不完善儀器結構的不完善，也會引起觀測，也會引起觀測誤差。誤差。2. 觀測者的原因（觀測者的原因（Personal Errors） 由于觀測者的由于觀測者的感覺器官的辨別能力感覺器官的辨別能力存在局限性，在儀存在局限性，在儀器對中、整平、瞄準、讀數(shù)等操作時都會產(chǎn)生誤差。器對中、整平、瞄準、讀數(shù)等操作時都會產(chǎn)生誤差。 3. 外界環(huán)境的影響（外界環(huán)境的影響（Natural Errors） 測量作業(yè)環(huán)境的溫度、氣壓、濕度、風力、日光照射、測量作業(yè)環(huán)境的溫度、氣壓、濕度、風力、日光照射、大氣折光

3、、煙霧等客觀情況時刻在變化，使測量結果產(chǎn)大氣折光、煙霧等客觀情況時刻在變化，使測量結果產(chǎn)生誤生誤 差。差。例如，溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮，例如，溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮， 風吹和日光風吹和日光照射使儀器的安置不穩(wěn)定，照射使儀器的安置不穩(wěn)定， 大氣折光使望遠鏡的瞄準產(chǎn)大氣折光使望遠鏡的瞄準產(chǎn)生偏差等。生偏差等。 三、測量誤差的分類與處理原則三、測量誤差的分類與處理原則 1. 系統(tǒng)誤差（系統(tǒng)誤差（Systematic Error） 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相

4、同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差。如：測距儀的固定誤如：測距儀的固定誤差和比例誤差等。差和比例誤差等。 系統(tǒng)誤差對觀測結果的影響具有累積性，因而對成果系統(tǒng)誤差對觀測結果的影響具有累積性，因而對成果質量的影響也特別顯著。但由于它具有規(guī)律性，可采用質量的影響也特別顯著。但由于它具有規(guī)律性，可采用下列方法消除或削弱其影響：下列方法消除或削弱其影響：計算改正數(shù)。計算改正數(shù)。采用一定的觀測方法。采用一定的觀測方法。2. 偶然誤差（偶然誤差（Accident Error，& Random Error） 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如在相同的觀測條件

5、下，對某一量進行一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，果誤差在大小、符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，其大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具其大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。如如讀數(shù)誤差、照準誤差等。讀數(shù)誤差、照準誤差等。 偶然誤差是不可避免的，且具有統(tǒng)計規(guī)律性，可應用數(shù)偶然誤差是不可避免的，且具有統(tǒng)計規(guī)律性，可應用數(shù)理統(tǒng)計的方法加以處理理統(tǒng)計的方法加以處理。 3. 粗差（粗差（Blunder, & Gross Error） 觀測數(shù)據(jù)中存在的錯誤，稱為粗

6、差。是由于作業(yè)人員觀測數(shù)據(jù)中存在的錯誤，稱為粗差。是由于作業(yè)人員的粗心大意或各種因素的干擾造成的，的粗心大意或各種因素的干擾造成的，如瞄錯目標、讀如瞄錯目標、讀錯大數(shù)，光電測距、錯大數(shù)，光電測距、GPS測量中對載波信號的干擾等。測量中對載波信號的干擾等。 粗差必須剔除，而且也是可以剔除的。粗差必須剔除，而且也是可以剔除的。 4. 誤差處理原則誤差處理原則 在進行觀測數(shù)據(jù)處理時，按照現(xiàn)代測量誤差理論和測在進行觀測數(shù)據(jù)處理時，按照現(xiàn)代測量誤差理論和測量數(shù)據(jù)處理方法，可以量數(shù)據(jù)處理方法，可以消除或減弱消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響；探系統(tǒng)誤差的影響；探測粗差的存在并測粗差的存在并剔除剔除之；對偶然誤差進行

7、之；對偶然誤差進行適當處理適當處理，求，求以得被觀測量的最可靠值。以得被觀測量的最可靠值。四、偶然誤差的特性四、偶然誤差的特性 設某一量的真值為設某一量的真值為X，在相同的觀測條件下對此量進，在相同的觀測條件下對此量進行行n次觀測，得到的觀測值為次觀測，得到的觀測值為l1 1， l2 2， ln ，在每次觀，在每次觀測中產(chǎn)生的誤差（又稱測中產(chǎn)生的誤差（又稱“真誤差真誤差”）為）為1，2， n，則定義則定義 ), 2 , 1( nilXii單個偶然誤差：單個偶然誤差：其符號和數(shù)值沒有任何規(guī)律性。其符號和數(shù)值沒有任何規(guī)律性。大量偶然誤差：大量偶然誤差：就能發(fā)現(xiàn)隱藏在偶然性下面的必然規(guī)律。就能發(fā)現(xiàn)隱

