參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

1、第九章 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題 一、假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)(Hypothesis Testing)問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 有許多實(shí)際問(wèn)題，需要通過(guò)部分信息量，對(duì)某種看法進(jìn)行判定或估計(jì)。 例例1、某企業(yè)生產(chǎn)一種零件，以往的資料顯示零件平均長(zhǎng)度為4cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1cm。工藝改革后，抽查100個(gè)零件發(fā)現(xiàn)其平均長(zhǎng)度為3.94cm。問(wèn)：工藝改革后零件長(zhǎng)度是否發(fā)生了顯著變化？ 例例2、某廠有一日共生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，次品率不得超過(guò)3%才能出廠?，F(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，發(fā)現(xiàn)其中有2件次品，問(wèn)這批產(chǎn)品能否出廠。 例1要判明判明工藝改革后零件平均長(zhǎng)度是否

2、仍為4cm； 例2要判明判明該批產(chǎn)品的次品率是否低于3%。進(jìn)行這種判斷的信息來(lái)自所抽取的樣本這兩個(gè)例子中都是要對(duì)某種對(duì)某種“陳述陳述”做出判做出判斷斷： 所謂假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè) 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)分兩類分兩類：（1）參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)；（2）非參數(shù)檢驗(yàn)或自由分布檢驗(yàn)。 1、假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法

3、、假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法 為了檢某假設(shè)是否成立，先假定它正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)； 2、判斷結(jié)果合理與否，是基于、判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不小概率事件不易發(fā)生易發(fā)生”這一原理的這一原理的 即在一次抽樣中，小概率事件不可能發(fā)生。如果在原假設(shè)下發(fā)生了小概率事件，則認(rèn)為原假設(shè)是不合理的；反之，小概率事件沒(méi)有發(fā)生，則認(rèn)為原假設(shè)是合理的。 二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 因此，置信度大小的不同，有可能做出不同的判斷。 3、假設(shè)檢驗(yàn)是基于樣本資料來(lái)推斷總體特征、假設(shè)檢驗(yàn)是基于樣本資料來(lái)推斷總體特征的，而這種推斷是

4、在一定概率置信度下進(jìn)行的，的，而這種推斷是在一定概率置信度下進(jìn)行的，而非嚴(yán)格的邏輯證明。而非嚴(yán)格的邏輯證明。 在例例1中，要判斷判斷工藝改革后零件平均長(zhǎng)度是否仍為4cm， 可先假設(shè)先假設(shè)仍為4cm，根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布理論，則樣本點(diǎn)應(yīng)以較大的可能性（置信度）落在以4為中心的某一范圍內(nèi)，或者說(shuō)在給定置信度1-下(比如99%）：20Znx其中：0為所要檢驗(yàn)的假設(shè)（這里為4cm） 為總體標(biāo)準(zhǔn)差（這里為0.1cm）N為樣本容量（這里為100）Z/2為置信度1-下，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的右尾 臨界值 如果取置信度為0.99，則顯著性水平=0.01，對(duì)應(yīng)的臨界值為Z/2 =2.58 換言之，如果原假設(shè)為真

5、，則樣本測(cè)算值將以99%的可能性落在-2.58，2.58區(qū)間內(nèi)。 通過(guò)一組（實(shí)際）樣本計(jì)算得： 說(shuō)明小概率事件小概率事件（標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本均值只有1%的可能性落在-2.58，2.58區(qū)間外）發(fā)生了發(fā)生了。 這是不合理的，應(yīng)拒絕原假設(shè)這是不合理的，應(yīng)拒絕原假設(shè)。 1、提出原假設(shè)、提出原假設(shè)(null hypothesis)和備擇假設(shè)和備擇假設(shè)(alternative hypothesis) 原假設(shè)為正待檢驗(yàn)的假設(shè)：H0； 備擇假設(shè)為可供選擇的假設(shè)：H1 一般地，假設(shè)有三種形式： （1 1）雙側(cè)檢驗(yàn)）雙側(cè)檢驗(yàn)： H0 : 0; H1 :0 （2 2）左側(cè)檢驗(yàn)）左側(cè)檢驗(yàn)： H0 : 0; H1 :0

