線性代數(shù)論文(矩陣在自己專業(yè)中的應(yīng)用及舉例)

1、矩陣在自己專業(yè)中的應(yīng)用及舉例摘要： I、矩陣是線性代數(shù)的基本概念，它在線性代數(shù)與數(shù)學(xué)的許多分支中都有重要的應(yīng)用，許多實(shí)際問(wèn)題可以用矩陣表達(dá)并用相關(guān)的理論得到解決。 II、文中介紹了矩陣的概念、基本運(yùn)算、可逆矩陣、矩陣的秩等內(nèi)容。20 III、矩陣在地理信息系統(tǒng)中也有許多的應(yīng)用，比如文中重點(diǎn)體現(xiàn)的在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中應(yīng)用。關(guān)鍵詞： 矩陣 可逆矩陣 圖形學(xué) 圖形變換 正文：第一部分 引言 在線性代數(shù)中，我們主要學(xué)習(xí)了關(guān)于行列式、矩陣、方程、向量等相關(guān)性比較強(qiáng)的內(nèi)容，而這些內(nèi)容在我們專業(yè)的其他一些學(xué)科中應(yīng)用也是比較廣泛的，是其它一些學(xué)科的很好的輔助學(xué)科之一。因此，能夠?qū)⑽覀兯鶎W(xué)的東西融會(huì)貫通是一件非常有

2、意義的事，而且對(duì)我們的學(xué)習(xí)只會(huì)有更好的促進(jìn)作用。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中矩陣有一些最基本的應(yīng)有，但是概念已經(jīng)與線性代數(shù)中的有一些不同的意義。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，矩陣可以是一個(gè)新的額坐標(biāo)系，也可以是對(duì)一些測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)變換，例如：平移、錯(cuò)切等等。在后面的文章中，我通過(guò)查詢一些相關(guān)的資料，對(duì)其中一些內(nèi)容作了比較詳細(xì)的介紹，希望對(duì)以后的學(xué)習(xí)能夠有一定的指導(dǎo)作用。在線性代數(shù)中，矩陣也占據(jù)著一定的重要地位，與行列式、方程、向量、二次型等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，在解決一些問(wèn)題的思想上是相同的。尤其他們?cè)谧鳛樘幚硪恍?shí)際問(wèn)題的工具上的時(shí)候。 圖形變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的主要內(nèi)容之一，為方便用戶在圖形交互式處理過(guò)程中度圖形

3、進(jìn)行各種觀察，需要對(duì)圖形實(shí)施一系列的變換，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)主要有以下幾種變換：幾何變換、坐標(biāo)變換和觀察變換等。這些變換有著不同的作用，卻又緊密聯(lián)系在一起。第二部分 研究問(wèn)題及成果 1. 矩陣的概念定義：由個(gè)數(shù)排列成的m行n列的矩陣數(shù)表 稱為一個(gè)矩陣，其中an表示位于數(shù)表中第i行第j列的數(shù)，i=1,2,3，n，又稱為矩陣的元素。A,B元素都是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣。元素屬于復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。下面介紹幾種常用的特殊矩陣。（1） 行距陣和列矩陣 僅有一行的矩陣稱為行距陣（也稱為行向量），如 A=(a11 a12 . a1n),也記為 a=(a11,a12,.a1n).僅有一列的矩陣稱為列矩陣（也稱為列

4、向量），如 a= 。(2) 零矩陣 A=記為o或者0. (3) 方陣。行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣.例如： A= 為矩陣，稱為n階方陣或者n階矩陣，簡(jiǎn)記為A=（an）n，過(guò)元素a11，a22，a33,a44,.ann,的直線為主對(duì)角線，主對(duì)角線上的元素為主對(duì)角元。按方陣的元素排列所構(gòu)造的行列式稱為方陣的行列式。（4） 對(duì)角矩陣。主對(duì)角意外的元素全部為零的方陣稱為對(duì)焦矩陣，常記為： A= (5） 單位矩陣。主對(duì)角線上的元素全部為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣，簡(jiǎn)記為E或者I： A= (6) 數(shù)量矩陣 。主對(duì)角線上全相等的對(duì)角矩陣。例如： （其中c為常數(shù)） 為一階數(shù)量矩陣。（7） 三角矩陣。主對(duì)角線上方