8、藏在偶然性下面的必然規(guī)律。進行統(tǒng)計的數(shù)量越大，規(guī)律性也越明顯。進行統(tǒng)計的數(shù)量越大，規(guī)律性也越明顯。實例 在某一測區(qū)，在相同的觀測條件下共觀測了在某一測區(qū)，在相同的觀測條件下共觀測了358358個個三角形的全部內角，觀測值為三角形的全部內角，觀測值為 。 將它們分為負誤差和正誤差，按誤差絕對值由小到大將它們分為負誤差和正誤差，按誤差絕對值由小到大排列次序。以誤差區(qū)間排列次序。以誤差區(qū)間d=3進行誤差個數(shù)進行誤差個數(shù)k的統(tǒng)計，的統(tǒng)計，并計算其相對個數(shù)并計算其相對個數(shù)kn（n358），）， kn稱為誤差稱為誤差出現(xiàn)的頻率。出現(xiàn)的頻率。 iiicba、358)1(i )(180iiiicba誤差區(qū)間誤

9、差區(qū)間 dd 負誤差負誤差正誤差正誤差誤差絕對值誤差絕對值K KK/nK/nK KK/nK/nK KK/nK/n0 03 345450.1260.12646460.1280.12891910.2540.2543 36 640400.1120.11241410.1150.11581810.2260.2266 69 933330.0920.09233330.0920.09266660.1840.1849 9121223230.0640.06421210.0590.05944440.1230.1231212151517170.0470.04716160.0450.04533330.0920.0921

10、515181813130.0360.03613130.0360.03626260.0730.073181821216 60.0170.0175 50.0140.01411110.0310.031212124244 40.0110.0112 20.0060.0066 60.0170.0172424以上以上0 00 00 00 00 00 01811810 05055051771770 04954953583581.0001.000 由此，可以歸納出偶然誤差的特性如下：由此，可以歸納出偶然誤差的特性如下：l界限性：界限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不

11、會超過一定的限值會超過一定的限值 。l聚中性：聚中性：絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。大的誤差出現(xiàn)的頻率小。l對稱性：對稱性：絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的出絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的出現(xiàn)頻率現(xiàn)頻率 。l抵償性：抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零，即：均值趨近于零，即： 0lim21lim nnnnn由上圖可以看出：偶然誤差的出現(xiàn)符合正態(tài)分布，其分布曲線由上圖可以看出：偶然誤差的出現(xiàn)符合正態(tài)分布，其分布曲線的方程式為：的方程式為： +3 +6 +9 +

12、12 +15 +18 +21 +24X=-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3dnk0(1) 21)(222ef式中，參數(shù)式中，參數(shù)為觀測誤差的標準差。為觀測誤差的標準差。從中可以看出正態(tài)分布具有偶然誤差的特性。即從中可以看出正態(tài)分布具有偶然誤差的特性。即l f()是偶函數(shù)，即絕對值相等的正、負誤差求得是偶函數(shù)，即絕對值相等的正、負誤差求得的的f()相等，故曲線對稱于縱軸。相等，故曲線對稱于縱軸。l 越小，越小， f()越大；越大；越大，越大， f()越小。越小。l 當當= 0時，時， f()最大，其值為最大，其值為l 當當21，0)(f(2) 2222212limlimnn

13、nnn次序次序第一組觀測第一組觀測第二組觀測第二組觀測 觀測值觀測值 ( ( )真誤差真誤差 觀測值觀測值( ( )真誤差真誤差 180 00 03180 00 03-3-3180 00 00180 00 000 0180 00 02180 00 02-2-2179 59 59179 59 59+1+1179 59 58179 59 58+2+2180 00 07180 00 07-7-7179 59 56179 59 56+4+4180 00 02180 00 02-2-2180 00 01180 00 01-1-1180 00 01180 00 01-1-1180 00 00180 00

14、000 0179 59 59179 59 59+1+1180 00 04180 00 04-4-4179 59 52179 59 52+8+8179 59 57179 59 57+3+3180 00 00180 00 000 0179 59 58179 59 58+2+2179 59 57179 59 57+3+3180 00 03180 00 03-3-3180 00 01180 00 01-1-13.2 衡量精度的標準衡量精度的標準 一、精度（一、精度（Precision） 測量值與其真值的接近程度測量值與其真值的接近程度l 準確度（準確度（Accuracy）：）：表示測量結果與其真值接近