6、（3 3）右側(cè)檢驗(yàn)）右側(cè)檢驗(yàn)： H0 : 0 三、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟三、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟(一)左側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)例例某批發(fā)商欲從廠家購(gòu)進(jìn)一批燈泡，根據(jù)合同規(guī)定燈泡的使用壽命平均不能低于1000小時(shí)。已知燈泡的使用壽命服從正太分布，標(biāo)準(zhǔn)差為20小時(shí)，在總體中抽取100個(gè)燈泡，測(cè)得樣本平均值為960小時(shí)，批發(fā)商是否應(yīng)該購(gòu)進(jìn)這批產(chǎn)品？解:批發(fā)商關(guān)心的問(wèn)題是燈泡壽命的下限時(shí)間，因此檢驗(yàn)問(wèn)題可為：H0: 1000, H1: =30），仍可通過(guò) Z 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，只不過(guò)總體方差需用樣本方差 s 替代。因此，可通過(guò)構(gòu)造Z統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)：【例】某機(jī)床廠加工一種零件，根【例】某機(jī)床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，

7、該廠加工零件的橢圓據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為為 0=0.081mm，總體標(biāo)準(zhǔn)差為，總體標(biāo)準(zhǔn)差為 = 0.025 。今換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，。今換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，抽取抽取n=200個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的橢圓度為橢圓度為0.076mm。試問(wèn)新機(jī)床加。試問(wèn)新機(jī)床加工零件的橢圓度的均值與以前有無(wú)工零件的橢圓度的均值與以前有無(wú)顯著差異？（顯著差異？（ 0.05）H0: = 0.081H1: 0.081 = 0.05n = 200臨界值臨界值(s):83. 2200025. 0081. 0076. 00nxz 例例

8、3：根據(jù)以往的資料，某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的使用壽命服從正態(tài)分布N(1020, 1002)?，F(xiàn)從最近生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取16件，測(cè)得樣本平均壽命為1080小時(shí)。問(wèn)問(wèn)這批產(chǎn)品的使用壽命是否有顯著提高（顯著性水平：5%）？（注意：右側(cè)檢驗(yàn)）4 . 216100102010800nxZ由=0.05，查表得臨界值查表得臨界值：Z=Z 0.05=1.645 提出假設(shè)提出假設(shè)：H0：=1020 ，H1： 1020 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 比較比較：計(jì)算的Z=2.4 Z =1.645 判斷判斷：拒絕H0 ，接受H1 ，即這批產(chǎn)品的壽命確有提高。 （二）總體方差未知，正態(tài)總體，小樣本（二）總體方差未知，正態(tài)總體，

9、小樣本) 1(/0ntnsxt 注注： 如果總體分布也未知，則沒(méi)有適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，唯一的解決辦法是增大樣本，以使樣本均值趨向于正態(tài)分布，從而再采用Z統(tǒng)計(jì)量。 這時(shí)只能用 t 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)：2 未知小樣本均值的檢驗(yàn)【例】【例】某機(jī)器制造出的肥皂厚度為5cm，今欲了解機(jī)器性能是否良好，隨機(jī)抽取10塊肥皂為樣本，測(cè)得平均厚度為5.3cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3cm，試以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)機(jī)器性能良好的假設(shè)。 2 未知小樣本均值的檢驗(yàn) (例題分析)H0: = 5H1: 5 = 0.05df = 10 - 1 = 9臨界值臨界值(s):16. 3106 . 053 . 50nsxt 二、總

10、體比例的假設(shè)檢驗(yàn)二、總體比例的假設(shè)檢驗(yàn) 大樣本下大樣本下，樣本比例樣本比例趨向于正態(tài)分布，因此可通過(guò)構(gòu)造Z統(tǒng)計(jì)量的方法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)：) 1 , 0()1 (0NnPPPpZ注注： 1、如果總體比例P未知，可用樣本比例p替代。 2、Z統(tǒng)計(jì)量只適合大樣本情況下的總體比例檢驗(yàn)。一個(gè)總體比例的檢驗(yàn)【例】【例】一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果聲稱，一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果聲稱，某市老年人口（年齡在某市老年人口（年齡在65歲以歲以上）的比重為上）的比重為14.7%，該市老，該市老年人口研究會(huì)為了檢驗(yàn)該項(xiàng)統(tǒng)年人口研究會(huì)為了檢驗(yàn)該項(xiàng)統(tǒng)計(jì)是否可靠，隨機(jī)抽選了計(jì)是否可靠，隨機(jī)抽選了400名居民，發(fā)現(xiàn)其中有名居民，發(fā)現(xiàn)其中有57人年齡人年齡在在6