5、或下方的元素全部為零的方陣稱為上（下）三角矩陣。 為n階上三角矩陣。（8） 對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣，在方陣A=（aij）n，中，如果aij=aji（ij=1,2,3.。），則稱A為對(duì)稱矩陣，如果A還為實(shí)矩陣，那么A為實(shí)對(duì)稱矩陣。如果aij=-aji，則稱A為反對(duì)稱矩陣。 定義：兩個(gè)同類型的矩陣，如果對(duì)應(yīng)的元素相等，則稱矩陣A等于矩陣B。 2 .矩陣的運(yùn)算 2.1 矩陣的加法A+B=B|+A(加法交換律)(A+B)+C=A+(B+C)（加法結(jié)合律）A+0=0+A=AA+(-A)=0. 2.2 數(shù)乘矩陣定義1：數(shù)乘一矩陣等于這個(gè)數(shù)乘以矩陣中的每一個(gè)元素。 定義2：設(shè)A B為同類型的矩陣，k，l為常數(shù)

6、，則1A=A k（lA）=（kl）A k（A+B)=KA+KB (K+L)A=KA+LA. 2.3 矩陣的乘法（1） 矩陣的乘法不滿足交換律。（2） 兩個(gè)非零矩陣的乘積可能為零矩陣。（3） 矩陣的乘法不滿足消去律。命題：（1）設(shè)A為矩陣，則 ,(2) 設(shè)A為矩陣，則 其中E為單位陣（3） 設(shè)A為m*p矩陣，B為p*q矩陣，k為數(shù)，則 A(BC)=(AB)C (kA)B=A(kB)=k(AB)(4) J矩陣滿足數(shù)乘的分配律，矩陣乘積的行列式等于矩陣對(duì)應(yīng)行列式的乘積。 2.4 矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.7 稱矩陣 的轉(zhuǎn)置為 命題：設(shè)A,B,C,是矩陣，且讓它們相應(yīng)的行數(shù)和列數(shù)使相應(yīng)的運(yùn)算有意義，k是數(shù)，則

7、（1） A的轉(zhuǎn)置的裝置等于A（2） B與C的和的轉(zhuǎn)置等于它們轉(zhuǎn)置的和（3）（4）（5） 若A為n階矩陣，則（6） A為對(duì)稱矩陣的充要條件是,A為反對(duì)稱矩陣的充要條件為 2.5 可逆矩陣定義 設(shè)A為n階矩陣，若存在n階矩陣B，使得 ,則稱矩陣A可逆,B是A的可逆矩陣，記作定理 如果n階矩陣A可逆，則它的逆矩陣唯一。定義 設(shè)為n階矩陣，為中的元素的代數(shù)余子式，ij=1.2.3.n，則稱矩陣 為A的伴隨矩陣，記為.由伴隨矩陣的定義，不難驗(yàn)證定理 n階矩陣A可逆的充要條件為，如果A可逆，則 . 若n階矩陣A的行列式不為零，即,即稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣，由上述公式可以求出A的伴隨矩陣。推論