15、程表示測量結果與其真值接近程度的量。反映系統(tǒng)誤差的大小。度的量。反映系統(tǒng)誤差的大小。l 精密度（精密度（ Precision ）：）：表示測量結果的離散程度。反表示測量結果的離散程度。反映偶然誤差的大小量。映偶然誤差的大小量。二、衡量精度的指標二、衡量精度的指標 1. 中誤差（中誤差（root mean square error） 根據(jù)偶然誤差概率分布規(guī)律，以標準差根據(jù)偶然誤差概率分布規(guī)律，以標準差為標準衡量為標準衡量在一定觀測條件下觀測結果的精度是比較合適的。在一定觀測條件下觀測結果的精度是比較合適的。 在測量中定義：按有限次觀測的偶然誤差求得的標準差在測量中定義：按有限次觀測的偶然誤差求得

16、的標準差為中誤差，用為中誤差，用m表示，即表示，即nnmn22221p兩組觀測值的誤差之和絕對值相等兩組觀測值的誤差之和絕對值相等pm1 m2，第一組的觀測成果的精度高于第二組觀測成第一組的觀測成果的精度高于第二組觀測成果的精度果的精度次序次序第一組觀測第一組觀測第二組觀測第二組觀測 觀測值觀測值真誤差真誤差觀測值觀測值真誤差真誤差18018000000303-3-39 9180180000000000 00 018018000000202-2-24 417917959595959+1+11 117917959595858+2+24 418018000000707-7-749491791795

17、9595656+4+4161618018000000202-2-24 418018000000101-1-11 118018000000101-1-11 1180180000000000 00 017917959595959+1+11 118018000000404-4-4161617917959595252+8+8646417917959595757+3+39 9180180000000000 00 017917959595858+2+24 417917959595757+3+39 918018000000303-3-39 918018000000101-1-11 1| |242472722

18、424130130中誤差中誤差 -2 -1 +1 +2XY)(1f)(2f不同中誤差的正態(tài)分布曲線7 . 21021 m6 . 31022 m2. 相對誤差（相對誤差（relative error） 觀測值的中誤差與觀測值之比觀測值的中誤差與觀測值之比 ，一般用分子為，一般用分子為1的分的分式表示式表示。 前者的相對中誤差為前者的相對中誤差為0.02200 110000，而后者則，而后者則為為0.0240l2000，顯然，顯然前者的量距精度高于后者。前者的量距精度高于后者。 例如：用鋼卷尺丈量例如：用鋼卷尺丈量200m200m和和40m40m兩段距離，量距的中誤差都兩段距離，量距的中誤差都是是

19、2cm,2cm,可見其可見其精度相同。精度相同。3. 極限誤差（極限誤差（limit error） 根據(jù)正態(tài)分布曲線，可以表示出偶然誤差出現(xiàn)在微小根據(jù)正態(tài)分布曲線，可以表示出偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間區(qū)間d中的概率：中的概率： 根據(jù)上式的積分，可得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中根據(jù)上式的積分，可得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設以出現(xiàn)的概率。設以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間中誤倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率為：差出現(xiàn)的概率為：demdfpm22221)()(demkmPmkmkm22221)( 分別以分別以k1，2，3代入上式，可得到偶然誤差的絕對值代入上式，可得到偶然誤差的絕

20、對值不大于中誤差、不大于中誤差、2倍中誤差和倍中誤差和3倍中誤差的概率：倍中誤差的概率： 由此可見，偶然誤差的絕對值大于由此可見，偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤倍中誤差的約占誤差總數(shù)的差總數(shù)的5%，而大于，而大于3倍中誤差的僅占誤差總數(shù)的倍中誤差的僅占誤差總數(shù)的0.3%。一般進行的測量次數(shù)有限，一般進行的測量次數(shù)有限，2倍中誤差應該很少遇到，因此，倍中誤差應該很少遇到，因此，以以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為允許誤差，簡稱倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為允許誤差，簡稱“限差限差”，即，即 允允2m 現(xiàn)行現(xiàn)行測量規(guī)范測量規(guī)范中通常取中通常取2倍中誤差作為限差。倍中誤差作為限差。000

21、0007 .99997.0)3(4 .95954.0)2(3 .68683.0)(mPmPmP3.3 誤差傳播定律一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律 觀測值的誤差對觀測值函數(shù)的影響。用觀測觀測值的誤差對觀測值函數(shù)的影響。用觀測值的中誤差去表征待求量中誤差的數(shù)學模型，值的中誤差去表征待求量中誤差的數(shù)學模型，則為中誤差傳播定律。則為中誤差傳播定律。二、線性函數(shù)的中誤差傳播定律二、線性函數(shù)的中誤差傳播定律 設設Xi（i=1, ,2, , , ,n）是一組獨立觀測量，而）是一組獨立觀測量，而Y是是Xi的函數(shù)，即：的函數(shù)，即： (1) 22110nnXaXaXaaY 式中，系數(shù)式中，系數(shù)ai已知，且假定無

