軸向拉伸和壓縮4

1、直桿在軸向拉伸時，將引起軸向尺寸的增大和直桿在軸向拉伸時，將引起軸向尺寸的增大和橫向尺寸的縮小。反之，在軸向壓力作用下，橫向尺寸的縮小。反之，在軸向壓力作用下，將引起軸向尺寸的縮短和橫向尺寸的增大。將引起軸向尺寸的縮短和橫向尺寸的增大。FFll bb桿件在軸線方向的伸長為桿件在軸線方向的伸長為lll 縱向線應(yīng)變縱向線應(yīng)變ll2.6 軸向拉伸或壓縮時的變形軸向拉伸或壓縮時的變形桿件在橫向的變形為桿件在橫向的變形為bbb bb 橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變2.6 軸向拉伸或壓縮時的變形軸向拉伸或壓縮時的變形FFll bb桿件橫截面上的正應(yīng)力為桿件橫截面上的正應(yīng)力為NFFAA工程上使用的大多數(shù)材料，其應(yīng)力與

2、應(yīng)變關(guān)工程上使用的大多數(shù)材料，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的系的初始階段都是線彈性初始階段都是線彈性的。即當(dāng)應(yīng)力不超的。即當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，過材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即即胡克定律胡克定律。可寫成?？蓪懗蒃NF lFllEAEA 式中的式中的彈性模量彈性模量E 隨材料而不同。隨材料而不同。llNFFAAE2.6 軸向拉伸或壓縮時的變形軸向拉伸或壓縮時的變形NF lFllEAEA 從上式看出，對長度相同，受力相同的桿從上式看出，對長度相同，受力相同的桿件，件，EA越大則變形越大則變形l 越小，即抵抗變形的能越小，即抵抗變形的能力越強。力越強。2.6 軸向拉伸或壓縮時的

3、變形軸向拉伸或壓縮時的變形即：即：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，桿件的伸長當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，桿件的伸長l與拉力與拉力F和桿件的原長度和桿件的原長度l成正比，與橫截面面成正比，與橫截面面積積A、E成反比成反比。這是。這是胡克定律胡克定律的另一表達形的另一表達形式。對于軸向壓縮的情況，只要把軸向拉力改式。對于軸向壓縮的情況，只要把軸向拉力改為壓力，把伸長為壓力，把伸長l看作是縮短就可以了?？醋魇强s短就可以了。EA抗拉抗拉(或抗壓或抗壓)剛度。剛度。試驗結(jié)果表明：試驗結(jié)果表明：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，有當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，有l(wèi)lbb / 稱為稱為橫向變形因數(shù)橫向變形因數(shù)或或泊松泊松(Poisso

4、n, Simeon-Denis）（17811840）法國數(shù)學(xué)家)比比，是一，是一個量綱一的量。個量綱一的量。因為當(dāng)桿件軸向伸長時橫向縮小，而軸向縮因為當(dāng)桿件軸向伸長時橫向縮小，而軸向縮短時橫向增大，所以短時橫向增大，所以 和和 的符號總是相反的。的符號總是相反的。 和和 的關(guān)系可以寫成的關(guān)系可以寫成 了解了解P27:表表2-22.6 軸向拉伸或壓縮時的變形軸向拉伸或壓縮時的變形誰首先提出彈性定律誰首先提出彈性定律? 彈性定律是材料力學(xué)等固體力學(xué)一個非常彈性定律是材料力學(xué)等固體力學(xué)一個非常重要的基礎(chǔ)。一般認為它是由英國科學(xué)家胡克重要的基礎(chǔ)。一般認為它是由英國科學(xué)家胡克(1635一一1703)首先

5、提出來的，所以通常叫做首先提出來的，所以通常叫做胡胡克定律克定律。其實，在胡克之前。其實，在胡克之前1500年，我國早就年，我國早就有了關(guān)于力和變形成正比關(guān)系的記載。有了關(guān)于力和變形成正比關(guān)系的記載。 東漢經(jīng)學(xué)家鄭玄東漢經(jīng)學(xué)家鄭玄(127200)對對考工記考工記弓弓人人中中“量其力，有三均量其力，有三均”作了這樣的注釋：作了這樣的注釋：“假令弓力勝三石，引之中三尺，弛其弦，以假令弓力勝三石，引之中三尺，弛其弦，以繩緩擐之，每加物一石，則張一尺。繩緩擐之，每加物一石，則張一尺?！崩? 如圖所示桿系由兩根鋼桿如圖所示桿系由兩根鋼桿1和和2組成。組成。已知桿端鉸接，兩桿與鉛垂線均成已知桿端鉸接，兩