8、 對(duì)n階矩陣A，若有n階矩陣B使得 或者,則稱矩陣A可逆，且.克拉默法則 設(shè) ，如果矩陣A可逆，則線性方程組Ax=存在唯一解。 2.6 可逆矩陣的性質(zhì)命題 設(shè)A，B,為n階可逆矩陣，k為非零常數(shù)，則也是可逆矩陣，且（1） ;（2）（3）（4）（5）（6） m為正整數(shù)。 3 .矩陣的初等變換與矩陣的秩 3.1 矩陣的初等變換定義 對(duì)矩陣的行（列）實(shí)行下列三種操作（或變換）之一，稱為對(duì)矩陣實(shí)行了一次初等行（列）變換：（1） 交換矩陣的兩行（列）；（2） 矩陣的某一行（列）的元素乘以一個(gè)不等于零的數(shù)；（3） 將矩陣某一行（列）的元素加上另一行（列）對(duì)應(yīng)元素相同的倍數(shù)。定義 滿足一下條件的矩陣稱為行階

9、梯型矩陣，簡(jiǎn)稱為階梯型矩陣；（1） 非零行（元素不全為零的行）的標(biāo)號(hào)小于零行（元素為零的行）的標(biāo)號(hào)；（2） 設(shè)矩陣有r個(gè)非零行，第i個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素所在的列號(hào)為，則定理 任何矩陣都可以經(jīng)過(guò)單純的初等行變換化為階梯形矩陣。定義 一個(gè)階梯型矩陣如果滿足：（1） 每一個(gè)非零行的第一個(gè)元素都為1；（2） 每一個(gè)非零行的第一個(gè)元素所在的列的其他元素都為零，則稱它為簡(jiǎn)化的階梯型矩陣（也稱為規(guī)范的階梯型矩陣），定義 如果一個(gè)非零矩陣的左上角為單位矩陣，其他位置的元素都為零，則稱這個(gè)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型矩陣。 3.2 矩陣的秩定義 在矩陣中任取k行和k列位于這k行和k列的交叉點(diǎn)的個(gè)元素，按照它們?cè)诰仃嘇中的相

10、對(duì)位置組成的k階行列式稱為矩陣A的一個(gè)k階子式。定義 若矩陣中有一個(gè)r階子式不為零，而A中所有的r+1階子式（如果存在的話）都為零，則稱r為矩陣A的秩，記為或規(guī)定零矩陣的秩為零。命題 （1）一個(gè)矩陣的秩是唯一的。（2） 設(shè)則的充要條件是A=0.（3） 若矩陣A中有一個(gè)r階子式不為零，則若矩陣A中所有的r階子式全為零，則（4） 在矩陣A中，任選s行t列，位于這s行t列交叉上的元素按它們?cè)贏中的相對(duì)位置所構(gòu)成的矩陣稱為A的一個(gè)子矩陣。若是A的一個(gè)子矩陣，則（5）（6） 階梯型矩陣的秩等于它非零行的個(gè)數(shù)。設(shè)如果則稱A為行（列）滿秩矩陣，簡(jiǎn)稱滿秩矩陣。定理 初等變換不改變矩陣的秩。 3.3 初等矩陣的

11、概念與性質(zhì)定義 單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣都是初等矩陣。定理 用一個(gè)m階初等矩陣左乘一個(gè)階矩陣A，相當(dāng)于對(duì)矩陣A進(jìn)行相應(yīng)的初等行變換；用一個(gè)n階初等矩陣右乘一個(gè)階矩陣進(jìn)行初等列變換。推論 初等矩陣都是可逆矩陣。定理 對(duì)于任意的階矩陣A，存在m階初等矩陣使得為階梯型矩陣（或簡(jiǎn)化的階梯型矩陣）；存在n階初等矩陣使得 其中推論1 對(duì)任何階矩陣A，存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q，使得 推論2 對(duì)任何n階矩陣A，A可逆的充要條件為A的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣為n階單位矩陣。推論3 矩陣A可逆的充要條件為其中是初等矩陣。推論4 任何一個(gè)可逆矩陣A經(jīng)過(guò)單純的初等行變換都可以化為單位矩陣。推論5 設(shè)矩陣A為 矩