22、誤差。設已知，且假定無誤差。設xij是第是第i個個觀測量的第觀測量的第j次觀測值，則按上式求出待定量的計次觀測值，則按上式求出待定量的計算值算值yj為：為：將（將（1 1）式減去（）式減去（2 2）式得：）式得：(2) 22110njnjjjxaxaxaay 。式中，YyyXxaaayjjijijnjnjjj ,2211 當對當對Xi各觀測各觀測k次時，上式將共有次時，上式將共有k個，分別將各個，分別將各式式兩邊平方兩邊平方，并對，并對k個式個式求其和求其和，再，再除以觀測次數(shù)除以觀測次數(shù)k，考慮到偶然誤差的，考慮到偶然誤差的抵償性抵償性，可得：，可得： 顧及顧及中誤差的定義公式中誤差的定義公

23、式，并設，并設Xi的中誤差為的中誤差為mi，則可得：則可得：kakakakyynnn 2222211212222222121nnYmamamam 三、非線性函數(shù)的中誤差傳播定律三、非線性函數(shù)的中誤差傳播定律 設有非線性函數(shù)設有非線性函數(shù)Y = f（X1，X2，Xn），），Xi（i =1, ,2, , , ,n）為）為獨立觀測量獨立觀測量，并設，并設Xi的的中誤差為中誤差為mi，為此，可先將非線性函數(shù)線性，為此，可先將非線性函數(shù)線性化，然后再按線性函數(shù)處理。化，然后再按線性函數(shù)處理。 nnyXfXfXf 22112222222121nnYmXfmXfmXfm 四、誤差傳播定律的應用四、誤差傳播定

24、律的應用 1. 步驟：步驟：n 列出正確的函數(shù)模型列出正確的函數(shù)模型注意注意：模型符合測量事實；觀測量各自獨立模型符合測量事實；觀測量各自獨立n 非線性函數(shù)線性化非線性函數(shù)線性化n 運用誤差傳播定律運用誤差傳播定律 2. 應用舉例應用舉例例例1：用尺長為：用尺長為l的鋼尺丈量距離的鋼尺丈量距離S，共丈量，共丈量4個尺段，設個尺段，設丈量一個尺段的中誤差為丈量一個尺段的中誤差為m，試求，試求S的中誤差。的中誤差。解解一一：應用誤差傳播定律得：應用誤差傳播定律得：llllSmmmmmmS22222 解解二二： 應用誤差傳播定律得：應用誤差傳播定律得： 由兩種解算方法的結果可以看出：由兩種解算方法的

25、結果可以看出：距離距離S的中誤差不的中誤差不相等相等，顯然，解二的數(shù)學模型是錯誤的。，顯然，解二的數(shù)學模型是錯誤的。lllllS4mmmS4422例例2：設有函數(shù)：設有函數(shù) 。若。若 X、Y為為獨立觀測量，其觀測值中誤差為獨立觀測量，其觀測值中誤差為mx、my ，試求，試求U的的中誤差。中誤差。 解解一一：由線性中誤差傳播定律，顯然有：由線性中誤差傳播定律，顯然有：則有：則有：YXZZYXU3,而2222222)3(yxzzyxUmmmmmmm，而22210yxUmmm解解二二：由于由于 應用線性函數(shù)中誤差傳播定律，得：應用線性函數(shù)中誤差傳播定律，得：即：即： 顯然，這兩種解法中至少有一種解法

26、是顯然，這兩種解法中至少有一種解法是錯誤錯誤的。解法一的。解法一中由于未考慮觀測量的中由于未考慮觀測量的獨立性獨立性，顯然是錯誤的。，顯然是錯誤的。222)2()4(yxUmmm22416yxUmmmYXZYXU24例例3：設有函數(shù)：設有函數(shù) 若觀測值若觀測值d=180.23m，中誤差，中誤差md=5cm；=612210，其中誤差為，其中誤差為m=20，試，試求求y的中誤差。的中誤差。 解：解：故有：故有：sin dy002.02)(2)cos(22)(sin2)(2)(22)(2mddmmydmdyymmmy5 . 4思考題例例4、（、（1）設自已知點設自已知點A向待定點向待定點B進行水準測