6、桿與鉛垂線均成 30的角度，長度均為的角度，長度均為2 m，直徑均為，直徑均為25 mm，鋼的彈性模量為，鋼的彈性模量為E210 GPa。設(shè)。設(shè)在在A點處懸掛一重物點處懸掛一重物 P100 kN，試求，試求點點A的位移的位移 A。A BC解：列平衡方程，考慮銷釘解：列平衡方程，考慮銷釘A的受力的受力，求兩桿求兩桿的軸力的軸力AxyFN2FN1N2N10,sinsin0 xFFFN1N20,coscos0yFFFPN1N22cosPFF兩桿的變形為兩桿的變形為N1122cosF lPlllEAEA 是伸長變形。是伸長變形。A BCA BC變形的變形的幾何相容條件幾何相容條件是：變形后，兩桿仍應(yīng)鉸

7、是：變形后，兩桿仍應(yīng)鉸結(jié)在一起。結(jié)在一起。以兩桿伸長后的長度以兩桿伸長后的長度BA1和和CA2為半徑作圓弧為半徑作圓弧相交于相交于A，即為，即為A點的新位置。點的新位置。AA就是就是A點點的位移。的位移。AA1l1A2l2AA AA1l1A2l2 因變形很小，故可過因變形很小，故可過 A1，A2 分別做兩桿的垂分別做兩桿的垂線，相交于線，相交于 A , 則則A12cos2cosAlPlAAEA 24dA39224 100 1020.001293m1.293mm( )2 210 100.025cos 30A 切線代弧線原理切線代弧線原理A BCA注注 意意變形圖中桿件的伸長變形圖中桿件的伸長(

8、(或縮短或縮短) )與拉與拉力（或壓力）一定要對應(yīng)。力（或壓力）一定要對應(yīng)。例例2 如圖所示圓錐形桿，兩端受軸向力如圖所示圓錐形桿，兩端受軸向力F 作用。作用。設(shè)軸長為設(shè)軸長為l ，左右端的直徑分別為，左右端的直徑分別為d1與與d2，試計，試計算桿件的伸長量。算桿件的伸長量。d1d2l)(xdx解：如圖，設(shè)任一截面的直徑為解：如圖，設(shè)任一截面的直徑為d(x) :則該截面面積為則該截面面積為:ddd xdxl211( ) =( )4ddA xdxl2211()截面的軸力為截面的軸力為F在在x處取長為處取長為dx的段，在該段上可認為截面不的段，在該段上可認為截面不變，則桿件的伸長量為：變，則桿件的

9、伸長量為：12d44lF xFllddEd dEdxl 02211()( )4ddA xdxl2211()d1d2ld( )xxdx2.9 應(yīng)變能的概念應(yīng)變能的概念 固體受外力作用而變形。在變形過程中固體受外力作用而變形。在變形過程中, 外外力所作的功將轉(zhuǎn)變?yōu)閮Υ嬗诠腆w內(nèi)的能量。當(dāng)力所作的功將轉(zhuǎn)變?yōu)閮Υ嬗诠腆w內(nèi)的能量。當(dāng)外力逐漸減小時外力逐漸減小時, 變形逐漸恢復(fù)變形逐漸恢復(fù), 固體又將釋放固體又將釋放出儲存的能量而作功。出儲存的能量而作功。固體在外力作用下因變固體在外力作用下因變形而儲存的能量稱為應(yīng)變能形而儲存的能量稱為應(yīng)變能。 例如內(nèi)燃機的氣閥開啟時例如內(nèi)燃機的氣閥開啟時, 氣閥彈簧因受壓

10、氣閥彈簧因受壓力作用發(fā)生壓縮變形而儲存能量。當(dāng)壓力逐漸力作用發(fā)生壓縮變形而儲存能量。當(dāng)壓力逐漸減小減小, 彈簧變形逐漸恢復(fù)時彈簧變形逐漸恢復(fù)時, 它又釋放出能量為它又釋放出能量為關(guān)閉氣閥而作功。關(guān)閉氣閥而作功。2.9.1 應(yīng)變能應(yīng)變能設(shè)受拉桿件上端固設(shè)受拉桿件上端固定，作用于下端的拉力定，作用于下端的拉力由零開始緩慢增加。拉由零開始緩慢增加。拉力力F與伸長與伸長l的關(guān)系如圖的關(guān)系如圖a所示。在逐漸加力的過所示。在逐漸加力的過程中程中, 當(dāng)拉力為當(dāng)拉力為F時，桿時，桿件的伸長為件的伸長為l。如再增。如再增加一個加一個dF，桿件相應(yīng)的，桿件相應(yīng)的變形增量為變形增量為d(l)。于是。于是已經(jīng)作用于桿