12、陣，P為m階可逆矩陣，Q為n階可逆矩陣，則 矩陣的等價(jià)定義 如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊，則稱矩陣A與矩陣B等價(jià)（或相抵）。 4. 二維變換及觀察圖形變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一。為方便用戶在圖形交互式處理過(guò)程中對(duì)圖形進(jìn)行各種觀察，需要對(duì)圖形實(shí)施一系列變換。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中圖形變換主要有幾何變換、坐標(biāo)變換和觀察變換。這些變換有著不同的作用，卻又緊密聯(lián)系在一起。而這些變換正是通過(guò)矩陣的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此，線性代數(shù)中的矩陣方面與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)聯(lián)系還是很緊密的，不可分離的。 4.1 幾何變換一般來(lái)說(shuō)，圖形的幾何變換是指圖形的幾何信息通過(guò)平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。也就是圖形在

13、方向、尺寸和形狀方面的變換，需要改變圖形對(duì)象的坐標(biāo)描述。應(yīng)對(duì)應(yīng)幾何變換可以使靜止的圖形按照一定的幾何規(guī)則運(yùn)動(dòng)，從而更加有利于形體的設(shè)計(jì)。復(fù)雜圖形的幾何變換可以通過(guò)變換矩陣對(duì)構(gòu)成圖形的基本元素（點(diǎn)，線和面）的作用而實(shí)現(xiàn)，其中點(diǎn)的矩陣變換是這些變換的基礎(chǔ)。例如：對(duì)于線框圖的變換，以點(diǎn)的變換為基礎(chǔ)，將圖形學(xué)的一系列點(diǎn)作幾何變換后，根據(jù)原因的拓?fù)潢P(guān)系連接新的頂點(diǎn)即可產(chǎn)生新的圖形。對(duì)于參數(shù)方程的描述的圖形，可以對(duì)參數(shù)方程作幾何變換，實(shí)現(xiàn)圖形的變換。 4.2 齊次坐標(biāo) 齊次坐標(biāo)技術(shù)是從幾何學(xué)發(fā)展起來(lái)的。齊次坐標(biāo)表示在投影幾何中是一種證明定理的工具。有時(shí)在n維空間中比較難解決的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換到n+1維空間比較容

14、易解決。通過(guò)齊次坐標(biāo)技術(shù)應(yīng)用到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，使圖形變換轉(zhuǎn)化為表示圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變換矩陣相乘這一單一問(wèn)題，因而可以借助計(jì)算機(jī)的高速計(jì)算功能，很快得到變換后的圖形，從而為高速動(dòng)態(tài)的計(jì)算機(jī)圖形提供了可能性。 所謂齊次坐標(biāo)表示就是n+1維向量表示n維向量。例如：二維平面上的點(diǎn)P（x，y）的齊次坐標(biāo)表示。這里，h是任一不為零的比例系數(shù)。類似地三維空間中坐標(biāo)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示為。推而廣之，n維空間中的坐標(biāo)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示為，其中。這里要注意，n維空間用非齊次坐標(biāo)表示一個(gè)點(diǎn)向量具有n個(gè)坐標(biāo)分量且是唯一的。若用齊次坐標(biāo)表示該向量則有n+1個(gè)坐標(biāo)分量且不唯一。例如，二維點(diǎn)（x，y）的齊次坐標(biāo)表示為.（10

15、,20,4），（6,10,2）和（3,5,1）均為（3,5）這一二維點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，這里采用規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示來(lái)保證唯一性。規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示就是的齊次坐標(biāo)表示。從其次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到規(guī)范化齊次坐標(biāo)的方法如下：一個(gè)n維向量的齊次坐標(biāo)表示為，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)范化齊次坐標(biāo)為，即，如此就完成了它到規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示的轉(zhuǎn)換。規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示提供了用矩陣運(yùn)算將二維，三維甚至更高維空間中的一點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化另一個(gè)坐標(biāo)系的方法。 4.3 二維變換矩陣 假設(shè)點(diǎn)為xoy平面上二維圖形變換的一點(diǎn)，變換后該點(diǎn)變?yōu)椤Ｔ谝胍?guī)范化齊次坐標(biāo)表示后，點(diǎn)p可以用一個(gè)矩陣表示，這個(gè)矩陣可以是行向量矩陣，也可以是列向