27、量，共觀測進行水準測量，共觀測n站。站。設每站的觀測精度相同，其中誤差為設每站的觀測精度相同，其中誤差為m站站，試求，試求A、B兩點間高兩點間高差的中誤差。差的中誤差。 （2 2）設自已知點設自已知點A向待定點向待定點B進行水準測量進行水準測量，觀測路線，觀測路線長度為長度為S米米。設每千米觀測高差的中誤差為。設每千米觀測高差的中誤差為mkm，試求，試求A、B兩兩點間高差的中誤差。點間高差的中誤差。例例5、（、（1）水平角觀測限差的制定水平角觀測限差的制定 水平角觀測的精度與其誤差的綜合影響有關，對于J6光學經(jīng)緯儀來說，設計時考慮了有關誤差的影響，保證室外一測回的方向中誤差為6。實際上，顧及到

28、儀器使用期間軸系的磨損及其它不利因素的影響，設計精度一般小于6，新出廠的儀器，其野外一測回的方向中誤差小于6，在精度上有所富裕。 對于水平角觀測的精度，通常以某級經(jīng)緯儀的標稱精度作為基礎，對于水平角觀測的精度，通常以某級經(jīng)緯儀的標稱精度作為基礎，應用誤差傳播定律進行分析，求得必要的數(shù)據(jù)，再結合由大量實測資應用誤差傳播定律進行分析，求得必要的數(shù)據(jù)，再結合由大量實測資料經(jīng)統(tǒng)計分析求得的數(shù)據(jù)，考慮系統(tǒng)誤差的影響來確定。下面僅以標料經(jīng)統(tǒng)計分析求得的數(shù)據(jù)，考慮系統(tǒng)誤差的影響來確定。下面僅以標稱精度為基礎進行分析。稱精度為基礎進行分析。設設J6經(jīng)緯儀室外經(jīng)緯儀室外一測回的方向中一測回的方向中誤差誤差為：為

29、：（1）一測回角值的中誤差）一測回角值的中誤差（2）半測回方向值的中誤差）半測回方向值的中誤差（3）歸零差的限差）歸零差的限差（4）同一方向值各測回較差的）同一方向值各測回較差的限差限差 5 . 826211 方角mm秒方61m5 . 82621 方半方mm212262 半方歸零mm5 . 826211 方方mmd（2）設等精度觀測設等精度觀測n個三角形的三個內角，試求測角中誤差個三角形的三個內角，試求測角中誤差 。nicbaiiii, 2 , 1 )(180設測角中誤差為設測角中誤差為m，則根據(jù)誤差傳播定律得：，則根據(jù)誤差傳播定律得：222223mmmmm根據(jù)中誤差定義公式可知根據(jù)中誤差定義

30、公式可知：nnmn22322212上述兩式聯(lián)立求解：上述兩式聯(lián)立求解：nmnm3 323.4 等精度觀測值平差等精度觀測值平差一、等精度觀測與非等精度觀測一、等精度觀測與非等精度觀測n等精度觀測等精度觀測 在相同的觀測條件下所進行的觀測。由等精度觀測而在相同的觀測條件下所進行的觀測。由等精度觀測而獲得的觀測值稱為等精度觀測值。獲得的觀測值稱為等精度觀測值。n非等精度觀測非等精度觀測 在不同的觀測條件下所進行的觀測。由非等精度觀測在不同的觀測條件下所進行的觀測。由非等精度觀測而獲得的觀測值稱為非等精度觀測值。而獲得的觀測值稱為非等精度觀測值。二、測量平差二、測量平差由于觀測結果不可避免地存在偶然

31、誤差的影響，因此，由于觀測結果不可避免地存在偶然誤差的影響，因此，在實際工作中，為提高成果質量，同時也為了檢查和及在實際工作中，為提高成果質量，同時也為了檢查和及時發(fā)現(xiàn)觀測值中的粗差，通常進行時發(fā)現(xiàn)觀測值中的粗差，通常進行多余觀測多余觀測。（例如：。（例如：一個平面三角形，只要觀測其中的兩個內角，即可確定一個平面三角形，只要觀測其中的兩個內角，即可確定其形狀，但通常是觀測三個內角）。其形狀，但通常是觀測三個內角）。 由于偶然誤差的存在，通過多余觀測必然會發(fā)現(xiàn)由于偶然誤差的存在，通過多余觀測必然會發(fā)現(xiàn)觀測觀測結果不一致結果不一致。因此，必須對帶有偶然誤差的觀測值進行。因此，必須對帶有偶然誤差的觀