11、件上的已經(jīng)作用于桿件上的F因因位移位移d(l)而作功，且所而作功，且所作的功為作的功為 dd()WFldW等于圖等于圖b中畫陰中畫陰影線的微面積。影線的微面積。 2.9.2 拉拉(壓壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能桿內(nèi)的應(yīng)變能把拉力看作是一把拉力看作是一系列系列dF的積累，則的積累，則拉拉力所作的總功力所作的總功W應(yīng)為應(yīng)為上述微面積的總和上述微面積的總和, 它等于它等于F-l 曲線下面曲線下面的面積，即的面積，即 10d()lWFl在在應(yīng)力小于比例極限應(yīng)力小于比例極限的范圍內(nèi)的范圍內(nèi), F與與l的關(guān)系是的關(guān)系是一條斜直線，故有一條斜直線，故有12WF l2.9.2 拉拉(壓壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能桿內(nèi)的應(yīng)變能2122

12、F lVWF lEA 省略動能、熱能等能量的變化省略動能、熱能等能量的變化, 可認為桿可認為桿件內(nèi)只儲存了應(yīng)變能件內(nèi)只儲存了應(yīng)變能V, 其數(shù)量就等于拉其數(shù)量就等于拉力所作的功。力所作的功。在線彈性范圍內(nèi)在線彈性范圍內(nèi)2.9.2 拉拉(壓壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能桿內(nèi)的應(yīng)變能單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度。12v2.9.3 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度對于等直桿，由于在軸向拉伸或壓縮時，桿內(nèi)對于等直桿，由于在軸向拉伸或壓縮時，桿內(nèi)各部分的受力和變形情況都相同，故可將桿件各部分的受力和變形情況都相同，故可將桿件的應(yīng)變能除以桿的總體積的應(yīng)變能除以桿的總體積Al，得到桿在單位體，得到桿

13、在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，稱為積內(nèi)的應(yīng)變能，稱為比能比能，以，以v表示，其計算表示，其計算式可表示為式可表示為由胡克定律由胡克定律 EE，上式可寫成，上式可寫成221222EvEBPCD4575例例3 簡易起重機如圖所示。簡易起重機如圖所示。BD桿為無縫鋼管桿為無縫鋼管, 外外徑徑90 mm, 壁厚壁厚2.5 mm, 桿長桿長l = 3 m。彈性模量。彈性模量E = 210 GN/m2。BC是是兩條兩條橫截面面積為橫截面面積為171.82 mm2的鋼索的鋼索, 彈性模量彈性模量E1 = 177 GPa。若不考慮。若不考慮立柱的變形立柱的變形, 試求點試求點B的的垂直位移垂直位移。設(shè)。設(shè)P = 30

14、 kN。解：從三角形解：從三角形BCD中解出中解出BC和和CD的長度分別是的長度分別是 12.20 m,1.55 mBClCD算出算出BC和和BD兩桿的橫截面兩桿的橫截面面積分別為面積分別為 212222 171.82344 mm(9085 )687mm4AAN1N21.411.93FPFP由由BD桿的平衡求得鋼索桿的平衡求得鋼索BC的的拉力和拉力和BD桿的壓力為桿的壓力為 把簡易起重機看作是由把簡易起重機看作是由BC和和BD兩桿組成的簡單彈性桿系兩桿組成的簡單彈性桿系, 當(dāng)載荷當(dāng)載荷P從零開始緩慢地作用從零開始緩慢地作用于桿系上時于桿系上時, P與點與點B垂直位垂直位移移d d 的關(guān)系也與右圖一樣的關(guān)系也與右圖一樣, 是是一條斜直線。一條斜直線。P所完成的功為所完成的功為 12WPdBPCD457522N1 1N2112296961222(1.41 )2.2(1.93 )32 177 10344 102 210 10687 10F lF lPE AEAPPdP所完成的功在數(shù)值上應(yīng)等于桿系的變形能所完成的功在數(shù)值上應(yīng)等于桿系的變形能, 亦亦即等于即等于BC和和BD兩桿變形能的總和。故兩桿變形能的總和。故 由此求得由此求得229696831.412.21.933177 10344 10210 10687 1014.9