16、量矩陣，即 或 這里用行向量矩陣形式。 這樣，二維空間中的可以表示成點(diǎn)的齊次坐標(biāo)矩陣與三階矩陣相乘，即式中，為二維齊次坐標(biāo)變換矩陣，簡(jiǎn)稱二維變換矩陣。 從功能上可以將分為4個(gè)子矩陣。其中，是對(duì)圖形進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換，是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；是對(duì)圖形進(jìn)行投影變換；是對(duì)圖形進(jìn)行整體比例變換。 5 基本幾何變換 基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換，有平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射和錯(cuò)切等。在本章后面的內(nèi)容中，如果沒有特別說(shuō)明，均假定用表示xoy平面上一個(gè)未被轉(zhuǎn)換的點(diǎn)，該點(diǎn)經(jīng)某種變換后變?yōu)樾碌狞c(diǎn)，用表示。 5.1 平移變換 平移是指將p點(diǎn)沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置

17、的重定位過(guò)程。其中稱為平移矢量，表示沿著坐標(biāo)軸正方向分別平移了的距離。P點(diǎn)經(jīng)過(guò)平移變換后有 平移是一種不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛性變換，即物體上的每一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)相同的數(shù)量的坐標(biāo)。引入規(guī)范齊次化坐標(biāo)表示和二維矩陣后，平移變換的計(jì)算形 5.2 比例變換 這里的比例變換是指對(duì)p點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿著x方向縮放倍，沿著y方向縮放倍，其中稱為比例系數(shù)。對(duì)于p點(diǎn)來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)變換后有 比例變換的齊次坐標(biāo)計(jì)算形式如下： 比例變換改變的是物體的大小。當(dāng)時(shí)，圖形沿著兩個(gè)坐標(biāo)軸方向等比例放大；反之，圖形沿著坐標(biāo)軸方向等比例縮?。划?dāng)二者不相等時(shí)，圖形沿著兩個(gè)坐標(biāo)軸做非均勻的比例變換，這時(shí)相對(duì)于原來(lái)圖形會(huì)產(chǎn)生一定的變形。 當(dāng)時(shí)

18、，變換稱為整體比例變換，可以利用一下矩陣進(jìn)行計(jì)算：式中，齊次坐標(biāo)與表示同一個(gè)點(diǎn)，因此用等號(hào)。 整體比例變換時(shí)，若s大于1，圖形整體縮小，否則圖形整體放大，若s小于0，發(fā)生相對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱的等比例變換。 5.3 旋轉(zhuǎn)變換 二維旋轉(zhuǎn)是指將p點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度得到新的的重定位過(guò)程，對(duì)于給定的點(diǎn)，其繞極坐標(biāo)形式為： 于是表示為 由于旋轉(zhuǎn)變換通過(guò)圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一個(gè)角度得到，因此需要規(guī)定旋轉(zhuǎn)角的方向。通常規(guī)定，圖形圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角度為正，順勢(shì)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角度為負(fù)。在xoy平面上，二維圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角的齊次坐標(biāo)計(jì)算形式為 二維圖形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)形式為 值得注意的是，在動(dòng)畫及其它包含