32、測值進行處理，使得消除不符值后的結果，可認為是觀測值的最處理，使得消除不符值后的結果，可認為是觀測值的最可靠結果。由此可知，測量平差的任務是：可靠結果。由此可知，測量平差的任務是：（1）對一系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統(tǒng)計的）對一系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統(tǒng)計的方法來消除它們之間的不符值，求出未知量的最可靠值。方法來消除它們之間的不符值，求出未知量的最可靠值。（2）評定測量成果的精度）評定測量成果的精度測量平差方法測量平差方法n嚴密平差：嚴密平差：所依據(jù)的準則是建立在嚴密的理論基礎之所依據(jù)的準則是建立在嚴密的理論基礎之上。如：間接平差法等（見上。如：間接平差法等（見測量平差基礎測

33、量平差基礎）n近似平差近似平差：所依據(jù)的準則是建立在近似的理論基礎之：所依據(jù)的準則是建立在近似的理論基礎之上，亦稱上，亦稱簡易平差。簡易平差。 根據(jù)某一待求量的一系列觀測值，求出其根據(jù)某一待求量的一系列觀測值，求出其最佳估值最佳估值（或最或是值）稱為（或最或是值）稱為直接觀測平差直接觀測平差，分為，分為等精度直接等精度直接觀測平差觀測平差和和不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差。三、等精度直接觀測值平差三、等精度直接觀測值平差1. 算術平均值原理算術平均值原理 在在相同的觀測條件相同的觀測條件下，對某個未知量進行下，對某個未知量進行n次觀測，其次觀測，其觀測值分別為觀測值分別為l1，l2,

34、 , ，ln，將這些觀測值取算術平均值，將這些觀測值取算術平均值，作為該量的最或是值，即：作為該量的最或是值，即： nlnlllxn21現(xiàn)用偶然誤差的特性來證明現(xiàn)用偶然誤差的特性來證明:設某一量的真值為設某一量的真值為X，各次觀測，各次觀測值為值為l1，l2, , ，ln ，其相應的真誤差為，其相應的真誤差為1，2，n，則，則 將上列等式相加，并除以將上列等式相加，并除以n，得到，得到 等式兩端取極限，則等式兩端取極限，則nnlXlXlX2211nlXnnlXnnnlimlim由偶然誤差的由偶然誤差的抵償性抵償性，有，有 故可得：故可得：2. 觀測值的改正數(shù)及其性質觀測值的改正數(shù)及其性質 觀測

35、值的最或是值與觀測值之差，即：觀測值的最或是值與觀測值之差，即： 將上列等式相加，得將上列等式相加，得 即：一組觀測值的改正值之和恒等于零。這一特性可以作為即：一組觀測值的改正值之和恒等于零。這一特性可以作為計算中的校核計算中的校核。 0limnnXxnlim),2, 1( ,nilxvii 0lxnv3. 等精度觀測值的中誤差等精度觀測值的中誤差u 根據(jù)根據(jù)真誤差真誤差計算等精度觀測值中誤差計算等精度觀測值中誤差 由于真值的不可知，導致真誤差的不可知。但是，有時可由于真值的不可知，導致真誤差的不可知。但是，有時可將理論值視為真值，例如：三角形內角和為將理論值視為真值，例如：三角形內角和為18

36、0等。等。 例例4：設等精度觀測：設等精度觀測n個三角形的三個內角，試根據(jù)三角形閉合差計算個三角形的三個內角，試根據(jù)三角形閉合差計算測角中誤差。測角中誤差。 解：三角形閉合差：解：三角形閉合差： 根據(jù)中誤差的定義公式得三角形閉合差的中誤差為：根據(jù)中誤差的定義公式得三角形閉合差的中誤差為： nm), 2 , 1( ,180nicbaiiii nm 而根據(jù)中誤差傳播定律，可得三角形閉合差的中誤差為：而根據(jù)中誤差傳播定律，可得三角形閉合差的中誤差為： 其中，其中，m為測角中誤差。將此式代入上式得：為測角中誤差。將此式代入上式得： 此式即著名的此式即著名的菲列羅公式菲列羅公式，通常用于計算三角測量的測

37、角，通常用于計算三角測量的測角中誤差。但當三角形的個數(shù)大于中誤差。但當三角形的個數(shù)大于20時，由此公式算出的測角時，由此公式算出的測角中誤差才比較可靠。中誤差才比較可靠。mm3nm3u 根據(jù)觀測值的改正數(shù)計算其中誤差根據(jù)觀測值的改正數(shù)計算其中誤差 設某量的設某量的n個等精度觀測值為個等精度觀測值為l1，l2, , ，ln ，其真誤差和改，其真誤差和改正數(shù)為：正數(shù)為： 于是有：于是有：將上列將上列n個等式兩邊分別個等式兩邊分別平方平方，并，并求其和，再除以求其和，再除以n，則有：，則有： 上式中，上式中， ，考慮到中誤差的定義公式，考慮到中誤差的定義公式，可得：可得：iiiilxvXl ,)(X