11、5歲以上。調(diào)查結(jié)果是否支歲以上。調(diào)查結(jié)果是否支持該市老年人口比重為持該市老年人口比重為14.7%的看法？的看法？( = 0.05)H0: = 14.7%H1: 14.7% = 0.05n = 400臨界值臨界值(s):254. 0400)147. 01 (147. 0147. 01425. 0z 只討論限于正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)只討論限于正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)。 設(shè)所要檢驗(yàn)的原假設(shè)為： H0：) 1() 1(22022nSn202202202(或或 三、總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)三、總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) 因此，可構(gòu)造2 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)。 當(dāng)H0成立時(shí)，S2/02 接近于1，2的值在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)

12、， 當(dāng)H0不成立時(shí)，S2/02遠(yuǎn)離1，2的值相當(dāng)大或相當(dāng)小。由于樣本方差 S2是總體方差2的無(wú)偏估計(jì)量，可通過(guò)它們的對(duì)比來(lái)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。 可以證明，若H0為真，則方差的卡方 (2) 檢驗(yàn)(例題分析)【例】某廠商生產(chǎn)出一種新【例】某廠商生產(chǎn)出一種新型的飲料裝瓶機(jī)器，按設(shè)計(jì)要型的飲料裝瓶機(jī)器，按設(shè)計(jì)要求 ， 該 機(jī) 器 裝 一 瓶 一 升求 ， 該 機(jī) 器 裝 一 瓶 一 升(1000cm3)的飲料誤差上下不超的飲料誤差上下不超過(guò)過(guò)1cm3。如果達(dá)到設(shè)計(jì)要求，。如果達(dá)到設(shè)計(jì)要求，表明機(jī)器的穩(wěn)定性非常好?，F(xiàn)表明機(jī)器的穩(wěn)定性非常好。現(xiàn)從該機(jī)器裝完的產(chǎn)品中隨機(jī)抽從該機(jī)器裝完的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取取25瓶，分

13、別進(jìn)行測(cè)定瓶，分別進(jìn)行測(cè)定(用樣本用樣本減減1000cm3)，得到如下結(jié)果。，得到如下結(jié)果。檢驗(yàn)該機(jī)器的性能是否達(dá)到設(shè)檢驗(yàn)該機(jī)器的性能是否達(dá)到設(shè)計(jì)要求計(jì)要求 ( =0.05)0.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1方差的卡方 (2) 檢驗(yàn)(例題分析)H0: 2 = 1H1: 2 1 = 0.05df = 25 - 1 = 24臨界值臨界值(s):8 .2001866.0)125()1(2022sn第三節(jié)第三節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)中的其他問(wèn)題假設(shè)檢驗(yàn)中的其他問(wèn)題 一、區(qū)間估計(jì)與假

14、設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系一、區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系 1、區(qū)別：、區(qū)別： 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)是依據(jù)樣本資料估計(jì)總體的未知參數(shù)的可能范圍； 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本資料來(lái)檢驗(yàn)對(duì)總體參數(shù)的先驗(yàn)假設(shè)是否成立。 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)通常求得的是以樣本為中心的雙側(cè)置信區(qū)間； 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)不僅有雙側(cè)檢驗(yàn)也有單側(cè)檢驗(yàn)。 2、聯(lián)系、聯(lián)系 都是根據(jù)樣本信息對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行推斷； 都是以抽樣分布為理論依據(jù)； 都是建立在概率基礎(chǔ)上的推斷，推斷結(jié)果都有風(fēng)險(xiǎn)； 對(duì)同一問(wèn)題的參數(shù)進(jìn)行推斷，使用同一樣本、同一統(tǒng)計(jì)量、同一分布，因而二者可以相互轉(zhuǎn)換。 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)立足于大概率，通常以較大的把握程度（可信度）1- 去估計(jì)總體參數(shù)的置信區(qū)間； 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)立足于小概率，通常是給定很小的顯著性水平 去檢驗(yàn)對(duì)總體參數(shù)的先驗(yàn)假設(shè)是否成立。 二、假設(shè)檢驗(yàn)中的二、假設(shè)檢驗(yàn)中的P值值 假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論是在給定的顯著性水平下作出的。因此，在不同的顯著性水平下，對(duì)同一問(wèn)題在不同的顯著性水平下，對(duì)同一問(wèn)題所下的結(jié)論可能完全相反所下的結(jié)論可能完全相反（下圖）。紅點(diǎn)： 在0.1的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)； 在0.05的顯著性水平下，接受原假設(shè)。 在在例例3中，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值 Z=2.4，