多自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析

1、3.4 3.4 多自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析多自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析 振型分解反應(yīng)譜法振型分解反應(yīng)譜法ii+1m1m2mimn集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法：結(jié)構(gòu)重力荷載、樓面荷載集中于樓面，并：結(jié)構(gòu)重力荷載、樓面荷載集中于樓面，并假設(shè)這些點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)由無重的彈性直桿支撐于地面。假設(shè)這些點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)由無重的彈性直桿支撐于地面。一一. .多自由度彈性體系動(dòng)力分析回顧多自由度彈性體系動(dòng)力分析回顧1.1.自由振動(dòng)分析自由振動(dòng)分析 0ykym 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 設(shè)方程的特解為設(shè)方程的特解為)sin()sin(2211tXytXy0121212111XmXkX

2、k0222222121XmXkXk1)(1ty2)(2ty00)00(2122122211211XXmmkkkk 0)(2Xmk 02mk-頻率方程頻率方程-振型方程振型方程解解: :例例. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1EI1EI1km20121212111XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 12618. 01;618. 1122122111XXXX

3、618. 111X 618. 012X1 11.6181.6181 10.6180.618 1X 2X按振型振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律按振型振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律m1)(1tym2)(2ty)sin()()sin()(2211iiiiiitXtytXty按按 i 振型振動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為振型振動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為質(zhì)點(diǎn)的加速度為質(zhì)點(diǎn)的加速度為)sin()()sin()(222211iiiiiiiitXtytXty 質(zhì)點(diǎn)上的慣性力為質(zhì)點(diǎn)上的慣性力為)sin()()sin()(222222211111iiiiiiiitXmymtItXmymtI 質(zhì)點(diǎn)上的慣性力與位移同頻同步。質(zhì)點(diǎn)上的慣性力與位移同頻同步。11X21X

4、211iiXm222iiXm 振型可看成是將按振型振動(dòng)時(shí)的慣性力幅值作為靜荷振型可看成是將按振型振動(dòng)時(shí)的慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移。載所引起的靜位移。2.振型的正交性振型的正交性i振型振型NiiiiXXXX21i振型上的慣性力振型上的慣性力NiiiNiNiiNiiiiXXXmmmXmXmXm212122222121iiXm21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXj振型振型NjjjjXXXX21i振型上的慣性力在振型上的慣性力在j振型上作的虛功振型上作的虛功jiijiiijXXmXXmW22221121 iTjiXmX2iiXm121iiXm222NiiNXm2i振

5、型振型j振型振型j振型上的慣性力振型上的慣性力jjNiiNiiiiXmXmXmXm222221212.振型的正交性振型的正交性i振型上的慣性力在振型上的慣性力在j振型上作的虛功振型上作的虛功iTjiijXmXW21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi振型振型j振型振型j振型上的慣性力在振型上的慣性力在i振型上作的虛功振型上作的虛功jTijjiXmXW2 iTjjXmX2jjXm121jjXm222NjjNXm2ijjiWW由虛功互等定理由虛功互等定理0)(22iTjijXmX0iTjXmX 在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)外力在

6、第二狀態(tài)位移上所作的功等于第二狀態(tài)外力在第一狀態(tài)位移上所作位移上所作的功等于第二狀態(tài)外力在第一狀態(tài)位移上所作的功！的功！振型對(duì)剛度的正交性振型對(duì)剛度的正交性: iiiXmXk2 iTjiiTjXmXXkX2 0iTjXkX振型正交性的應(yīng)用振型正交性的應(yīng)用1.1.檢驗(yàn)求解出的振型的正確性。檢驗(yàn)求解出的振型的正確性。例例: :試驗(yàn)證振型的正確性試驗(yàn)證振型的正確性mmm22.2.對(duì)耦聯(lián)運(yùn)動(dòng)微分方程組作解對(duì)耦聯(lián)運(yùn)動(dòng)微分方程組作解 耦運(yùn)算等等耦運(yùn)算等等. . 1897. 0;123. 221XXmlEImEIl1y2y 31748718718712lEIk mmmXmXT00031. 01897. 02

7、00123. 221 )/(000154. 01897. 07/487/187/187/12123. 2321lEIXkXT三三. .振型分解法振型分解法( (不計(jì)阻尼不計(jì)阻尼) )運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 )()()(tPtyktym 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN設(shè)設(shè)NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj )() )() )(11tPtDXktDXmNiiiNiii )() )() )(11tPXtDXkXtDXmXTjNiiiTjNiiiTj )()()(tPXtDXkXtDXmXTjjjTjjjTj )()()(*tPtDKtDMjjjjj 代