38、xvii2)()(2XxnvXxnvvn22)( , 0nXxv1nvvm4. 算術平均值的中誤差算術平均值的中誤差 設觀測值的中誤差為設觀測值的中誤差為m，算術平均值的中誤差為，算術平均值的中誤差為M，則應，則應用誤差傳播定律于算術平均值的計算公式，則有：用誤差傳播定律于算術平均值的計算公式，則有： 故算術平均值的中誤差為：故算術平均值的中誤差為：22222222)1()1()1(mnmnmnmnM nmM 例題 對某一距離，在相同的條件下進行對某一距離，在相同的條件下進行6次觀測，其觀測值為：次觀測，其觀測值為：120.031m 120.025m 120.031m 119.983m 120

39、.047m 120.040m試求其最可靠值，并評定測量成果的精度。試求其最可靠值，并評定測量成果的精度。解算見下表解算見下表:mnllx017.1200次序次序觀測值觀測值l（M M）l（cmcm）改正值改正值v v (cm)(cm)vvvv(mm)(mm)計算計算x,mx,m1 1120.031120.031+3.1+3.1-1.4-1.41.961.962 2120.025120.025+2.5+2.5-0.8-0.80.640.643 3119.983119.983-1.7-1.7+3.4+3.411.5611.564 4120.047120.047+4.7+4.7-3.0-3.09.0

40、09.005 5120.040120.040+4.0+4.0-2.3-2.35.295.296 6119.976119.976-2.4-2.4+4.1+4.116.8116.81( (l0 0=120.000)=120.000)10.210.20.00.045.2645.26cmnvvm0 . 31cmnmmx2 . 1思考題思考題: 今有四個觀測小組對同一個水平角進行觀測，第一組今有四個觀測小組對同一個水平角進行觀測，第一組觀測觀測2個測回，水平角值為個測回，水平角值為l1，第二小組觀測，第二小組觀測4個測回，個測回，水平角值為水平角值為l2 ，第三小組觀測，第三小組觀測6個測回，水平角值為

41、個測回，水平角值為l3 ，第四小組觀測第四小組觀測8個測回，水平角值為個測回，水平角值為l4，試計算其最可靠，試計算其最可靠值，并評定測量成果精度。值，并評定測量成果精度。3.5 權及權倒數(shù)傳播律一、權的概念一、權的概念1. 權（權（weight） 衡量觀測值（或估值）及其函數(shù)的相對可靠程度的一種指標。通衡量觀測值（或估值）及其函數(shù)的相對可靠程度的一種指標。通常用常用P表示。表示。 權的定義公式為：權的定義公式為： 上式表明：在一組觀測值中，某觀測值的權與其中誤差的平方成上式表明：在一組觀測值中，某觀測值的權與其中誤差的平方成反比，而反比，而2為比例系數(shù)，為比例系數(shù)，可任意選取，但對于同一個觀

42、測問題，應可任意選取，但對于同一個觀測問題，應在數(shù)據(jù)處理前確定，并在計算過程中保持不變。在數(shù)據(jù)處理前確定，并在計算過程中保持不變。22iimP2. 單位權（單位權（unit weight） 數(shù)值等于數(shù)值等于1的權。此時，有的權。此時，有 ，當二者單位相同時，當二者單位相同時，稱稱為為單位權中誤差單位權中誤差。此時的觀測值為單位權觀測值。此時的觀測值為單位權觀測值。3. 權的特性權的特性n 權只能反映觀測值之間的權只能反映觀測值之間的相對精度相對精度，在反映觀測值精，在反映觀測值精度時，起作用的不是權本身的大小，而是權之間的比例度時，起作用的不是權本身的大小，而是權之間的比例關系。關系。n 權既

43、可反映同一類量的若干個觀測值之間的精度高低，權既可反映同一類量的若干個觀測值之間的精度高低，也可反映也可反映不同類量不同類量的觀測值之間的精度高低。的觀測值之間的精度高低。 im4. 權的確定權的確定u 根據(jù)權的定義公式確定權根據(jù)權的定義公式確定權例例1：已知一組角量觀測值：已知一組角量觀測值X1、X2、X3的中誤差的中誤差m1=2； m2=4； m3=8，試求各觀測值之權。，試求各觀測值之權。解一：解一：161)8()2(;41)4()2(; 1)2()2(,22223232222222221211 mPmPmPm則有：設解二： 由上例可以看出，系數(shù)由上例可以看出，系數(shù)改變，各觀測值的權亦改