19、許多小旋轉(zhuǎn)角的應(yīng)用中，必須考慮旋轉(zhuǎn)變換的計(jì)算效率。考慮到當(dāng)不間斷的旋轉(zhuǎn)一個(gè)物體時(shí)，為了使旋轉(zhuǎn)過(guò)程連續(xù)、逼真，每次所轉(zhuǎn)過(guò)的角度必須很小，此時(shí)有且這里為弧度值，于是旋轉(zhuǎn)變換的矩陣計(jì)算形式可以寫成 當(dāng)然，實(shí)際系統(tǒng)中還必須考慮積累誤差的問(wèn)題，即在誤差積累變得太大時(shí)，需要重新計(jì)算物體的位置。 5.4 對(duì)稱變換 對(duì)稱變換也叫做反射變換或鏡像變換，變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點(diǎn)的鏡像。（1）.關(guān)于x軸對(duì)稱 點(diǎn)p經(jīng)過(guò)關(guān)于x軸的對(duì)稱變換后形成點(diǎn)，則且，寫成齊次坐標(biāo)形式為 類似的，可以寫出關(guān)于原點(diǎn)、y軸，軸以及軸的對(duì)稱變換矩陣的計(jì)算形式。（2）.關(guān)于y軸對(duì)稱 （3）.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （4）.關(guān)于軸對(duì)稱 （5

20、）.關(guān)于軸對(duì)稱 5.5 錯(cuò)切變換在圖形學(xué)應(yīng)用中，有時(shí)需要產(chǎn)生彈性物體的變形處理，這就是錯(cuò)切變換，也稱為剪切或錯(cuò)位變換，在前述變換中，變換矩陣的非對(duì)角線元素大都為0，若變換矩陣中非對(duì)角元素不為0，則意味著x，y同時(shí)對(duì)圖形的變換起作用，也就是說(shuō)，變換矩陣中非對(duì)角線元素起著把圖形沿著x方向或者y方向錯(cuò)切的作用。X值y值越小，錯(cuò)切量越??；x值y值越大，錯(cuò)切來(lái)量越大。其變換矩陣為 （1）.沿x方向的錯(cuò)切當(dāng)時(shí)，有此時(shí)，圖形的y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)值隨初值（x，y）及其變換系數(shù)c作線性變換。 （2）.沿兩個(gè)方向錯(cuò)切當(dāng)，且時(shí)，有 圖形沿x，y兩個(gè)方向作錯(cuò)切位移。以上分析均以點(diǎn)的變換為基礎(chǔ)，但所得到的變換矩陣計(jì)算形

21、式可以推廣到直線、多邊形等二維圖形的幾何變換中，即二維圖形的幾何變換均可以表示成齊次坐標(biāo)與三階的二維變換矩陣T的乘法形式。5.6二維圖形幾何變換的計(jì)算一般地，幾何變換均可表示成P'=PT的形式，其中，P為變換前二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣，P'為變換后圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣，T為變換矩陣。 （1）.點(diǎn)的變換首先將點(diǎn)表示成規(guī)范化齊次坐標(biāo)的矩陣形式，則P'=PT可以寫成 = T（2）.直線的變換直線的變換是將變換矩陣作用于直線的兩個(gè)端點(diǎn)，按照新的端點(diǎn)坐標(biāo)繪制即得到變換后的直線。將直線兩個(gè)端點(diǎn)表示成規(guī)范化齊次坐標(biāo)的矩陣形式然后與變換矩陣相乘，此時(shí)的P'=PT,即=T （3）.多邊形的變換多邊形的變換是將變換矩陣作用到每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)位置，并按照新的頂點(diǎn)坐標(biāo)值和當(dāng)前屬性設(shè)置來(lái)生成新的多邊形。具體操作如下：首先將各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫成矩陣形式，然后集中在一起與變換矩陣相乘。例如，有n個(gè)頂點(diǎn)的多邊形，表示成規(guī)范化齊次坐標(biāo)的矩陣形式=然后與變換矩陣相乘，則,即=T （4）.曲線的變換 通常，曲線的變換可以通過(guò)變換曲線的每一點(diǎn)并依據(jù)這些點(diǎn)重新畫線來(lái)完成。但對(duì)某些特殊曲線，該過(guò)程可以得到簡(jiǎn)化。如圓的平移與旋轉(zhuǎn)，可以在平移與旋轉(zhuǎn)圓心后