8、入運(yùn)動(dòng)方程，得代入運(yùn)動(dòng)方程，得方程兩端左乘方程兩端左乘TjX)(tDj*jM)(*tPj*jK折算體系折算體系*2/jjjMK),2, 1(Nj)()()(*tPtDKtDMjjjjj jTjjXmXM*-j振型廣義質(zhì)量振型廣義質(zhì)量-j振型廣義荷載振型廣義荷載 jTjjXkXK* )(*tPXPTjj-j振型廣義剛度振型廣義剛度*)()()(jjjjjjMtPtDMKtD *2)()()(jjjjjMtPtDtD 相當(dāng)于一個(gè)折算的單自由度體系相當(dāng)于一個(gè)折算的單自由度體系計(jì)算步驟計(jì)算步驟: :2.2.求廣義質(zhì)量、廣義荷載求廣義質(zhì)量、廣義荷載; ;3.3.求廣義坐標(biāo)求廣義坐標(biāo); ;4.4.按下式求

9、位移：按下式求位移：NjijjtDXty)()(1.1.求振型、頻率：求振型、頻率：njXjj,2, 1,jTjjXmXM* )(*tPXPTjj),2, 1(nj*2)()()(jjjjjMtPtDtD ),2, 1(nj)(tDj*jM)(*tPj*jK折算體系折算體系例一例一. .求圖示體系的穩(wěn)態(tài)振幅求圖示體系的穩(wěn)態(tài)振幅. .mmm21解解: :mXmXMT211*1 tPtPtPXtPTsin0sin11)()(1*11m2m)(1tytPsin)(2tyEIEI3/415.3mlEI3231045.22692. 5mlEImlEI 111X 112XmXmXMT222*2 tPtPX

10、tPTsin)()(2*2*1*11211/)()()(MtPtDtD )(1tD*1MtPsin*1KtEIPlsin10411.232*2*22222/)()()(MtPtDtD tEIPltDsin101054.0)(322tDtDstsin)(1,11tmPsin/11222211 2211)(DXDXty例二例二. .求圖示體系在突加荷載作用下的位移反應(yīng)求圖示體系在突加荷載作用下的位移反應(yīng). .解解: :12k1EI1EI1k2kNP8已知已知: :;102;1033231kNkkNk;1020021kgmmm加荷前靜止。加荷前靜止。ss/125.24;/1899. 921 211X

11、 2/ 112XkgXmXMT5100011*1kgXmXMT1275022*2 kNtPXtPT168021)()(1*1 kNtPXtPT4)()(2*2tdtMPtD011*1*11)sin()()()cos1(11*1*1tMP)cos1(0032.01t)cos1(000534.0)(22ttD)(2/11)(21)()(2121tDtDtytytty211cos000534.0cos0032.000267.0tty212cos000267.0cos0064.000667.0三三.振型分解法振型分解法(計(jì)阻尼計(jì)阻尼)阻尼力阻尼力 )(tycfD1m2m)(1ty)(1tPNm)(2t

12、P)(tPN)(2ty)(tyN1Df2DfDNf NNNNNNcccccccccc212222111211-阻尼矩陣阻尼矩陣ijc-當(dāng)質(zhì)點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)j有單位速度有單位速度 ,其余質(zhì)點(diǎn)速度為其余質(zhì)點(diǎn)速度為0時(shí)時(shí), 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)i上的阻尼力上的阻尼力.)1(jy 若下式成立若下式成立 jiCjiXcXjjTi*0則將則將 稱作正交阻尼矩陣稱作正交阻尼矩陣, 稱作振型稱作振型j的廣義阻尼系數(shù)的廣義阻尼系數(shù). c*jc運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 Pykycym 設(shè)設(shè)NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj)()()()(*tPtDKtDCtDMjjjjjjj 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN

13、)(2ty)(tyN1Df2DfDNf令令*2jjjjMC*2/)()()(2)(jjjjjjjjMtPtDtDtD j-第第j j振型阻尼比振型阻尼比( (由試驗(yàn)確定由試驗(yàn)確定).).計(jì)算步驟計(jì)算步驟: : 1.1.求振型、頻率求振型、頻率; ;2.2.求廣義質(zhì)量、廣義荷載求廣義質(zhì)量、廣義荷載; ;4.4.求廣義坐標(biāo)求廣義坐標(biāo); ;5.5.求位移求位移; ;NiiitDXty1)()(3.3.確定振型阻尼比確定振型阻尼比; ;四四. .正交阻尼矩陣的構(gòu)成正交阻尼矩陣的構(gòu)成 kamac10其中其中，a 0 、 a1由試驗(yàn)確定由試驗(yàn)確定。通過實(shí)測獲得兩個(gè)振型阻尼比通過實(shí)測獲得兩個(gè)振型阻尼比 和和 。ji iTiiTiiTiXkXaXmXaXcX10*1*0*iiiKaMac)(21210iiiaa同理同理)(21210jjjaa-瑞利阻尼矩陣瑞利阻尼矩陣*2iiiiMc又因?yàn)槔? .已知圖示體系已知圖示體系求：求： c,3m1EI1EIkm21EIkkmmmk /445.01mk /247.12mk /802.1305.021解解. .)(21211011aa)(21221