44、變，改變，各觀測值的權亦改變，但觀測值之間的但觀測值之間的權之比權之比并未改變。并未改變。641) 8() 1(;161) 4() 1(;41) 2() 1(,1222323222222222121 mPmPmP則有：設u 距離測量中根據(jù)邊長確定權距離測量中根據(jù)邊長確定權例例2：按同等精度丈量三條邊長，得：按同等精度丈量三條邊長，得S1，S2，S3，相應的，相應的長度為長度為3km，4km，6km。試確定三條邊邊長觀測值的。試確定三條邊邊長觀測值的權。權。解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中誤差相同。解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中誤差相同。設每千米丈量中誤差為設每千米丈量中誤差為

45、mkm，則邊長，則邊長Si的中誤差為：的中誤差為：將其代入權的定義公式得：將其代入權的定義公式得：kmiSmSmi22)(kmiimSP 本例中，取本例中，取C為為12km，則得，則得S1，S2，S3的權分別為的權分別為4，3，2。此時。此時S為為12km時的權為時的權為1。也就意味著，。也就意味著，以以12km的觀測為單位權觀測的觀測為單位權觀測，相應的權為單位權相應的權為單位權，相應相應的中誤差為單位權中誤差的中誤差為單位權中誤差。由此還可以看出，上式中。由此還可以看出，上式中C的含義就是單位權觀測的含義就是單位權觀測。量的定權公式為：，可得到等精度距離丈令2)(kmmCiiSCP u 水

46、準測量中根據(jù)水準測量中根據(jù)水準路線長度水準路線長度或或測站數(shù)測站數(shù)定權定權例例3：設一個水準網(wǎng)由四條同一等級的水準路線所構成。設：設一個水準網(wǎng)由四條同一等級的水準路線所構成。設四條水準路線的路線長度為四條水準路線的路線長度為S1=4km， S2=2km ， S3=1km ， S4=3km ，相應的測站數(shù)為，相應的測站數(shù)為n1=50， n2=25 ， n3=10 ， n4=40 。試分別按路線長度和測站數(shù)來確定這四。試分別按路線長度和測站數(shù)來確定這四條水準路線觀測高差的權。條水準路線觀測高差的權。解：由于這四條水準路線是按同一等級觀測的，所以它們解：由于這四條水準路線是按同一等級觀測的，所以它們

47、每千米觀測高差中誤差每千米觀測高差中誤差mkm和每測站觀測高差中誤差和每測站觀測高差中誤差m站站均是相同的，則第均是相同的，則第i條路線觀測高差的中誤差為：條路線觀測高差的中誤差為：站，或mnmmSmihkmihii將其代入權的定義公式得：將其代入權的定義公式得：令令則，第則，第i條水準路線觀測高差的權為：條水準路線觀測高差的權為： 本例中，當按各水準按路線長度定權時，若取本例中，當按各水準按路線長度定權時，若取C為為12km，則各水準路線觀測高差的權分別為，則各水準路線觀測高差的權分別為3，6，12，4；當按各水準路線的測站數(shù)定權時，若取當按各水準路線的測站數(shù)定權時，若取C為為100，則各水

48、，則各水準路線觀測高差的權分別為準路線觀測高差的權分別為2，4，10，2.5。22)()(站，或mnPmSPihkmihii22)()(站，或mCmCKmihihnCPSCPii，或三、權倒數(shù)傳播律三、權倒數(shù)傳播律 設有非線性函數(shù)設有非線性函數(shù)Y=f（X1，X2，Xn），），Xi（i=1, ,2, , , ,n）為）為獨立觀測量獨立觀測量，并設各觀測值的，并設各觀測值的中誤差及其權為中誤差及其權為m1，m2，m3，mn和和P1，P2，P3，Pn。由一般函數(shù)中誤差傳播定律可知。由一般函數(shù)中誤差傳播定律可知。有：有： 22222221212)()()(nnymXfmXfmXfm 按權的定義公式，則有：按權的定義公式，則有：即即 上式即為權倒數(shù)傳播律的數(shù)學表達式。上式即為權倒數(shù)傳播律的數(shù)學表達式。例例4：已知觀測值：已知觀測值li（i=1,2, ,n）的權為）的權為Pi，試求，試求 的權。的權。解：由權倒數(shù)傳播律可值：解：由權倒數(shù)傳播律可值：nnyPXfPXfPXfP22222212212)()()( nnyPXfPXfPXfP1)(1)(1)(12222121 iiilPX11)(12iiXPPPi3.6 不等精度直接觀測平差一、加權平均值一、加權平均值 設對某一量作不等精度觀測設對某一量作